Progressioni – Successioni e serie
Progressioni aritmetiche
Una progressione aritmetica è una successione di numeri reali tali che la differenza tra ciascuno di
essi ed il precedente è costante; questa costante viene chiamata ragione della progressione e viene
indicata con la lettera d.
Esempio
La successione di numeri 8, 13, 18, 23, 28, … è una progressione aritmetica di ragione 5.
Ovviamente prendendo due termini consecutivi della successione e facendo la differenza otteniamo la
ragione d.
In generale si può affermare quindi che:
In una progressione aritmetica un termine qualunque si ottiene aggiungendo al primo il
prodotto della ragione per il numero dei termini che precedono quello considerato.
Ovvero
ak=a1 + (k-1)d
Da ciò segue che:
a1= ak - (k-1)d
e
d=( ak - a1)/(k-1)
Enunciamo ora una proprietà delle progressioni aritmetiche aventi un numero finito di termini, che
permette di calcolare la somma di tutti i termini della progressione.
La somma dei termini equidistanti dagli estremi di una progressione aritmetica di n termini è
costante ed è uguale alla somma degli estremi; in particolare, se la successione ha un numero
dispari di termini la somma della successione è uguale alla semisomma degli estremi.
Infatti se consideriamo la somma del secondo termine e del penultimo otteniamo:
a2 + an-1=(a1 +d) +( an-d)= a1 + an
analogamente la somma del terzo e del terzultimo sarà
a3 + an-2=(a1 +2d) +( an-2d)= a1 + an
e così via. Si può quindi affermare che
Sn= a1 + a2 + ……+ an-1 + an
e per la proprietà commutativa
Sn= an + an-1 +…… + a2+ a1
Da cui sommando membro a membro:
2Sn= (a1 + an)+ (a2 +an-1)+……+ (an +a1)+ (an-1+a2)= n(a1+an)
quindi:
Sn= n(a1+an)/2
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Progressioni – Successioni e serie
PROGRESSIONI GEOMETRICHE
Una progressione geometrica è una successione di numeri reali tali che il rapporto tra ciascuno di essi
ed il precedente è costante; questa costante viene chiamata ragione della progressione e viene
indicata con la lettera q.
Esempio:
la successione di numeri 8, 16,
32, 64, …
è una progressione aritmetica di ragione 2.
Ovviamente prendendo due termini consecutivi della successione e facendo il quoziente otteniamo la
ragione d, ovvero:
ak+1/ak=q
e
ak+1 =qak
quindi in una progressione geometrica il termine generico si ottiene moltiplicando il termine precedente
per la ragione.
In particolare il termine generico si ottiene moltiplicando il primo termine per la ragione elevata ad un
esponete uguale al numero dei termini che precedono quello considerato, ovvero:
ak =a1qk-1
e
a1 =ak/qk-1
Consideriamo ora una progressione geometrica di n termini. Per calcolare la somma degli n termini della
successione si procede nel modo seguente:
Si considera
Sn= a1 + a2 + ……+ an-1 + an
e si moltiplica ogni termine per la ragione q
Sn q = a1 q+ a2 q + ……+ an-1 q + an q= a2 + a3 + ......+ an + an q
Sottraendo membro a membro le due espressioni si ottiene:
Sn -Sn q = a1 - an q= a1 – a1 qn-1 q= a1 – a1 qn
Raccogliendo Sn al primo membro ed a1 al secondo membro si ottiene
Sn (1- q) = a1 (1 – qn)
Da cui:
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Progressioni – Successioni e serie
Se la successione è formata da infiniti termini, per il calcolo della somma dei termini della progressione
occorre effettuare l’operazione di limite per n che tende all’infinito ovvero:
e quindi occorre distinguere due casi:
1.
2.
se |q| >1 al crescere di n qn cresce in valore assoluto senza limitazione e perciò la somma Sn
cresce in modo infinito ed il limite sarà infinito
se |q| < 1 al crescere di n qn continuerà a diminuire in valore assoluto avvicinandosi a zero e
allora la somma Sn assumerà il valore
Successioni
Paradosso di Zenone.
