Esercizi formula di Taylor

Appunti sul corso di Analisi Matematica 1 complementi (a) prof. B.Bacchelli
Appunti 10:
Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9, 4.1.
Esercizi 3.4, 3.9, 4.1
Esercizi
Scrivere la formula di Taylor di ordine due, resto di Peano e centro nel
punto P indicato.
f (x, y) = ex/y + xy + 2 , P = (1, 0)
Facendo le derivate parziali necessarie e applicando la formula si ottiene
³ f (x, y) = 3 + 2y + y 2 /2 + o((x − 1)2 + y 2 ), (x, y) → (1, 0)
f (x, y) = x3 + y 2 + 2exy , P = (−1, −1)
Facendo le derivate parziali necessarie e applicando la formula si ottiene
³ f (x, y) = 2e + (3 − 2e)(x + 1) + (−2 − 2e)(y + 1) − (3 − e)(x + 1)2
+2(1 + e)(x + 1)(y + 1) + (1 + e)(y + 1)2 + o((x + 1)2 + (y + 1)2 ),
(x, y) → (−1, −1)
f (x, y) = x5 − 3xy + sin y 2 , P = (0, 0)
In questo caso, senza fare derivate, si può usare lo sviluppo di McLaurin
di sin t
³ f (x, y) = −3xy + y 2 + o((x2 + y 2 ), (x, y) → (0, 0)
Da questa formula si può dedurre che fxx (0, 0) = 0, fxy (0, 0) = −3,
fyy (0, 0) = 2
f (x, y) = log(3x2 + y), P = (0, 1)
Senza fare derivate, si può usare lo sviluppo di McLaurin di log(1 + t)
³ f (x, y) = log((3x2 + y − 1) + 1)
1
2
= (3x2 + y − 1) − (3x2 + y − 1) + ...
2
1
2
= (y − 1) + 3x − (y − 1)2 + o((x2 + (y − 1)2 ), (x, y) → (0, 1)
2
f (x, y) = ex−2y , P = (3, 0)
Senza fare derivate, si può usare lo sviluppo di McLaurin di et
1
³ f (x, y) = ex−3+3−2y = e3 e(x−3)−2y = e3 [((x − 3) − 2y) + ((x − 3) −
2
2y)2 + ...]
e3
= e3 (x − 3) − 2e3 y + (x − 3)2 + e3 y 2 − 2e3 (x − 3)y + o((x − 3)2 + y 2 ),
2
(x, y) → (3, 0)
1
Scrivere la formula di Taylor di ordine 6, resto di Peano e centro nel
punto (0, 0)
f (x, y) = x4 + cos(x3 y) − 1
Senza fare derivate, si può usare lo sviluppo di McLaurin di cos t
³ f (x, y) = x4 + o((x2 + y 2 )3 ), (x, y) → (0, 0)
2