Logaritmi - MATEMATICA

M
MA
AT
TE
EM
MA
AT
TICA
A&
& FFIISSIIC
CA
AE
ED
DIIN
NT
TO
OR
RN
NII
Pasquale Spiezia
Algebra » Appunti » Logaritmi
TEOREMA
Siano a e b numeri reali con 𝐚 ∈ ℝ+ − {𝟏} e 𝐛 ∈ ℝ+. Esiste, ed è unico, un numero
𝐤 ∈ ℝ: 𝐚𝐤 = 𝐛
Il numero k è detto logaritmo di b in base a e viene indicato con la notazione 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃. Il numero
b è detto argomento del logaritmo.
Dal suddetto teorema consegue la doppia implicazione:
𝐚𝐤 = 𝐛 ⟺ 𝐤 = 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛
che ci permette di dare la seguente definizione.
DEFINIZIONE
Il logaritmo di b in base a è quel numero reale k a cui bisogna elevare la base a per avere
l’argomento b.
Questa definizione ci permette di calcolare facilmente i logaritmi in alcuni casi particolari, ossia solo quando l’argomento è una potenza della base. In tutti gli altri casi bisogna usare la calcolatrice.
L’insieme di tutti i logaritmi in una data base a viene detto sistema di logaritmi in base a. Le
basi più usate nella pratica sono il numero 10 ed il numero irrazionale di Neper e (2,7182……).
I logaritmi in base 10, detti decimali, verranno indicati semplicemente con log; quelli in base
e, detti naturali (o neperiani), verranno invece indicati con ln.
IMPORTANTE
Per l’esistenza di loga b occorre che sia a > 0 ⋀ a ≠ 1 e b > 0. Se una di queste condizioni non è
verificata, il logaritmo di b in base a non è definito.
SEGNO DEL LOGARITMO
Il segno di 𝐤 = 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 dipende sia dal valore della base a, sia da quello dell’argomento b.
REGOLA PRATICA

log a b > 0  b > 1
a > 1


log a b < 0  b < 1


log a b > 0  b < 1
a < 1


log a b < 0  b > 1

Se la base a e l’argomento b del logaritmo sono entrambi > 1 o entrambi < 1 il valore del logaritmo è sempre positivo.
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ESEMPI
Utilizzando la definizione di logaritmo, calcolare i seguenti logaritmi
① log 1 3 25
5
Posto x = log 1
5
3 25 , per definizione di logaritmo si ha:
2
Poiché 1 = 5 –1 si ha pure: 5 –x = 53 da cui x = – 2
5
3
()
1
5
x
2
3
3 2
3
= 25 = 5 = 5
Il valore del logaritmo è negativo perché a = 1 < 1 e b = 3 25 > 1
5
② log 3 1
2 8
Posto x = log 3
()
1 , per definizione di logaritmo si ha: 3 x = 1 = 1
( 2) 8 2
2 8
x
x
x
3
Essendo ( 3 2 ) = 2x = 23 , si ha pure: 23 = 2 –3 da cui x = – 9
3
= 2–3
Il valore del logaritmo è negativo perché a = 3 2 > 1 e b = 1 < 1
8
③ log
2
8
Posto x = log
2
8 , per definizione di logaritmo si ha:
x = 3 . Il valore del logaritmo è positivo perché a =
④ log 4 7
(
x
2) =
2 >1 e b=
8=
8 >1
(
3
2 ) da cui
Posto x = log 4 7 , per definizione di logaritmo si ha: 4x = 7
Non è possibile calcolare in maniera immediata il valore di log 4 7 perché l’equazione ottenuta non è un’equazione tra potenze con la stessa base. Occorre la calcolatrice.
Quello che possiamo affermare è che il valore di questo logaritmo è positivo perché la base e
l’argomento sono entrambi > 1
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Conoscendo il logaritmo e la base, determinare l’argomento dei seguenti logaritmi
① log x =
9
1
2
1
Per definizione di logaritmo si ha: x = 92 =
② log
3
x=
3
4
3
3
1 4
3
3 4 = 32
= 38
Per definizione di logaritmo si ha: x = (
③ log 5 x = –1
3
9 =3
( )
)
()
Per definizione di logaritmo si ha: x = 5
3
–1
④ log 0,5 x = 2
= 8 27
=3
5
2
Per definizione di logaritmo si ha: x = 0, 5 = 0, 25
Conoscendo il logaritmo e l’argomento, determinare la base dei seguenti logaritmi
2
① log 3 9 =
x
3
Per definizione di logaritmo si ha:
2
3
x
Per definizione di logaritmo si ha:
–2
x 5
1
2
② log 5 = –
x
4
5
③ log
x
3 1
=
5 2
Per definizione di logaritmo si ha:
1
x2
=
3
=
=
9=
5
2
3
3 da cui
x =3
1
() ()
2
2
1 = 1 5 = 1 5 = 2– 5 da cui x = 2
4
4
2
()
3
da cui x = 3
5
5
2
= 9
25
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PROPRIETÀ FONDAMENTALI
Dalla definizione data in precedenza conseguono le seguenti due proprietà fondamentali dei
logaritmi:
def
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝟏 = 𝟎 ∀ 𝐚 ∈ ℝ+ − {𝟏}
(1)
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐚 = 𝟏 ∀ 𝐚 ∈ ℝ+ − {𝟏}
(2)
Infatti log a 1 = x  a x = 1 = a0  x = 0
def
Infatti log a a = x  a x = a = a1  x = 1
OPERAZIONI CON I LOGARITMI
Per i logaritmi valgono le seguenti regole di calcolo:
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐦 + 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐧 = 𝐥𝐨𝐠𝐚 (𝐦 ∙ 𝐧) ∀ 𝐦 e 𝐧 ∈ ℝ+
(i)
Siano p = loga m e q = loga n. Per definizione di logaritmo si ha: ap = m e aq = n. Quindi ap ∙ aq = ap + q = m ∙ m.
Sempre per definizione di logaritmo si ha: p + q = log a m + loga n = log a(m ∙ n)
 
