A
Giuseppina Anatriello
Fondamenti di Analisi matematica
Dalle funzioni elementari al calcolo differenziale
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II edizione: agosto
Indice
Avvertenze
Prefazione
Introduzione
Parte I
Le funzioni elementari
Capitolo I
Le funzioni elementari
.. Proprietà algebriche delle funzioni elementari nei grafici, – ... Funzione potenza ad esponente reale, – ... Funzione esponenziale, –
... Funzione logaritmo, – ... Funzione potenza ad esponente naturale, – ... Funzione radice n-sima, – .. Le funzioni trigonometriche, .
Capitolo II
Il limite
.. Limiti delle funzioni elementari, – .. Definizione di limite funzioni monotone, – .. Limiti di funzione di funzioni monotone in
punti interni all’intervallo di definizione, – ... Continuità in un
punto, – ... Teorema sui limiti delle funzioni composte di funzioni monotone, – ... Limiti funzioni potenza ad esponente naturale e radice, –
... Limiti delle funzioni trigonometriche, – .. Operazioni tra limiti,
– ... Definizione di limite in termini di intorni, – ... La struttura di
R̂, – ... Teorema delle operazioni tra limiti, – ... Teorema sui
limiti delle funzioni composte anche mediante operazioni, .
Indice
Capitolo III
Ordini di infinito e di infinitesimo
.. Infiniti e infinitesimi e le funzioni elementari, – ... Infiniti,
– ... Infinitesimi, – .. Principi di eliminazione, – ... Principio
di eliminazione sugli ordini di infinito, – ... Principio di eliminazione
sugli ordini d’infinitesimo, – .. Limiti notevoli, – ... Limite notevole funzioni potenza, – ... Limite notevole funzioni esponenziale e
logaritmo, – ... Limite notevole funzione seno, – ... Limite notevole
funzione coseno, .
Capitolo IV
Linearizzazione del grafico
.. Linearizzazione delle funzioni elementari, – ... Retta tangente
al grafico, – ... Differenziabilità, – ... Derivata, – .. Approsimmazioni di ordine superiore, – .. Formula di Taylor, – .. La
derivata e la misura, .
Capitolo V
Funzioni iperboliche
.. Le funzioni iperboliche, – ... Alcune proprietà delle funzioni
iperboliche, – .. Funzioni iperboliche inverse, – .. Derivate
funzioni iperboliche e inverse, .
Osservazioni conclusive sulla teoria delle successioni
Parte II
Le funzioni reali
Capitolo I
Il limite di funzioni reali
.. Limite di funzioni numeriche reali, – ... Punto di accumulazione, – ... Definizione di limite, – ... Teoremi sui limiti,
– ... Continuità in un punto, – ... Classificazione delle discontinuità, – .. Limite funzione di due variabili, – ... Proprietà
geometriche di insiemi di punti: topologia di R , – ... Definizione
di limite per funzioni di due variabili, – ... Teoremi sui limiti, –
... Proprietà topologiche delle funzioni continue, – ... Esempi, –
... Limite di funzioni vettoriali, .
Indice
Capitolo II
La differenziabilità per le funzioni reali
.. Differenziabilità funzioni numeriche, – ... Teoremi in ipotesi di
derivabilità per le funzioni numeriche reali, – .. Differenziabilità di funzioni di due variabili, – .. Formula di Taylor, – ... Formula di
Taylor per le funzioni numeriche reali, – .. Criteri di monotonia e concavità, – ... Formula di Taylor per le funzioni reali di due variabili, –
.. Minimi e massimi relativi di una funzione, – .. Differenziabilità
funzioni vettoriali, .
Parte III
Appendice
Capitolo I
Le funzioni
.. Relazione tra insiemi, – ... Relazioni binarie, – ... Funzioni, – ... Operazioni e strutture su un insieme, – .. Funzioni
scalari e vettoriali, – ... Le funzioni numeriche reali, – ... Funzioni monotone, – ... Problemi algebrici e strumenti analitici, –
... Disequazioni elementari e risoluzione, – ... Le simmetrie nel
piano cartesiano, – ... Le funzioni reali di due variabili reali, –
... Esempio: log (xy − ) , – ... Funzioni e campi vettoriali, .
