ESERCIZI SULLA PROBABILITA`

ESERCIZI SULLA PROBABILITA’
(tratti dai temi d’esame, dalle simulazioni nazionali e dalle simulazioni di Istituto)
1. Venti palline sono poste in un'urna. Cinque sono rosse, cinque verdi, cinque gialle e cinque
bianche.. Dall'urna si estraggono a caso, senza reimbussolamento, tre palline. Si valutino le seguenti
probabilità:
a) esattamente una pallina è rossa
b) le tre palline sono di colori differenti.
(PNI 2014)
2. La "zara" è un gioco d'azzardo di origine araba che conobbe particolare fortuna in Italia in epoca
medievale - ne parla anche Dante nella Divina Commedia - e si giocava con tre dadi. Si confronti la
probabilità di ottenere in un lancio la somma 9 con quella di ottenere la somma 10. (PNI 2014)
3. In un gruppo di 10 persone il 60% ha occhi azzurri. Dal gruppo si selezionano a caso due persone.
Quale è la probabilità che nessuna di esse abbia occhi azzurri? (PNI 2013)
4. Siano dati nello spazio n punti P1, P2, P2,...,Pn. Quanti sono i segmenti che li congiungono due a
due? Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)?
Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)? (PNI 2012)
5. Un test d'esame consta di dieci domande per ciascuna delle quali si deve scegliere l'unica risposta
corretta fra quattro alternative. Qual è la probabilità che, rispondendo a caso alle dieci domande,
almeno due risposte risultino corrette? (PNI 2011)
6. In una classe composta da 12 maschi e 8 femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8 studenti. Qual
è la probabilità che, in tale gruppo, vi siano esattamente 4 studentesse? (PNI 2008)
( x −µ) 2
−
1
2
e 2 σ Se ne spieghi l'importanza nelle applicazioni della
7. Si consideri la funzione f ( x) =
σ 2π
matematica illustrando il significato di µ, σ, σ 2 e come tali parametri influenzino il grafico di f(x).
(PNI 2007)
8. Si scelga a caso un punto P all'interno di un triangolo equilatero il cui lato ha lunghezza 3. Si
determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1. (PNI 2006)
9. Quale è la probabilità di ottenere 10 lanciando due dadi? Se i lanci vengono ripetuti quale è la
probabilità di avere due 10 in sei lanci? E quale è la probabilità di avere almeno due 10 in sei lanci?
(PNI 2005)
10. Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose.
A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne
contiene 1000 con il 10% difettose. Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada.
Quale è la probabilità che essa sia difettosa? (PNI 2003) Sapendo che la lampadina estratta è
difettosa, qual è la probabilità che provenga dalla scatola A ?
11. Il seguente è uno dei celebri problemi del Cavaliere di Méré (1610 - 1685), amico di Blaise Pascal:
giocando a dadi è più probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado, oppure
almeno un doppio 1 con 24 lanci di due dadi? (PNI 2002)
12. Una classe è composta di 12 ragazzi e 4 ragazze. Tra i sedici allievi se ne scelgono tre a caso: qual è
la probabilità che essi siano tutti maschi (PNI 2001)
13. In un seggio elettorale composto da 600 donne e 400 uomini si possono votare le liste A, B e C. Le
probabilità che una donna voti una delle tre liste sono, nell'ordine 50%, 30%, 20% mentre le
corrispondenti probabilità per gli uomini sono 55%, 35%, 10%. Gli scrutatori, aprendo una scheda,
vedono votata la lista A. Qual è la probabilità che la scheda sia stata votata da una donna?
(SIMULAZIONE)
14. In un liceo il 25% degli studenti frequenta la prima classe, il 20% la seconda, il 20% la terza, il 18%
la quarta e il 17% la quinta. Frequentano le lezioni di religione l'80% degli studenti di prima, il 75%
di quelli di seconda, il 78% di quelli di terza, il 72% di quelli di quarta e il 65% di quelli di quinta.
Preso a caso uno studente che fa religione, che probabilità c'è che sia di quinta? (SIMULAZIONE)
15. Un tiratore spara ripetutamente a un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro.
Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥ 0,99 di colpirlo almeno una volta? (SIMULAZIONE)
16. In una stazione ferroviaria, fra le 8 e le 10 del mattino, arrivano in media ogni 20 minuti due treni.
Determinare la probabilità che in 20 minuti:
a) non arrivi alcun treno;
b) ne arrivi uno solo;
c) ne arrivino al massimo quattro (SIMULAZIONE MIUR 2015)
17. Il paradosso della scimmia, noto come paradosso di Borel, dal nome del matematico francese che lo
formulò, può essere enunciato come segue: una scimmia che digiti a caso su una tastiera riuscirà
prima o poi a scrivere la Divina Commedia: Nel mezzo del cammin di nostra vita…
Immaginando di digitare a caso tre lettere su una tastiera composta dalle sole 26 lettere
dell’alfabeto, calcola:
a) la probabilità di comporre la parola «NEL»;
b) la probabilità di comporre «NEL» per la prima volta al quinto tentativo;
c) quante volte occorre ripetere l’esperimento affinché la probabilità di scrivere «NEL» almeno una
volta sia superiore al 90%;
d) qual è la probabilità che in 263 tentativi si scriva «NEL» almeno due volte usando la
distribuzione di Poisson. (PROPOSTA Zanichelli 2015)
18. La distribuzione delle altezze (espresse in centimetri) di un gruppo di ragazzi è descritta con buona
approssimazione dalla funzione
f ( h) =
1
10 2π
e
−
( h −170 ) 2
200
Qual è la probabilità che l’altezza di
un ragazzo scelto a caso nel gruppo sia maggiore di 180 cm? (Suggerimento. Consulta la tavola di
Sheppard) (PROPOSTA Zanichelli 2015)
19. Da una statistica in una scuola è risultato che lo 0,6% degli studenti possiede più di 100 libri di
narrativa. In un gruppo di 20 studenti, studia la variabile casuale X = «numero delle persone che
posseggono più di 100 libri» e determina il valor medio, la varianza e la deviazione standard.
Determina inoltre la probabilità che il numero di studenti con più di 100 libri sia più di 1 nel gruppo
dei 20 studenti considerati. (SIMULAZIONE)