Il paradosso di Zenone afferma che un corridore non può mai raggiungere il traguardo perché deve
sempre percorrere la metà di una qualsiasi distanza prima di poterla percorrere interamente.
La risposta a tale paradosso fu fornita almeno 2000 anni dopo nel momento dell’introduzione della teoria
delle serie.
Nel linguaggio ordinario serie e successioni vengono utilizzate in maniera interscambiabile e vengono
generalmente utilizzate per fornire l’idea di una sequenza di oggetti. In matematica come vedremo il
significato dei due termini è molto diverso.
Si indica come successione un insieme ordinato : a1,a2,a3, ……, an,…
associato ad un numero intero.
ed ogni elemento dell’insieme è
Es. an=1/n indica una successione
Una successione può essere assegnata mediante una legge che definisca il termine generale ak, per
esempio:
-
ak = 2k (con k naturale positivo) è l’insieme ordinato dei numeri pari positivi
ak=2k-1 (con k naturale positivo) è l’insieme delle potenze successive del 2 con potenza un numero
naturale
(a1=20=1, a2=2, a3=23-1=22=4,…)
Definizione
Una funzione f il cui dominio siano gli interi positivi è detta successione.
Il suo termine n-esimo è il valore f(n). Il codominio della funzione è f(1),f(2),…,f(n),…
Una successione ha limite L se esiste N tale che |f(n)-L|<ε
che la funzione converge.
per ogni n> N. Se esiste il limite vuol dire
Capita spesso di dover indicare la somma dei termini di una successione, cioè di dover scrivere
l’espressione
a1+a2+a3+a4+….+ an. Tali espressioni vengono generalmente indicate in modo sintetico
facendo uso del termine di sommatoria S.
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Progressioni – Successioni e serie
Torniamo ora al concetto di successioni di infiniti numeri (che indichiamo così {an}) e ricordiamo che :
1.
se risulta
la successione è detta convergente
2.
se risulta
la successione è detta positivamente o negativamente divergente a seconda che prima dell’infinito
ci sia il segno + o –
3.
Se il limite non esiste è detta indeterminata o oscillante
Una successione è detta di CAUCHY se in corrispondenza di ogni numero ε arbitrariamente scelto è
sempre possibile determinare un numero naturale n tale che risulti per ogni coppia di valori r ed s
maggiori di n
|ar-as| <
ε
Secondo un altro noto teorema di cui si tralascia la dimostrazione si può affermare che una successione
di numeri reali è convergente se e solo se è una successione di Cauchy.
SERIE DI NUMERI REALI
Si definisce serie di numeri reali associata alla successione {an} la successione costituita dalle somme
parziali dei termini della successione di partenza. In poche parole i termini della serie saranno:
s1=a1
s2=a1+a2
s3=a1+a2+a3
...
sn=a1+a2+.... + an
....
Se esiste finito il limite per n che tende all’infinito della Sn allora la serie (che viene indicata
generalmente) con il simbolo S è convergente ed il limite viene chiamato Somma della serie.
Se invece tale limite è + o – infinito viene detta positivamente o negativamente divergente.
Se non è possibile individuare tale limite è detta oscillante o indeterminata.
In una serie viene detto resto n-esimo la serie
an+1 + an+2+ an+2+ …..
ottenuta sopprimendo i primi n termini della serie.
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Progressioni – Successioni e serie
In particolare, determinare la convergenza, la divergenza o l’indeterminazione della serie
studiare il carattere della serie.
equivale a
Esempio
La serie
1/n(n+1)
scritta nella forma
1
denominata serie di Mengoli è una serie cosiddetta ‘telescopica’ perché può essere
1
/ – /
.
n
n+1
Studiare il carattere equivale a studiare il lim per n che tende all’infinito della Sn:
si ha
di conseguenza la Serie di Mengoli è dunque convergente ed ha per somma 1.
