Circonferenza e cerchio
………………… è il luogo dei punti che hanno dal centro una distanza assegnata.
La figura costituita da tutti i punti di una circonferenza e dai suoi punti interni si
chiama………………
Prendi uno spago, misura la sua lunghezza l e poi avvolgilo fino a formare una
circonferenza. Misura poi il diametro d di tale circonferenza. Calcola poi
l
d
Ripeti la stessa operazione con diversi spaghi.
Il valore che hai ottenuto è circa uguale a ………
Manipola la relazione ottenuta fino ad ottenere la nota formula C=2πr
Considera ora la circonferenza riportata qui sotto e completa.
Il segmento BC è detto …………….. della ……………… mentre le 2 parti di circonferenza
limitate dai punti B e C sono detti …………… di……………………..
Traccia ora la perpendicolare al segmento BC, passante per il suo punto medio M.
Che cosa noti?
Essa passa …...............................................
Risolvi ora il seguente problema sfruttando quanto appreso precedentemente
Trova il centro della circonferenza passante per i 3 punti qui sotto.
1.1 Angoli alla circonferenza
Figura 1
ˆ e FEG
ˆ sono detti angoli alla circonferenza in quanto hanno il …………..
Gli angoli CBD
sulla circonferenza e i lati che li comprendono entrambi …………. o uno …………. e
l’altro ………… la circonferenza.
Ogni angolo alla circonferenza ha un corrispondente angolo al centro. L’angolo alla
ˆ , mentre FEG
ˆ ha come corrispondente angolo al centro COD
ˆ ha
circonferenza CBD
come corrispondente angolo al centro ……...
Figura 2: caso 1
Figura 3: caso 2
ˆ è inscritto nell’arco CBD e che insiste
Si dice che l’angolo alla circonferenza CBD
nell’arco DC
Ogni angolo alla
centro.
circonferenza
è la metà
del corrispondente
angolo
al
La dimostrazione andrebbe fatta per 6 diversi casi; noi ci limiteremo al seguente
caso.
Caso 1
x=O B̂ C=………
perché …......è
un triangolo isoscele
Quindi
̂ C=………
BO
dato che la somma degli angoli di
un triangolo è 180 gradi.
Si ricava quindi che
ε =180− B Ô C =180−(……)=……
Applicando lo stesso ragionamento
al triangolo ̂
OBC
si ha che……..=2y
Si conclude che ε=2x, θ=2y quindi ogni angolo alla circonferenza è
….....................................................................................................................................
L’angolo alla circonferenza che insiste
su una semicirconferenza è retto
(è una conseguenza evidente del teorema precedente)
1.2 Area del cerchio
Chiama P il perimetro dell’esagono e R il
raggio della circonferenza inscritta.
Trova una formula che permetta di
calcolare l’area dell’esagono in funzione
di P e R
A=
......
P⋅ R
.......
L’area dell’esagono è una
approssimazione per ………..….
dell’area del cerchio inscritto.
Chiama P il perimetro del decagono e R il raggio della circonferenza inscritta.
Trova una formula che permetta di calcolare l’area del decagono in funzione di P e R
A=
......
P⋅ R
.......
Come potrai intuire tale formula vale per
tutti i poligoni.
L’area del decagono è un’
approssimazione per …………. dell’area
del cerchio migliore di quella
dell’esagono.
Prova ora ad immaginare un poligono
con infiniti lati. Esso avrà area uguale a
quella del…………
inscritto.
L’area sarà :
A=
......
P ⋅ R , con P=…….., dato che si
.......
tratta del perimetro di una circonferenza.
Quindi A=………………
1.3 Esercizi
1) Gli archi, nei quali 3 punti A B
C dividono una circonferenza,
sono lunghi 47,1 m 62,8 m 78,5
m; determinare il raggio della
circonferenza e l’ampiezza degli
angoli del triangolo ABC.
2)Un arco di 120° è lungo 24Π cm; determinare la lunghezza della corda che unisce i
punti estremi.
3)Dimostra che l'area e il perimetro delle 2 figure sono quelle indicate dalle formule.
4) Trova area e perimetro delle seguenti figure
5) Dimostra che la somma delle 4 lunule
ha area equivalente a quella del quadrato.
(Chiama x il lato del quadrato)
6) Dimostra che le 2 aree evidenziate in
figura sono equivalenti.
Dimostra che le superfici non evidenziate
sono ciascuna equivalente a un quarto del
quadrato di lato AB.
(Suggerimento: x = DA )
Calcola inoltre la differenza tra i 2 perimetri
7) Dimostra che l’area della superficie
evidenziata è equivalente a quella del cerchio
che ha come diametro il segmento GH.
Trova il perimetro di tale figura in funzione di
x e y.
8) Se l'area in colore nella figura a lato è
100πcm2 quanto misura il segmento AB.
(Imposta un'equazione )
9)Calcola area e perimetro
10) Nella figura sotto AD e CB sono uguali e le semicirconferenze di diametri AB e
DC hanno come centro comune O. Dimostra che le 2 superfici colorate in figura
sono equivalenti e che la differenza tra i loro contorni è congruente alla
circonferenza di diametro AD. (Chiama AO=x ,DO=y)
1.4 Sangaku
1)Trova una relazione tra il raggio R della circonferenza maggiore e il lato c del
quadrato.
2)Trova una relazione tra il raggio r della circonferenza minore e il lato c del quadrato.
1) Risolvi prima la prima parte del
problema aiutandoti con il
seguente disegno e compilando i
dati mancanti.
Definisci i 3 segmenti solo in
funzione di c e R
GL = .......
AG = ......
AL = .......
Trova ora una relazione tra i 3
segmenti che ti permetterà di
trovare il raggio in funzione del lato
c del quadrato.
Trova ora una relazione che ti
permetterà di trovare il raggio r in
funzione del lato c del quadrato.
2) Risolvi prima la seconda parte
del problema aiutandoti con il
seguente disegno e compilando i
dati mancanti.
Definisci i segmenti in funzione
solo di c e r.
AH = ...
HR = ......
AR =
...........
BH = ........
HS = r
BS =
............
1.5 Esercizi
1)Verifica con geogebra che che l’angolo al centro è il doppio di quello sulla
circonferenza.
2) Disegna con geogebra un esagono, e un decagono.
3)) Disegna con geogebra la figura del sangaku.