Bibliografia
Avvertenze
Il testo presuppone la conoscenza delle nozioni di base del linguaggio
della teoria degli insiemi e della geometria piana euclidea. Le notazioni
e i simboli adottati sono quelli di uso più comune in letteratura.
Per non appesantire i discorsi le terminologie vengono usate con
flessibilità.
Dove è possibile, si evita quel rigore solo formale che appesantirebbe troppo la trattazione senza aggiungere comprensione. Il fine
è rendere i contenuti accessibili anche ad un lettore non specialista,
problematizzando metodi e assunzioni.
I contenuti dell’Appendice vengono liberamente utilizzati nel testo.
Prefazione
Questa trattazione è una riedizione del volume Fondamenti di Analisi
Matematica: dalle funzioni elementarial calcolo differenziale, (Cues, ),
in cui veniva proposto un originale percorso dinamico, attraverso il
quale classici concetti del Calcolo venivano fatti risalire a proprietà
individuabili nelle funzioni elementari. Si proseguiva così quanto
fatto in Fondamenti geometrici per Matematica (Cues, ), dove si
pongono i fondamenti della matematica nella geometria. In questa
nuova edizione non compaiono più i capitoli I numeri e la teoria della
misura e Integrazione e misura.
Il volume è diviso in tre parti. La prima è dedicata alle funzioni elementari e trigonometriche (e loro composte) e per tali funzioni vengono
introdotti i concetti e gli strumenti di base dell’Analisi matematica. La
seconda parte è dedicata alle funzioni reali. In essa alle funzioni reali,
quelle numeriche prima a quelle di due variabili poi, si estendono
le nozioni introdotte nella prima parte per le funzioni elementari
(e trigonometriche) e le loro composte. Nella terza vengono trattati
argomenti preliminari sulle funzioni.
Riportare tutte le dimostrazioni dei teoremi che vengono citati non
rientra negli scopi che si prefigge il testo e comunque queste sono
ampiamente presenti in letteratura.
Napoli, agosto
Giuseppina Anatriello
Introduzione
La geometria euclidea fornisce un’idea consolidata di cosa sia una retta,
una circonferenza, un piano, una sfera e più in generale di insiemi che
possono essere descritti mediante questi termini. Non è in grado di
studiare però una curva o una superficie generica, poiché, basandosi
sulle nozioni primitive di punti, segmenti, circonferenze e piani, a
partire da questi non riesce a definire curve e superfici generiche
essendo il suo linguaggio inadeguato allo scopo. In ambito puramente
geometrico una curva è perfettamente definibile attraverso equazioni
che individuino un insieme di punti dello spazio con caratteristiche
geometriche, ma tale percorso non è stato intrapreso e probabilmente
risulterebbe sterile senza l’ausilio di nuovi strumenti. Analogo discorso
può farsi per le superfici.
All’inizio del Cartesio e Fermat fornirono attraverso il metodo
delle coordinate strumenti flessibili per descrivere curve e superfici.
Questa strada portò all’individuazione di metodi di calcolo efficaci.
Nella seconda metà del Newton e Leibniz scoprirono il calcolo
differenziale e integrale, trovando così degli strumenti efficaci per studiare il percorso tracciato da un punto in movimento nel piano e nello
spazio, dando vita al settore della matematica che prende il nome di
Analisi matematica.
Inizialmente l’Analisi matematica puntava alla rappresentazione
geometrica nel piano cartesiano delle funzioni, utilizzando l’algebra
dei numeri, nel tentativo di rispondere a quesiti su calcolo di aree e
caratteristiche geometriche di una curva.
Le ricerche dell’Analisi matematica del Seicento e del Settecento
furono dominate dal concetto di infinitesimo e dal calcolo infinitesimale,
ma il concetto di infinitesimo aveva in sé contraddizioni logiche che
furono presto messe in luce.