La serie geometrica
Consideriamo la progressione geometrica:
a, aq, aq2, aq3, …,
aqn, . . .
di ragione q.
La serie associata:
a+aq+aq2+aq3+ …+aqn+ . . .
si dice serie geometrica.
Poiché come abbiamo visto in precedenza (progressioni geometriche) la somma dei primi n elementi di
una progressione geometrica è data dalla formula
Si avrà, come già visto in precedenza:
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Progressioni – Successioni e serie
CRITERIO DI CAUCHY PER LA CONVERGENZA DI UNA SERIE
Vale il seguente teorema
Se una serie numerica reale
è convergente allora il suo termine generico tende a zero per n che tende all’infinto ovvero
Tale condizione è NECESSARIA ma non SUFFICIENTE a stabilire il carattere di una serie. Ovvero se una
serie è convergente il suo termine generale tende a zero, ma se il termine generale tende a zero la serie
potrebbe anche divergere. Ovviamente se il termine generale tende ad un valore diverso da zero la serie
è certamente non convergente.
Per determinare con certezza il carattere di una serie vale invece il seguente Teorema detto criterio di
Cauchy o criterio generale di convergenza.
Una serie è convergente se e solo se fissato ad arbitrio un numero positivo e, è possibile determinare un
indice n, tale che per ogni m>n e per ogni numero naturale k si abbia un indice n, tale che per ogni m>n
e per ogni numero naturale k si abbia
SERIE A TERMINI POSITIVI – CRITERI DI CONVERGENZA O DIVERGENZA
1.
Criterio del confronto o di Gauss
Date due serie entrambe a valori positivi:
a1+a2+. . . + an + . . .
b1+b2+. . . + bn +. . .
per le quali risulti:
an < bn per ogni n, allora la prima si dice minorante della seconda e la seconda maggiorante della
prima.
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Progressioni – Successioni e serie
Il criterio del confronto asserisce che: se la prima è una serie divergente allora lo è anche la
seconda, se la seconda è una serie convergente allora lo è sicuramente anche la prima. In altre
parole: una serie a termini positivi è certamente convergente se ammette una serie maggiorante
positiva, è certamente divergente se ammette una serie minorante divergente.
2.
Secondo criterio del confronto
Date due serie entrambe a valori positivi:
a1+a2+. . . + an + . . .
b1+b2+. . . + bn +. . .
se risulta
allora le due serie hanno lo stesso carattere.
3.
Criterio del rapporto (o di D’Alembert)
Sia data una serie a termini positivi
se il valore del limite per n che tende all’infinito del rapporto tra un generico termine ed il
precedente è un numero finito k (non negativo) ovvero se
allora
4.
- se k<1
la serie è convergente
- se k>1
la serie è divergente
- se k=1
nulla si può dire sul carattere della serie
Criterio della radice
Sia data una serie a termini positivi
se il valore del limite per n che tende all’infinito della radice n-esima del generico termine è un
numero finito k (non negativo) ovvero se
allora
- se k<1
la serie è convergente
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Progressioni – Successioni e serie
- se k>1
la serie è divergente
- se k=1
nulla si può dire sul carattere della serie
SERIE A TERMINI DI SEGNO QUALUNQUE
Per le serie a termini di segno qualunque occorre introdurre il concetto di convergenza semplice e di
convergenza assoluta.
Una serie a termini di segno qualunque si dice assolutamente convergente se converge la serie dei
valori assoluti dei suoi termini.
Una serie assolutamente convergente è anche semplicemente convergente. Non vale l’inverso, cioè una
serie semplicemente convergente può non essere assolutamente convergente.
Criterio di Leibniz sulla convergenza di una serie a termini di segno qualunque.
Una serie
i cui termini hanno segno alterno, è sicuramente convergente se sono verificate le due
condizioni seguenti
Serie numeriche a termini complessi
Data una successione di numeri complessi
c1,c2,c3, . . . , cn, . . .
ove cn= an + i bn
consideriamo la serie ad essa associata
c1+c2+c3+ . . . +cn+ . . .
