LEZIONE 5: CALCOLO
COMBINATORIO
Giacomo Tommei
e-mail: [email protected]
web: www.dm.unipi.it/∼tommei
Ricevimento: Martedi 16 - 18
Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126
31 Ottobre 2012
Cos’è il calcolo combinatorio?
Il calcolo combinatorio è uno strumento che ci permette di
contare i modi nei quali raggruppiamo, secondo opportune
regole, elementi di un insieme finito.
Esempi
In quanti modi posso combinare 6 canzoni in gruppi di 4? E se le
canzoni fossero 10? Oppure 20?
Ad una corsa partecipano 15 persone. Quanti possibili podi
possono verificarsi? Quanti sono gli ordini di arrivo possibili?
Quanti sono i possibili pin di un bancomat formati da 5 cifre?
Ho un gruppo di 7 persone e ne devo scegliere 3. In quanti modi
posso farlo?
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Disposizioni senza ripetizione
Esercizio
Quanti numeri di tre cifre distinte si possono formare con le cifre
2, 4, 6, 8, 9?
Soluzione
Posso scegliere la prima cifra in 5 modi diversi, la seconda in 4 e la
terza in 3:
# {num. 3 cifre distinte} = 5 · 4 · 3 = 60
Quello che abbiamo fatto è stato disporre un insieme finito di
elementi in un certo numero di posti (numero di posti minore o uguale
del numero di elementi) col vincolo che gli elementi non si potessero
ripetere.
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Disposizioni senza ripetizione
Esercizio
Quanti numeri di tre cifre distinte si possono formare con le cifre
2, 4, 6, 8, 9?
Soluzione
Posso scegliere la prima cifra in 5 modi diversi, la seconda in 4 e la
terza in 3:
# {num. 3 cifre distinte} = 5 · 4 · 3 = 60
Quello che abbiamo fatto è stato disporre un insieme finito di
elementi in un certo numero di posti (numero di posti minore o uguale
del numero di elementi) col vincolo che gli elementi non si potessero
ripetere.
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Disposizioni senza ripetizione
Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiama
disposizione semplice degli n elementi , presi k a k, o di classe k
(k ≤ n), un gruppo ordinato di k degli n elementi dell’insieme.
Il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti, presi k a k,
è uguale al prodotto di k numeri interi consecutivi decrescenti, dei
quali il primo è n:
Dn,k = n (n − 1) (n − 2) . . . (n − k + 1)
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Disposizioni senza ripetizione
Esercizio
Quanti sono i numeri di 3 cifre tutte distinte?
Soluzione
Le cifre a nostra disposizione sono dieci (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e le
disposizioni di 10 elementi di classe 3 sono date da:
D10,3 = 10 · 9 · 8 = 720
Tra queste però figurano anche le sequenze di tre cifre la cui cifra
delle centinaia è 0, che naturalmente non rappresentano un numero di
tre cifre. Dalle disposizioni D10,3 dobbiamo quindi sottrarre
D9,2 = 9 · 8 = 72
che rappresenta la cardinalità dell’insieme dei numeri composti da due
cifre distinte. La soluzione finale è quindi:
D10,3 − D9,2 = 720 − 72 = 648
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Disposizioni senza ripetizione
Esercizio
Quanti sono i numeri di 3 cifre tutte distinte?
Soluzione
Le cifre a nostra disposizione sono dieci (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e le
disposizioni di 10 elementi di classe 3 sono date da:
D10,3 = 10 · 9 · 8 = 720
Tra queste però figurano anche le sequenze di tre cifre la cui cifra
delle centinaia è 0, che naturalmente non rappresentano un numero di
tre cifre. Dalle disposizioni D10,3 dobbiamo quindi sottrarre
D9,2 = 9 · 8 = 72
che rappresenta la cardinalità dell’insieme dei numeri composti da due
cifre distinte. La soluzione finale è quindi:
D10,3 − D9,2 = 720 − 72 = 648
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Disposizioni con ripetizione
Esercizio
Quante sono le targhe di tre lettere formate usando l’insieme
{A,B,C,D,E}?
Soluzione
Dobbiamo costruire targhe formate da tre lettere avendone a
disposizione cinque e soprattutto, a differenza degli esercizi
precedenti, potendo ripetere la stessa lettera (è ammessa, ad esempio,
la targa BBB). Ragionando allo stesso modo, posso scegliere la prima
lettera in 5 modi diversi, la seconda ancora in 5 e la terza pure in 5; il
numero totale di targhe è allora dato da:
# {targhe} = 5 · 5 · 5 = 53 = 125
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Disposizioni con ripetizione
Esercizio
Quante sono le targhe di tre lettere formate usando l’insieme
{A,B,C,D,E}?
Soluzione
Dobbiamo costruire targhe formate da tre lettere avendone a
disposizione cinque e soprattutto, a differenza degli esercizi
precedenti, potendo ripetere la stessa lettera (è ammessa, ad esempio,
la targa BBB). Ragionando allo stesso modo, posso scegliere la prima
lettera in 5 modi diversi, la seconda ancora in 5 e la terza pure in 5; il
numero totale di targhe è allora dato da:
# {targhe} = 5 · 5 · 5 = 53 = 125
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Disposizioni con ripetizione
Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiama
disposizione con ripetizione degli n elementi , presi k a k, con k
intero qualunque, un gruppo ordinato di k degli n elementi,
considerando che uno stesso elemento possa figurare nel gruppo fino a
k volte.
Il numero delle disposizioni con ripetizione di n elementi distinti, presi
k a k, è uguale alla potenza di base n ed esponente k:
r
Dn,k
= nk
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Permutazioni
Esercizio
Trova il numero di anagrammi che si possono formare con la parola
“zero”.
