Problemi

1
Il problema delle caprette (da The pleasures of probability di I. Richard - Springer)
State partecipando, come concorrente, a una trasmissione televisiva. Il presentatore vi mostra tre
porte A, B e C: due di esse nascondono due simpatiche caprette, una per ogni porta; dietro la terza
porta, invece, c'è la macchina dei vostri sogni. Il gioco è semplice: scegliete una porta e potete
portare a casa quello che appare dopo la sua apertura (macchina o capra); non c'è nessuna
possibilità di avere indizi, essendo tutto assolutamente casuale.
Avete deciso: volete la B, ma prima che il presentatore possa aprirla, inaspettatamente, dalla porta A
esce una capretta. A questo punto vi viene data la possibilità di confermare la scelta o di cambiare
scegliendo C (diamo per scontato che vogliate la macchina).
Qual è la scelta più vantaggiosa?
Qual è la probabilità di vincere la macchina cambiando la scelta iniziale?
2
Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici italiani del secolo scorso, del quale
ricorre quest’anno il centenario della nascita, alla domanda “che cos’è la probabilità” era solito
rispondere “la probabilità non esiste!”. Quale significato puoi attribuire a tale risposta? È possibile
collegarla ad una delle diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?
(Q7 PNI s. ord. 2006).
3
Il seguente è uno dei celebri problemi del Cavaliere di Méré (1610-1685), amico di Blaise Pascal
"giocando a dadi è più probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado, oppure
almeno un doppio 1 con 24 lanci di due dadi? (PNI Q2 s.o. 2002).
4
Si estrae un numero di tre cifre che inizia con 1; qual è la probabilità che, considerato tale numero
come risultato dell'addizione 54+87, esso verifichi la "prova del nove" dell'addizione ma sia errato
come risultato?
5
Il pilota di formula 1, Sciumi, partecipa ad una gara. Secondo gli esperti la probabilità che Sciumi
vinca la gara è dell'80% in caso di pioggia e del 60% nel caso che non piova. Il servizio
meteorologico prevede che, sul circuito, per il periodo della corsa, la probabilità di avere pioggia è
del 65%. Qual è la probabilità complessiva che Sciumi ha di vincere la gara?
6
La probabilità che un vigile urbano passi a controllare una macchina che sosta in un parcheggio a
pagamento, non custodito, è di 1/300 per ogni minuto di sosta. La tariffa prevista per il parcheggio è
1 euro per ora (quota minima 0,5 euro); la multa per sosta senza tagliando 50 euro. Quanto vale la
speranza matematica di multa per un automobilista che si ferma per 30 minuti? È vantaggioso non
pagare il biglietto per una sosta di 30 minuti? Qual è il tempo di sosta massimo per il quale è
vantaggioso non pagare il biglietto?
7
Una compagnia aerea pratica degli sconti del 50% sul costo del biglietto, a condizione che si parta
di lunedì e che si prenoti almeno una settimana prima. La prenotazione del biglietto scontato non è
rimborsabile, né rinviabile. Sono sempre disponibili, invece, biglietti a tariffa intera. Tizio, al
momento in cui deve prenotare, valuta che egli potrà partire di lunedì con probabilità dell’80%, e
nei giorni successivi al 20%. Gli conviene prenotare il biglietto scontato ?
8
Dimostrare che un evento di probabilità p si verifica almeno una volta in un ciclo con probabilità
1  (1  p )
1
p