Lezione06:CalcoloCombinatorio(31-10-12)
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LEZIONE 5: CALCOLO COMBINATORIO Giacomo Tommei e-mail: [email protected] web: www.dm.unipi.it/∼tommei Ricevimento: Martedi 16 - 18 Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126 31 Ottobre 2012 Cos’è il calcolo combinatorio? Il calcolo combinatorio è uno strumento che ci permette di contare i modi nei quali raggruppiamo, secondo opportune regole, elementi di un insieme finito. Esempi In quanti modi posso combinare 6 canzoni in gruppi di 4? E se le canzoni fossero 10? Oppure 20? Ad una corsa partecipano 15 persone. Quanti possibili podi possono verificarsi? Quanti sono gli ordini di arrivo possibili? Quanti sono i possibili pin di un bancomat formati da 5 cifre? Ho un gruppo di 7 persone e ne devo scegliere 3. In quanti modi posso farlo? Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Disposizioni senza ripetizione Esercizio Quanti numeri di tre cifre distinte si possono formare con le cifre 2, 4, 6, 8, 9? Soluzione Posso scegliere la prima cifra in 5 modi diversi, la seconda in 4 e la terza in 3: # {num. 3 cifre distinte} = 5 · 4 · 3 = 60 Quello che abbiamo fatto è stato disporre un insieme finito di elementi in un certo numero di posti (numero di posti minore o uguale del numero di elementi) col vincolo che gli elementi non si potessero ripetere. Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Disposizioni senza ripetizione Esercizio Quanti numeri di tre cifre distinte si possono formare con le cifre 2, 4, 6, 8, 9? Soluzione Posso scegliere la prima cifra in 5 modi diversi, la seconda in 4 e la terza in 3: # {num. 3 cifre distinte} = 5 · 4 · 3 = 60 Quello che abbiamo fatto è stato disporre un insieme finito di elementi in un certo numero di posti (numero di posti minore o uguale del numero di elementi) col vincolo che gli elementi non si potessero ripetere. Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Disposizioni senza ripetizione Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiama disposizione semplice degli n elementi , presi k a k, o di classe k (k ≤ n), un gruppo ordinato di k degli n elementi dell’insieme. Il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti, presi k a k, è uguale al prodotto di k numeri interi consecutivi decrescenti, dei quali il primo è n: Dn,k = n (n − 1) (n − 2) . . . (n − k + 1) Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Disposizioni senza ripetizione Esercizio Quanti sono i numeri di 3 cifre tutte distinte? Soluzione Le cifre a nostra disposizione sono dieci (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e le disposizioni di 10 elementi di classe 3 sono date da: D10,3 = 10 · 9 · 8 = 720 Tra queste però figurano anche le sequenze di tre cifre la cui cifra delle centinaia è 0, che naturalmente non rappresentano un numero di tre cifre. Dalle disposizioni D10,3 dobbiamo quindi sottrarre D9,2 = 9 · 8 = 72 che rappresenta la cardinalità dell’insieme dei numeri composti da due cifre distinte. La soluzione finale è quindi: D10,3 − D9,2 = 720 − 72 = 648 Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Disposizioni senza ripetizione Esercizio Quanti sono i numeri di 3 cifre tutte distinte? Soluzione Le cifre a nostra disposizione sono dieci (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e le disposizioni di 10 elementi di classe 3 sono date da: D10,3 = 10 · 9 · 8 = 720 Tra queste però figurano anche le sequenze di tre cifre la cui cifra delle centinaia è 0, che naturalmente non rappresentano un numero di tre cifre. Dalle disposizioni D10,3 dobbiamo quindi sottrarre D9,2 = 9 · 8 = 72 che rappresenta la cardinalità dell’insieme dei numeri composti da due cifre distinte. La soluzione finale è quindi: D10,3 − D9,2 = 720 − 72 = 648 Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Disposizioni con ripetizione Esercizio Quante sono le targhe di tre lettere formate usando l’insieme {A,B,C,D,E}? Soluzione Dobbiamo costruire targhe formate da tre lettere avendone a disposizione cinque e soprattutto, a differenza degli esercizi precedenti, potendo ripetere la stessa lettera (è ammessa, ad esempio, la targa BBB). Ragionando allo stesso modo, posso scegliere la prima lettera in 5 modi diversi, la seconda ancora in 5 e la terza pure in 5; il numero totale di targhe è allora dato da: # {targhe} = 5 · 5 · 5 = 53 = 125 Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Disposizioni con ripetizione Esercizio Quante sono le targhe di tre lettere formate usando l’insieme {A,B,C,D,E}? Soluzione Dobbiamo costruire targhe formate da tre lettere avendone a disposizione cinque e soprattutto, a differenza degli esercizi precedenti, potendo ripetere la stessa lettera (è ammessa, ad esempio, la targa BBB). Ragionando allo stesso modo, posso scegliere la prima lettera in 5 modi diversi, la seconda ancora in 5 e la terza pure in 5; il numero totale di targhe è allora dato da: # {targhe} = 5 · 5 · 5 = 53 = 125 Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Disposizioni con ripetizione Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiama disposizione con ripetizione degli n elementi , presi k a k, con k intero qualunque, un gruppo ordinato di k degli n elementi, considerando che uno stesso elemento possa figurare nel gruppo fino