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐦 − 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐧 = 𝐥𝐨𝐠𝐚 m
n
∀ 𝐦 e 𝐧 ∈ ℝ+
𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐦𝐤 = 𝐤 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐦 ∀ 𝐦 ∈ ℝ+e 𝐤 ∈ ℝ
(ii)
(iii)
L’ultima proprietà vale qualunque sia l’esponente dell’argomento. Vale anche quando
m
.
l’esponente è un numero razionale
n
Ricordando che
m
n
b =b
n
m
, si ha dunque la seguente altra proprietà:
log a
m
n
b = log a b
CAMBIAMENTO DI BASE
n
m
=
n
 log a b
m
(iv)
Siccome esistono infiniti sistemi di logaritmi, è naturale porsi il problema del passaggio da un
sistema all’altro. A tale scopo vale la seguente regola, detta appunto del cambiamento di base:
log a b =
log c b
log c a
Posto k = log a b, per definizione di logaritmo si ha ak = b da cui log c ak = log c b, ossia k logc a = log c b. Dunque
log c b
k = log a b =
log c a
Mediante questa formula è possibile calcolare il logaritmo di un qualsiasi numero in qualunque base determinando, da una calcolatrice scientifica, il suo logaritmo decimale (o naturale).
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ALTRE PROPRIETÀ
Dalla formula del cambiamento di base (o direttamente dalla definizione di logaritmo) conseguono altre proprietà molto utili nelle applicazioni.
log a b =
1
log b a
Infatti se c = b, dalla formula del cambiamento di base si ottiene log a b =
definitiva log a b =
1
log b a
Infatti dalla formula del cambiamento di base si ha log b =
1
a
l’asserto log b = – loga b
1
a
log r b =
a
log a b
r
Sempre dalla formula di cambiamento di base si ha log r b =
log
ar
b=
log b b
. Essendo log b b = 1, risulta in
log b a
log b = – log a b
1
a
a
log a b
r
Sono una conseguenza immediata della (5).
(3)
(4)
log a b
1
. Essendo log a  log a a–1  –1 , risulta
1
a
loga
a
∀𝐫∈ℝ
log a b
log a a r
(5)
. Ma loga ar = r da cui la formula finale
log r bk = k log a b
r
a
(6)
CRESCENZA E DECRESCENZA
Il logaritmo di b in una data base a cresce al crescere dell’argomento se a > 1, decresce al crescere dell’argomento se a < 1.
b1 < b2  log a b1 < log a b2  a > 1
b1 < b2  log a b1 > log a b2  0 < a < 1
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ESERCIZI
Applicando le proprietà dei logaritmi, calcolare il valore dei seguenti logaritmi