Intorno al i matematici cominciarono a preoccuparsi più seriamente delle ripercussioni sulla validità dei risultati prodotte dalle
imprecisioni dei concetti e delle dimostrazioni dell’Analisi matematica
Introduzione
e furono numerosi quelli che decisero di portare ordine nel caos che
si era determinato, ricostruendo l’Analisi matematica sulla base di
concetti puramente aritmetici. è possibile che questa decisione possa
essere stata presa perché considerata più semplice rispetto a quella di
fondare l’Analisi matematica sulla geometria (vedi []). Del resto il metodo delle coordinate nasce proprio per semplificare le dimostrazioni
e le scoperte geometriche, affrancandosi dagli elaborati procedimenti
della matematica greca.
Nel , Augustin–Louis Cauchy, attraverso la formulazione di
una definizione di infinitesimo basata sulla nozione di limite, diede il
via al processo di rigorizzazione del concetto di infinitesimo. Cauchy
diede anche una definizione statica di limite (che prima di questa
riformulazione era pensato come moto e variazione) eliminando in
questo modo l’idea intuitiva del moto e del divenire che non giunge
alla fine. L’infinitesimo fu dunque trasformato da numero fisso a
funzione, indicando con questa una legge secondo la quale quantità
variabili dipendono l’una dall’altra senza implicare necessariamente
un rapporto di causa ed effetto.
Inizia in questo modo un processo che è storicamente indicato con
aritmetizzazione dell’analisi e che consiste inizialmente nella riduzione
dell’Analisi matematica ai numeri. Questo programma impegnerà
soprattutto Karl Weierstrass, quindi Georg Cantor, e infine J. Wilhelm
Dedekind. Pertanto l’Analisi matematica, come studio dei procedimenti infiniti, inizia il suo processo di rigorizzazione dal concetto di
numero reale; esso viene poggiato e fondato sulla nozione di numero
naturale. Weierstrass aveva riportato tutti i concetti aritmetici superiori al concetto di numero naturale, non andando però a fondo della
definizione di quest’ultimo; l’allora ancora intuitiva nozione di numero naturale rappresentava il fondamento solido su cui appoggiare
l’intera impalcatura della matematica.
Si pose però il problema della definizione di numero; Gottlob Frege
impostò tale problema portando il concetto di numero verso quello di
insieme e ancorando in questo modo l’aritmetica e i numeri naturali
alla nozione relazionale di legge logica.
Avvenne così una rivoluzione all’interno della matematica che fece
passare da una visione sostanzialistica dei numeri ad una puramente
funzionale e relazionale, privando la matematica del suo terreno intuitivo e tentando di fondarla sulla logica. Oltre a Frege, anche Giuseppe
Introduzione
Peano prima e Bertrand Russell poi furono i pionieri e gli esponenti
di spicco di tale processo.
Dalla nuova impostazione della matematica nacquero però antinomie e la loro scoperta provocò un dibattito tra le scuole fondazionali,
quella logicista, quella formalista e quella intuizionista, e le scuole convenzionaliste, ma il teorema di incompletezza di Gödel del stroncò
le pretese fondazionali di questo percorso.
Intanto però il processo di rigorizzazione aveva consentito uno
sviluppo delle teorie matematiche e messo un po’ d’ordine in concetti
che prima non erano ben definiti.
Nel ventesimo secolo strumenti nuovi e linguaggi nuovi arrivarono con lo sviluppo della topologia e impressero una nuova spinta
all’Analisi matematica.
Con il processo avviato dall’aritmetizzazione dell’Analisi il punto di
vista moderno ha finito con il privilegiare l’aspetto della matematica
che la configura come linguaggio, indifferente all’essenza delle cose
che tratta, e slegata alla percezione.
In [] si riscoprono nella geometria i fondamenti della matematica
e si vuole recuperare, in qualche misura, la convinzione che la matematica si occupi di oggetti matematici e le sue teorie indirizzino il loro
sforzo di ricerca verso la conoscenza di tali oggetti.
Con questo spirito in questo volume ridefiniamo e rivisitiamo i
concetti di base dell’Analisi matematica e del Calcolo differenziale
cercando di ritrovarne le origini cognitive.
Le proprietà grafiche delle funzioni elementari saranno gli oggetti messi a fondamento dell’Analisi matematica e dei suoi concetti
basilari, come il limite, la continuità e la derivabilità. Rappresentano dunque queste curve un modello base per l’individuazione di
quelle proprietà considerate proprie delle curve prima dell’avvento
dell’aritmetizzazione dell’Analisi.