Se indichiamo con Sn la somma dei primi n termini della serie:
Sn =c1+c2+c3+ . . . +cn+ . . .
otteniamo il numero complesso
La serie si dice convergente se esiste finito il
Se tale limite è infinito la serie si dice divergente.
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Progressioni – Successioni e serie
SERIE DI FUNZIONI
Siano f1(x),f2(x),. . . , fn(x), . . . infinite funzioni della variabile x tutte definite sull’intervallo [a,b].
La serie
chiamasi serie di funzioni.
Ovviamente se alla x si associa un punto dell’intervallo [a,b] la serie di funzioni diventa una serie di
numeri che può essere o non essere convergente.
Per ogni serie di funzioni si può individuare quindi un insieme di definizione D e un insieme di
convergenza C:
-
D è l’insieme dei valori di x per i quali sono definite tutte le funzioni fn (x)
C è l’insieme dei valori di x per i quali la serie di funzioni converge (C è un sottoinsieme proprio
o improprio di D)
Il valore della serie convergente è ovviamente una funzione f(x) è quindi
Questo è un concetto molto importante perché porta alla considerazione seguente:
è possibile scrivere una funzione f(x) come somma di infinite funzioni e viceversa è possibile passare da
una serie di funzioni ad un’unica funzione f(x). Questo metodo di rappresentazione analitica viene detto
sviluppo in serie.
L’individuazione dell’insieme C di convergenza e della somma di una serie di funzioni non è sempre
semplice.
Esempio:
La serie di funzioni a+ax+ax2+ax3+ . . . + axn+ . . . è una serie geometrica di ragione x. Come sappiamo
la serie geometrica converge se la sua ragione è minore di 1 ovvero se |x|<1. L’insieme di convergenza è
quindi l’insieme –1 < x < 1 mentre l’insieme di definizione è tutto l’asse reale.
LA CONVERGENZA UNIFORME
Sia data la serie di funzioni:
convergente su un insieme C.
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Progressioni – Successioni e serie
Se fissiamo un punto x0 di C dalla serie di funzioni otteniamo una serie numerica convergente. La
convergenza di questa serie implica che, prefissato ad arbitrio un numero e >0 è possibile determinare un
indice n0 tale che per ogni n >n0 risulti:
|Rn(x0)| < e
E’ ovvio che tale e dipende strettamente sia dal punto x0 sia dall’indice n0 infatti, prendendo in
considerazione un altro punto x1 di C si ottiene un’altra serie a termini reali convergente diversa da quella
di prima (in questo caso si può parlare di convergenza semplice o puntuale).
In particolare tenendo fisso il valore di e la condizione per Rn rimane invariata da un certo indice in poi;
quindi se è possibile determinare un sottoinsieme Cu di C per ogni punto del quale prefissato e è possibile
determinare un indice N tale che per ogni n > N valga
|Rn(x)| < e e
si può dire che la serie di funzioni è uniformemente convergente in Cu .
CRITERI DI CONVERGENZA UNIFORME
Criterio di Weierstrass
Una serie di funzioni si dice totalmente convergente in un insieme CT se esiste una serie convergente di
numeri positivi c1+c2+ . . . + cn + . . . tale da aversi per ogni x di Ct e per ogni n
|fn(x)|≤ cn
Vale il seguente teorema:
Se una serie di funzioni è totalmente convergente in un insieme Ct è ivi uniformemente convergente (non
vale l’inverso cioè una funzione uniformemente convergente può non essere totalmente convergente)
Criterio di Cauchy
Se la serie di funzioni
f1(x)+f2(x)+. . . + fn(x)+ . . .
è uniformemente convergente nell’intervallo limitato Cu e una funzione g(x) è definita e limitata in Cu
allora la serie di funzioni :
ottenuta moltiplicando per g(x) tutti i termini della serie di funzioni è anch’essa uniformemente
convergente.