Soluzione
Con anagrammi intendiamo anche quelli privi di significato, ad
esempio un possibile anagramma di “zero” è “ezro”. Abbiamo a
disposizione quattro lettere e dobbiamo riposizionarle in quattro posti,
naturalmente non ripetendole; di conseguenza il numero cercato è
# {anagrammi} = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Permutazioni
Esercizio
Trova il numero di anagrammi che si possono formare con la parola
“zero”.
Soluzione
Con anagrammi intendiamo anche quelli privi di significato, ad
esempio un possibile anagramma di “zero” è “ezro”. Abbiamo a
disposizione quattro lettere e dobbiamo riposizionarle in quattro posti,
naturalmente non ripetendole; di conseguenza il numero cercato è
# {anagrammi} = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Permutazioni
Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiama
permutazione di n elementi una disposizione semplice degli n
elementi, presi “n a n”.
In parole più semplici, le permutazioni di n elementi distinti di un
insieme sono tutti i gruppi di n elementi formati con gli elementi
dell’insieme e che differiscono tra loro solo per l’ordine degli elementi.
Il numero delle permutazioni di n elementi è dato da
Pn = Dn,n = n (n − 1) (n − 2) . . . 2 · 1 = n!
Attenzione: il simbolo ! indica il fattoriale del numero naturale n:
n! è il prodotto dei primi n numeri naturali escluso lo zero. Se n = 1 o
n = 0 si pone per definizione 1! = 1 e 0! = 1.
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Combinazioni semplici
Esercizio
In Coppa Davis il Capitano non giocatore di una Nazionale ha a
disposizione quattro tennisti (A,B,C,D) e ne deve scegliere due per
comporre la coppia per il doppio. In quanti modi può scegliere?
Soluzione
Ragioniamo in termini di disposizioni semplici: la prima persona può
essere scelta in 4 modi, mentre la seconda in 3; cosı̀ facendo però
consideriamo distinte, ad esempio, le coppie AB e BA, mentre ai fini
del gioco non lo sono. Dobbiamo quindi dividere il numero delle
disposizioni semplici ottenute (4 · 3 = 12) per il numero delle coppie
equivalenti dato da 2! = 2. Il risultato è quindi
4·3
=6
2
e ci fornisce il numero delle combinazioni semplici di 4 elementi
presi a 2 a 2.
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Combinazioni semplici
Esercizio
In Coppa Davis il Capitano non giocatore di una Nazionale ha a
disposizione quattro tennisti (A,B,C,D) e ne deve scegliere due per
comporre la coppia per il doppio. In quanti modi può scegliere?
Soluzione
Ragioniamo in termini di disposizioni semplici: la prima persona può
essere scelta in 4 modi, mentre la seconda in 3; cosı̀ facendo però
consideriamo distinte, ad esempio, le coppie AB e BA, mentre ai fini
del gioco non lo sono. Dobbiamo quindi dividere il numero delle
disposizioni semplici ottenute (4 · 3 = 12) per il numero delle coppie
equivalenti dato da 2! = 2. Il risultato è quindi
4·3
=6
2
e ci fornisce il numero delle combinazioni semplici di 4 elementi
presi a 2 a 2.
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Combinazioni semplici
Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiama
combinazione semplice degli n elementi, presi k a k, o di classe k
(k ≤ n), un qualunque gruppo di k degli n elementi dell’insieme.
Il numero di combinazioni semplici di n elementi, presi k a k, è dato
da
n (n − 1) (n − 2) . . . (n − k + 1)
Dn,k
n
=
=
Cn,k =
k
k!
k!
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Coefficiente binomiale
Proprietà
n
k
=
n!
k! (n − k)!
Dalla convenzione 0! = 1 si ha
n
=1 e
0
Formula di Stifel
n
k
n
k
n
k+1
+
Proprietà di ricorrenza
n
k+1
n
n
n
n−k
n+1
k+1
=
Giacomo Tommei
=
=
n
k
=1
n−k
k+1
Calcolo combinatorio
La formula del binomio di Newton
Esercizio Calcola lo sviluppo di (x + y)6 .
Soluzione
È possibile rispondere rapidamente ed affermare che lo sviluppo di
(x + y)6 è:
(x + y)6 = x6 + 6 x5 y + 15 x4 y 2 + 20 x3 y 3 + 15 x2 y 4 + 6 x y 5 + y 6
utilizzando il triangolo di Tartaglia (o di Pascal).
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
La formula del binomio di Newton
Esercizio Calcola lo sviluppo di (x + y)6 .
Soluzione
È possibile rispondere rapidamente ed affermare che lo sviluppo di
(x + y)6 è:
(x + y)6 = x6 + 6 x5 y + 15 x4 y 2 + 20 x3 y 3 + 15 x2 y 4 + 6 x y 5 + y 6
utilizzando il triangolo di Tartaglia (o di Pascal).
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Il triangolo di Tartaglia
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
5
6
1
2
3
6
10
15
1
1
4
10
20
5
15
1
6
1
n=6
Triangolo di Tartaglia rappresentato fino a n = 6, naturalmente è
estendibile a qualsiasi n ∈ N.
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
Il triangolo di Tartaglia
Come costruire il triangolo di Tartaglia
1
1
1
+
1
1
1
1
2
+
+
3
3
1
+
+
+
4
6
4
Giacomo Tommei
Calcolo combinatorio
1
Sviluppo di binomi
Qualunque siano i due numeri x e y e il numero naturale n si ha:
n X
n
(x + y) =
xn−k y k =
k
n
k=0
... +
n
0
xn +
n
n−2
n
1
xn−1 y +
x2 y n−2 +
Giacomo Tommei
n
n−1
n
2
xn−2 y 2 + . . .
x y n−1 +
Calcolo combinatorio
n
n
yn