Per sintesi, in questa trattazione procederemo assumendo nota la definizione algebrica di ab con a e b enti numerici, e tutte le
sue proprietà algebriche. L’ambito in cui ci muoveremo può essere
considerato quello sviluppato in [] e [] o quello tradizionalmente
accettato.
P I
LE FUNZIONI ELEMENTARI
Capitolo I
Le funzioni elementari
Considerando l’espressione ab come valore in un punto di una funzione le proprietà algebriche delle potenze possono essere racchiuse
in espressioni sintetiche.
Daremo per note le dimostrazioni di tutte le proprietà algebriche
delle potenze e ci preoccuperemo di porle in evidenza nei grafici di
alcune classi di funzioni.
Le funzioni che vogliono racchiudere le proprietà delle potenze
sono le funzioni potenza, esponenziale e logaritmo e vengono dette
funzioni elementari.
Dalle funzioni elementari e dalle loro composte (anche tramite
le operazioni dell’algebra dei numeri) faremo derivare le principali
nozioni dell’Analisi matematica.
. La possibilità di definire con una costruzione con riga e compasso un punto il
cui quadrato è un punto assegnato (rispetto ad un punto unità, U) e le altre costruzioni
considerate in [] e in [] consentono di costruire con riga e compasso un insieme denso
di punti del tipo AP con P che varia in un insieme denso di una semiretta OA. Grazie
all’assioma di continuità della semiretta è possibile considerare AP con P che varia sull’intera
semiretta OU. Quanto esposto, opportunamente formalizzato, consente di definire AP da
un punto di vista strettamente geometrico.
. Ricordiamo, per comodità del lettore, le proprietà algebriche delle potenze più
importanti:
a) kα ⋅ kβ =α+β ;
b) kα ∶ kβ = kα−β ;
c) (kα )β = kα⋅β .
Esse danno luogo a proprietà che sono leggibili su rappresentazioni grafiche nel piano
cartesiano euclideo attraverso l’introduzione delle funzioni elementari.
Aggiungiamo che, volendo dare significato all’esponente , l’unica posizione
ammissibile è:
a =
Fondamenti di Analisi matematica
L’impostazione teorica adotta procedimenti di scoperta che permetteranno di individuare le proprietà delle funzioni che danno luogo
ad esse e utilizza ragionamenti eterogenei di natura non esclusivamente verbale e in cui il disegno ha un ruolo centrale di mediatore
epistemico.
.. Proprietà algebriche delle funzioni elementari nei grafici
Le rappresentazioni grafiche che utilizzeremo, con le loro convenzioni classiche, sono provenienti da una trattazione algebrico–geometrica
idonea su cui non ci soffermeremo ma che assumeremo date, deducibili dal lavoro svolto in [] e che corrispondono poi alle normali
convenzioni in uso.
Cominciamo a sottolineare che:
a) le proprietà algebriche delle potenze fanno sì che le rappresentazioni grafiche delle funzioni elementari si presentino come deformazioni in curve di linee rette (rette/semirette) rappresentate
sull’asse x.
b) l’insieme di definizione della funzione induce sull’insieme rappresentativo del grafico nel piano cartesiano un ordinamento
rispetto a cui esso è un insieme continuo con il conseguente
significato geometrico che questo termine ha riferito alla retta.
Questa proprietà prenderà il nome di continuità della funzione
e troverà una sua espressione analitica attraverso un percorso
dinamico che svilupperemo.
La prima classe di funzioni che andremo a trattare sono le funzioni
potenza ad esponente reale .
. Ricordiamo che algebricamente la definizione di potenza ad esponente reale viene
data a partire da quella di potenza naturale.
. Le funzioni elementari
... Funzione potenza ad esponente reale
La funzione f (x) = xα , con α ∈ R, è detta funzione potenza di esponente
α.
Nella figura in alto sono rappresentati grafici tipo di una funzione
potenza con esponente reale positivo, nei casi esponente maggiore
e esponente minore di .
Nella figura in alto è rappresentato un grafico tipo (quello con tratto continuo) del grafico di una funzione potenza con esponente reale
negativo.