La serie di potenze
Si dice serie di potenze una serie della forma:
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Progressioni – Successioni e serie
con a1,….. , an costanti reali detti coefficienti della serie
e con x variabile reale.
La serie di potenze gode delle seguenti proprietà:
1.
Se una serie di potenze converge in un punto x0 > 0 allora converge assolutamente per ogni |x|
< x0
2.
Se una serie di potenze non converge nel punto x0> 0 allora non converge per ogni x tale che
|x|> x0
Per ogni serie di potenze è possibile individuare un intervallo (-R,R), con R > 0 tale che la serie data
converga assolutamente per ogni x interno all’intervallo stesso, mentre non converga per tutti gli x a
questo esterni, cioè per x <-R e per x > R.
L’intervallo (-R,R) viene chiamato intervallo di convergente ed il numero r viene chiamato raggio di
convergenza.
L’intervallo di convergenza di una serie di potenze ha sempre centro nel punto x=0;
il comportamento di una serie di potenze nei punti +R, -R va studiato caso per caso.
Ovviamente se R=0 l’intervallo di convergenza si riduce al punto x=0
Se R=+¥ l’intervallo di convergenza coincide con tutto l’asse reale
Per la determinazione del raggio di convergenza si applica il seguente
Teorema
Data una serie di potenze
supposto che i suoi
coefficienti an siano tutti diversi da zero da un certo indice in poi , se risulta
con k finito e non nullo allora si ha R=1/k. Se invece detto limite è 0 o infinito il raggio di convergenza è
rispettivamente infinto e zero.
PARTICOLARI SERIE DI POTENZE
Un particolare tipo di serie di potenze sono rappresentate dalle formule di Taylor e Maclaurin che
riportiamo di seguito
Formula di Taylor
Sia f(x) una funzione definita in un insieme D ed ivi derivabile fino all’ordine n. Se x0 e x sono due punti
appartenenti a D sussiste la formula:
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Progressioni – Successioni e serie
che viene denominata formula di Taylor relativa alla funzione f(x) e al punto iniziale x0.
Il termine Rn(x) viene chiamato resto o termine complementare e può essere scritto nelle seguenti forme:
FORMULA DI MACLAURIN
Equivale alla forma di Taylor quando venga considerato x0 = 0
Quindi:
Serie di Taylor e Maclaurin
Sia f(x) una funzione definita su un insieme D ed ivi infinitamente derivabile. Considerati due punti x ed
x0 appartenenti a D, con le formule di Taylor e Maclaurin si possono costruire le serie
Dette rispettivamente serie di Taylor e serie di Maclaurin
Queste due serie si possono sempre scrivere, ma hanno particolare importanza se sono serie convergenti
e convergono proprio alla f(x) da cui sono originate.
CRITERIO DI CONVERGENZA PER LE SERIE DI TAYLOR E MACLAURIN
La serie di Taylor (Maclaurin) relativa ad una funzione f(x) definita insieme alle sue derivate in un insieme
D converge in D ed ivi ha per somma la f(x) se e soltanto se per ogni punto di D risulta
dove Rn(x) è il resto della formula di Taylor (Maclaurin) della funzione f(x).
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Progressioni – Successioni e serie
Funzioni periodiche
Una funzione reale f(x) definita in un sottoinsieme A di B si dice periodica se esiste un numero T>0
tale che
f(x+T)=f(x)
per ogni x appartenente ad A
Il valore T è detto periodo della funzione ed è l’ampiezza dell’intervallo nel quale la funzione è
completamente descrivibile (si pensi alla funzione senx nel periodo 0-2π ο alla funzione tgx nel
periodo −
π π
; )
2 2
Ogni funzione periodica con periodo T è anche periodica con periodo 2T, 3T,…. Etc. quindi il
periodo T viene detto periodo principale e si definisce frequenza l’inverso del periodo:
ν=
1
T
Da un punto di vista grafico la frequenza indica quante volte il grafico della funzione in un periodo
si ripete nell’unità (es. periodo T=1/3, frequenza =3: il grafico si ripete tre volte in una frequenza,
ovvero in un intervallo unitario).