① log  2 ⋅ 3 32 
8 
2 ⋅ 3 2 

Essendo 3
2⋅
32
3
2
=3
1
3
Essendo 3
1
3
2
1
2 ⋅ 23

32 
log  2 ⋅ 3
 = log 8
8 
2 3 2 

② 3  log 3
5
=3
5
22
1
2 ⋅ 23
=3
5
22
4
3
2
1
7 3
7
3 7
= 218 ,
= 26 = 26
( )
si ha:
7 
25

 2 ⋅ 218  = log 218 = 25 ⋅ log 2 = 25 ⋅ 1 = 25
8
18
18 3 54


23


()
1
1 = 6 1 = 1 6 , si ha: 3 ⋅ log 3
1
3
3 3
3
()
1
1 = 3 ⋅ log 1 6 = 3 ⋅ log 1 = 1
1 3
1 3
3
6
2
3
3
Utilizzando la calcolatrice e applicando la formula del cambiamento di base, calcolare il valore dei seguenti logaritmi esprimendo il risultato con due cifre decimali
Le calcolatrici forniscono i logaritmi decimali e naturali di ogni numero reale r > 0. Per
risolvere l’esercizio dato, si possono usare indifferentemente sia gli uni che gli altri.
① log 3,4 =
2
③ log 5,7 =
4
log 3,4
0,53

 1,77 ;
log 2
0,30
ln 5,7
1,74

 1,25 ;
ln 4
1,39
② log 4,65 =
④ log
3
2
7,3=
log 4,65
0,67

 1,40
log 3
0,48
ln 7,3
1,99

 5,69
0,35
ln 2
Applicando le proprietà dei logaritmi, semplificare le seguenti espressioni logaritmiche dove tutti i logaritmi si suppongono essere nella stessa base
(
)
① 2 log 2 – 1 log 3 + 1 ( log 3 – 3log 2)
2
2
(
)
2 log 2 – 1 log 3 + 1 ( log 3 – 3log 2) = 2log 2 – log 3 + 1 log 3 – 3 log 2 =
2
2
2
2
−−−−−
=====
=======
−−−−−−
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=
1
1
1
1
2
log 2– log 3= ( log 2 – log 3) = log
2
2
2
2
3
1
1
② 2log b + log a – ( log a – log b )  (con a > 0 𝑒 𝑏 > 0)
2
2

2log b +
1
1
1
1
1
log a – ( log a – log b )  = 2log b + log a – log a + log b =
2 
2
2
4
4
 −−−−−
=======
=======
)
(
−−−−−−
9
1
1
1
1
log b + log a = ( 9log b+log a ) = log b9 + log a = log ( b9 ⋅ a )
4
4
4
4
4
③
1
1
log (1 – x ) – log (1 – x2 ) + 2logx (con 0 < 𝑥 < 1)
2
2
1
1
1
log (1 – x ) – log (1 – x2 ) + 2logx = log (1 – x ) – log (1 – x2 )  + logx2 =

2
2
2 
1
1
1–x 
1
1 
 1 2
2
2
= log
+ logx2 = log
 + logx = log  1 + x  + logx =
2
2
2
1
+
x

1–x 
(
)
1
= log 1 2 + logx2 = log
1+x
④
( log 2 x – log 4 x + log 8 x )
log
2
2
x
1
+ logx2 = log
1+x
x2
1+x
(con x > 0)
Applicando le proprietà dei logaritmi si ha: log x = log
log x = log
8
Dunque:
23
x=
log x
2
3
4
; log
+ log x )
( log 2 x – log 4 x =
8
log
2
x
2
(
2
2
2
1
x = log 1 2 x 2 = log x
2
2
log x
2
x=
2
) (
2
log x – 1 log x + 1 log x
2
2
2
2
3
=
log x
2
;
)
2
5 log x
6
2
25 log x
=
log x
36
2
2
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