Sulle rappresentazioni grafiche si legge:
a)
b)
c)
d)
il dominio è ], +∞[,
l’insieme delle immagini è ], +∞[
vale la proprietà di continuità,
le funzioni sono monotone di tipo strettamente crescente o
strettamente decrescente, e quindi ogni funzione appartenente
alla classe delle funzioni potenza è invertibile.
Dalle proprietà delle potenze si desume che l’inversa di xα è x/α .
Al grafico di ciascuna delle funzioni appartiene il punto di coordinate
(, ), poiché α = , ovvero:
(, ) ∈ Gxα ,
∀ α ∈ R.
Fondamenti di Analisi matematica
Funzione potenza ad esponente reale positivo
Per α >
Nella figura in alto è rappresentato un grafico tipo di una
funzione potenza con esponente
maggiore .
Nella figura in alto è rappresentato
un grafico tipo di una funzione potenza con esponente compreso tra
e .
Dai grafici si evince che l’ordinamento delle ascisse è lo stesso di quello
delle ordinate; questa proprietà, che è soddisfatta da ogni funzione xα ,
con α > , è di monotonia di tipo strettamente crescente.
Abitualmente si pone α = , per cui si può considerare (, ) ∈ Gxα
e in tal caso diventa:
xα ∶ [, +∞[
→
[, +∞[.
Per < α < la rappresentazione del grafico della funzione è del tipo
riportato in figura ..
Nel grafico si può leggere la proprietà:
xα > x,
se < x <
Sempre dal grafico si legge:
xα < x,
se
x>
. Infatti la rappresentazione grafica della funzione si trova al di sopra della bisettrice
per gli x < e la bisettrice è formata da punti che hanno per coordinate le coppie (x, x) e il
grafico della funzione xα dalle coppie (x, xα ).
. Infatti il grafico della funzione si trova al di sotto della bisettrice per gli x > .
. Le funzioni elementari
Figura .. Grafico funzione xα , con < α <
Per α > un rappresentazione del grafico della funzione è del tipo
riportato in figura ..
Figura .. Grafico funzione xα , con α >
Nella rappresentazione grafica si può leggere la proprietà:
xα < x,
se
<x<
Inoltre si legge sul grafico:
xα > x,
se
x>
. Infatti per gli x < il grafico della funzione si trova al di sotto della bisettrice.
. Infatti il grafico della funzione si trova al di sopra della bisettrice per gli x > .
Fondamenti di Analisi matematica
In generale, considerate due funzioni potenza xα e xβ , con α > β > ,
si ha
a) xα < xβ , se x < ,
b) xα > xβ , se x > .
Le proprietà si possono leggere nel piano cartesiano. Infatti:
Se α > β > , si ottiene una
rappresentazione grafica del tipo
riportato nella figura in basso a
sinistra.
Se α > β, con < α < , e
< β < , si ottiene una rappresentazione grafica del tipo riportato
nella figura in basso a destra.
Se α > , < β < , si ottiene una rappresentazione grafica del tipo
riportato in figura ..
Figura .. Funzioni potenza xα e x α
Notiamo che in tutti i casi per esponente α > β il grafico xα si trova
al di sotto del grafico di xβ prima del punto di intersezione (, ) e
al di sopra dello stesso dopo (, ), quindi i due grafici invertono la
posizione reciproca in corrispondenza del punto (, ).
. Le funzioni elementari
Funzione potenza ad esponente reale negativo
Per α < la rappresentazione del grafico della funzione è del tipo:
Se α < −, si ottiene una rappresentazione grafica del tipo riportato in
basso.
Se − < α < , si ottiene una rappresentazione grafica del tipo riportato
in basso.
Come si osserva dai disegni, le funzioni esaminate sono definite in
], +∞[ e l’insieme delle immagini è ], +∞[, quindi:
f ∶ ], +∞[
→ ], +∞[
Inoltre, le funzioni soddisfano la proprietà che l’ordinamento delle
ordinate di punti del grafico è l’opposto di quello delle relative ascisse.
Questa proprietà prende il nome di monotonia di tipo strettamente
decrescente.
Considerate ora due funzioni potenza xα e xβ , se > α > β risulta:
a) xα < xβ per x <
b) xα > xβ per x >
−α
. Ricordiamo che vale la seguente relazione xα = ( x ) .
