Matematica PNI - Soluzione quesito 1 Si ha un triangolo

Matematica PNI - Soluzione quesito 1
Si ha un triangolo di lati a=2; b=3 e area A=3. Si vuole determinare il
terzo lato c.
Utilizzando la formula di Erone per il calcolo delle aree di un triangolo si
ha:
√
A = p(p − a)(p − b)(p − c)
dove p il semiperimetro del triangolo.
Da qui, moltiplicando e risolvendo rispetto alla c si trova l’equazione
biquadratica:
c4 − 26c2 + 169 = 0
Da
si ottengono le due soluzioni reali
√ qui√
13 − 13
di cui
√ l’unica ammissibile
c = 13
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Matematica PNI - Soluzione quesito 2
Si ha che la derivata della funzione F [x] = f (x) − f (2x) in x=1 vale 5 e
in x=2 vale 7.
Si vuole trovare la derivata della funzione G[x] = f (x) − f (4x) in x=1.
′
′
′
Poich F [x] = f (x) − 2f (2x) e si ha pure G′ (x) = f ′ (x) − 4f ′ (4x) otteniamo
f ′ (1) − 2f ′ (2) = 5
′
f (2) − 2f ′ (4) = 7
da cui, moltiplicando la seconda per due e sommando membro a membro
f ′ (1) − 2f ′ (2) + 2f ′ (2) − 4f ′ (4) = 5 + 14
e quindi
G′ (1) = f ′ (1) − 4f ′ (4) = 19
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Matematica PNI - Soluzione quesito 3
Si cerca l’equazione della retta passante per il punto B(-6;-8 ) che abbia
distanza massima dal punto A(2;-1).
Chiamata r : y = mx + q la retta cercata, abbiamo, per l’appartenenza
del punto B, che
−8 = −6m + q (1)
Ora dobbiamo imporre la massima distanza dal punto A di r. La distanza
0 −q
dove y0 e x0 sono le coordinate del punto A.
data da d = y0√−mx
1+m2
Dunque basta cercare i punti di massimo della funzione
1
√
d = −1−2m−q
= √7−8m
ottenuta tenendo conto della condizione (1)
1+m2
1+m2
studiandone
il segno della derivata
√
′
(7−8m)2m
−8 1+m2 − √
2
2 1+m
d =
1+m2
Cos facendo si ottiene m = − 87 ; q = − 104
7
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Matematica PNI - Soluzione quesito 4
Di un tronco di piramide retta si sonoscono l’altezza h e i lati delle basi
a e b.Si Cerca il volume V.
Si ha per il volume
√ di un tronco di piramide retto che il volume uguale a
h
V = 3 (A + a + A ∗ a)
dove A e a sono le aree delle due basi, quindi nel nostro caso una sar a2
e una b2
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Matematica PNI - Soluzione quesito 5
Se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura
un corpo si allunga di una certa percentuale in tutte le le direzioni la sua
superficie si accresce di proporzione doppia, per la legge di dilatazione lineare
l = l0 (1 + λt)
dove lambda il coefficiente di dilatazione lineare, t la temperatura finale del corpo (se supponiamo che parta da zero gradi centigradi (altrimenti
rappresenta la differenza di temperatura), l la lunghezza finale ed l0 quella
iniziale.
Invece il suo volume accrescer in proporzione tripla per la legge di dilatazione termica cubica:
V = a0 (1 + λt)bo (1 + λt)co (1 + λt) = V0 (1 + 3λt)
dove a0 ; b0 ; c0 sono le dimensioni iniziali del corpo, e dove abbiamo trascurato λ2 e λ3 .
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Matematica PNI - Soluzione quesito 6
Il numero pi piccolo che possiamo ottenere 1234567.
Per ottenere il numero che occupa la settima posizione basta tener presente che le permutazionipossibili delle ultime tre cifre (5, 6 e 7) sono 6.
Quindi il numero immediatamente pi grande si otterr scambiando il posto
del 4 e del 5 ed :
1235467.
Per quanto riguarda la 721 posizione teniamo presente che 6! = 720, e
sarebbero tutte le permutazioni delle ultime sei cifre partendo sempre dal
2
numero pi piccolo possibile 1234567.
Quindi il numero che occupa la 721a posizione sar quello ottenuto invertendo l’1 ed il 2 e cio:
2134567.
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Matematica PNI - Soluzione quesito 7
In un gruppo di 10 persone il 60probabilit che nessuna di essere abbia
occhi azzurri?
La risposta 13Infatti la probabilit che la prima persona considerata non
abbia gli occhi azzurri :
4
10
essendo 4 le persone non dotate di occhi azzurri e 10 le persone totali.
La probabilit che la seconda persona considerata non abbia gli occhi azzurri :
3
9
Basta moltiplicare queste due probabilit ed otteniamo:
4
30
che corrisponde a 0,133333.
—————————————————Matematica PNI - Soluzione quesito 8
Si mostri senza usare il Teorema di L’Hopital, che:
senπ
limx→π exp senx−exp
= −1
x−π
Sappiamo dalla definizione di derivata che:
(x0 )
f (x0 )′ = limh→0 f (x0 +h)−f
h
Quindi noi abbiamo la derivata della funzione
esenx
nel punto x = π
Quindi basta calcolare
′
f (π) = esenπ ∗ cosπ = −1
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Matematica PNI - Soluzione quesito 9
Gli irrazionali sono di pi dei razionali. La risposta deriva dal fatto che i
numeri reali si possono vedere come unione di razionali e irrazionali. Poich
sappiamo da Cantor che Q ed N sono equipotenti, mentre la potenza di R (la
potenza del continuo) superiore a quella di N, si ha come logica conseguenza
che i numeri
∪ irrazionali devono essre di pi dei razionali perch valga:
R = Q I.
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Matematica PNI - Soluzione quesito 10
Quesito 10
Per stabilire per quali valori di K la funzione ammette due soluzioni reali
e distinte nell’intervallo [0,3] ci rappresentiamo la funzione
f (x) = x2 (3 − x)
(A meno di eventuali flessi il grafico questo, non ci interessano).
Dal grafico notiamo che una la retta y=K avr due intersezioni distinte
con la curva (appartenenti all’intervallo [0,3]) per valori di k che vanno da 0
all’ordinata del massimo relativo (presente tra 0 e 3). Studiando la derivata
prima della funzione troviamo il punto di massimo relativo x=2. Il massimo
sar M(2,4).
Quindi per k appartenente all’intervallo [0,4).
Posto k = 3 usiamo il metodo di bisezione per approssimare la maggiore
delle radici della funzione:
f (x) = x2 (3 − x) − 3
consideriamo che f(x) = 0 ha sicuramente la radice maggiore con x¿2
4
(punto di massimo relativo della funzione).
Poniamo a0 = 2 e b0 = 3. Vediamo che f(2) = 1, ed f(3) = -3. Quando
sono di segno opposto
n
e
consideriamo an+1 = an +b
2
n
bn+1 = b . (In caso contrario lascio inalterato a e modifico b).
Quindi la soluzione cercata sar sempre tra bn e an.
an ¡ x ¡ bn.
Quando an e bn cono uguali fino alla seconda cifra decimale possiamo
fermarci.
Partendo da a0 = 2 e b0 = 3; fino ad a4 = 11/4 e b4 = 45/16 troviamo
2,75 ¡ x ¡ 2,81.
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