a k volte. Il numero delle disposizioni con ripetizione di n elementi distinti, presi k a k, è uguale alla potenza di base n ed esponente k: r Dn,k = nk Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Permutazioni Esercizio Trova il numero di anagrammi che si possono formare con la parola “zero”. Soluzione Con anagrammi intendiamo anche quelli privi di significato, ad esempio un possibile anagramma di “zero” è “ezro”. Abbiamo a disposizione quattro lettere e dobbiamo riposizionarle in quattro posti, naturalmente non ripetendole; di conseguenza il numero cercato è # {anagrammi} = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Permutazioni Esercizio Trova il numero di anagrammi che si possono formare con la parola “zero”. Soluzione Con anagrammi intendiamo anche quelli privi di significato, ad esempio un possibile anagramma di “zero” è “ezro”. Abbiamo a disposizione quattro lettere e dobbiamo riposizionarle in quattro posti, naturalmente non ripetendole; di conseguenza il numero cercato è # {anagrammi} = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Permutazioni Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiama permutazione di n elementi una disposizione semplice degli n elementi, presi “n a n”. In parole più semplici, le permutazioni di n elementi distinti di un insieme sono tutti i gruppi di n elementi formati con gli elementi dell’insieme e che differiscono tra loro solo per l’ordine degli elementi. Il numero delle permutazioni di n elementi è dato da Pn = Dn,n = n (n − 1) (n − 2) . . . 2 · 1 = n! Attenzione: il simbolo ! indica il fattoriale del numero naturale n: n! è il prodotto dei primi n numeri naturali escluso lo zero. Se n = 1 o n = 0 si pone per definizione 1! = 1 e 0! = 1. Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Combinazioni semplici Esercizio In Coppa Davis il Capitano non giocatore di una Nazionale ha a disposizione quattro tennisti (A,B,C,D) e ne deve scegliere due per comporre la coppia per il doppio. In quanti modi può scegliere? Soluzione Ragioniamo in termini di disposizioni semplici: la prima persona può essere scelta in 4 modi, mentre la seconda in 3; cosı̀ facendo però consideriamo distinte, ad esempio, le coppie AB e BA, mentre ai fini del gioco non lo sono. Dobbiamo quindi dividere il numero delle disposizioni semplici ottenute (4 · 3 = 12) per il numero delle coppie equivalenti dato da 2! = 2. Il risultato è quindi 4·3 =6 2 e ci fornisce il numero delle combinazioni semplici di 4 elementi presi a 2 a 2. Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Combinazioni semplici Esercizio In Coppa Davis il Capitano non giocatore di una Nazionale ha a disposizione quattro tennisti (A,B,C,D) e ne deve scegliere due per comporre la coppia per il doppio. In quanti modi può scegliere? Soluzione Ragioniamo in termini di disposizioni semplici: la prima persona può essere scelta in 4 modi, mentre la seconda in 3; cosı̀ facendo però consideriamo distinte, ad esempio, le coppie AB e BA, mentre ai fini del gioco non lo sono. Dobbiamo quindi dividere il numero delle disposizioni semplici ottenute (4 · 3 = 12) per il numero delle coppie equivalenti dato da 2! = 2. Il risultato è quindi 4·3 =6 2 e ci fornisce il numero delle combinazioni semplici di 4 elementi presi a 2 a 2. Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Combinazioni semplici Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiama combinazione semplice degli n elementi, presi k a k, o di classe k (k ≤ n), un qualunque gruppo di k degli n elementi dell’insieme. Il numero di combinazioni semplici di n elementi, presi k a k, è dato da n (n − 1) (n − 2) . . . (n − k + 1) Dn,k n = = Cn,k = k k! k! Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Coefficiente binomiale Proprietà n k = n! k! (n − k)! Dalla convenzione 0! = 1 si ha n =1 e 0 Formula di Stifel n k n k n k+1 + Proprietà di ricorrenza n k+1 n n n n−k n+1 k+1 = Giacomo Tommei = = n k =1 n−k k+1 Calcolo combinatorio La formula del binomio di Newton Esercizio Calcola lo sviluppo di (x + y)6 . Soluzione È possibile rispondere rapidamente ed affermare che lo sviluppo di (x + y)6 è: (x + y)6 = x6 + 6 x5 y + 15 x4 y 2 + 20 x3 y 3 + 15 x2 y 4 + 6 x y 5 + y 6 utilizzando il triangolo di Tartaglia (o di Pascal). Giacomo Tommei Calcolo combinatorio La formula del binomio di Newton Esercizio Calcola lo sviluppo di (x + y)6 . Soluzione È possibile rispondere rapidamente ed affermare che lo sviluppo di (x + y)6 è: (x + y)6 = x6 + 6 x5 y + 15 x4 y 2 + 20 x3 y 3 + 15 x2 y 4 + 6 x y 5 + y 6 utilizzando il triangolo di Tartaglia (o di Pascal). Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Il triangolo di Tartaglia n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 5 6 1 2 3 6 10 15 1 1 4 10 20 5 15 1 6 1 n=6 Triangolo di Tartaglia rappresentato fino a n = 6, naturalmente è estendibile a qualsiasi n ∈ N. Giacomo Tommei Calcolo combinatorio Il triangolo di Tartaglia Come costruire il triangolo di Tartaglia 1 1 1 + 1 1 1 1 2 + + 3 3 1 + + + 4 6 4 Giacomo Tommei Calcolo combinatorio 1 Sviluppo di binomi Qualunque siano i due numeri x e y e il numero naturale n si ha: n X n (x + y) = xn−k y k = k n k=0 ... + n 0 xn + n n−2 n 1 xn−1 y + x2 y n−2 + Giacomo Tommei n n−1 n 2 xn−2 y 2 + . . . x y n−1 + Calcolo combinatorio n n yn