T=1/3
0
1
ν=
1
3
Se inoltre la funzione è limitata si definisce ampiezza A la metà della differenza tra l’estremo
superiore e l’estremo inferiore.
Una funzione è detta sinusoidale se può essere scritta nella forma seguente:
y=Acos(ωx+ϕ) oppure y=A(senωx+ϕ)
dove A, ω e ϕ∈R
ω è detto pulsazione
ϕ è detto sfasamento o fase iniziale, mentre
ωx+ϕ è detta fase.
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Progressioni – Successioni e serie
In particolare per le funzioni sinusoidali le grandezze caratteristiche delle funzioni periodiche sono:
Ampiezza = |A|
Periodo T=
2π
ω
Frequenza
1
ω
=
T
2π
ν=
Le serie trigonometriche
Molte funzioni possono essere sviluppate in serie di Taylor e quindi si può trovare una loro
approssimazione mediante dei polinomi. Le condizioni affinchè una funzione sia sviluppabile in
serie di Taylor nell’intorno di un suo punto è che essa sia indefinitamente derivabile in tale intorno.
Pertanto se la funzione presenta dei punti angolosi o addirittura dei punti di discontinuità non è
approssimabile o sviluppabile in serie di Taylor.
Fu il matematico Joseph Fourier studiando la conduzione del calore ad accorgersi che una
funzione anche se presenta dei punti di discontinuità può essere approssimata tramite un
polinomio trigonometrico e perfino sviluppata in serie trigonometrica.
DEFINIZIONE
Si dice polinomio trigonometrico di ordine n una funzione del tipo:
Pn (x ) =
a0
2
n
+
∑ (a
k
cos kx + b k senkx )
k =1
Le costanti a e b per ogni valore di k si chiamano coefficienti del polinomio
Il termine
è una funzione sinusoidale di periodo T k =
a k cos kx + bk senkx
2π
k
Un polinomio trigonometrico è quindi la combinazione lineare di di un numero finito di funzioni
sinusoidali aventi periodo comune T=2π, quindi è una funzione periodica anche se non è detto che
essa sia sinusoidale.
LE SERIE TRIGONOMETRICHE
Definizione
Si chiama serie trigonometrica una serie del tipo:
a0
2
dove le costanti a 0 ,
ak
e
∞
+
∑ (a
k
cos kx + b k senkx )
k =1
bk
sono i coefficienti della serie.
Una serie trigonometrica, essendo una serie particolare di funzioni può essere convergente in un
punto, in un intervallo oppure non convergente.
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Progressioni – Successioni e serie
Condizioni sufficienti per la convergenza:
Sia data la serie
1. Se
ak
e
a0
2
∞
+
∑ (a
cos kx + b k senkx )
k
k =1
b k sono successioni decrescenti e convergenti a 0 allora la serie converge
per ogni punto x ≠ 2 π ;
+∞
2. Se le serie
∑a
+∞
k
e
k =1
∑b
sono convergenti, allora la serie è uniformemente
k
k =1
convergente su R
Ovviamente se la convergenza è puntuale non è garantita la continuità della somma.
Teorema
Se una serie trigonometrica converge uniformemente nell’intervallo [-π;π] a una funzione f(x)
ovvero
f(x ) =
a0
2
∞
+
∑ (a
k
cos kx + b k senkx )
k =1
allora i coefficienti della serie sono
π
an
1
=
π
∫ f(x ) cos nxdx ,
n = 0 ,1,2 ,....
−π
π
bn =
1
π
∫ f(x )sennxdx ,
n = 0,1,2 ,....
−π
detti coefficienti di Fourier
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Progressioni – Successioni e serie
La serie di Fourier
Consideriamo il prolungamento periodico della funzione
− 1
f( x ) =
1
se
se
−π≤x <0
0≤x <π
(onda quadra)
Dal grafico della funzione si può notare che la funzione è dispari [cioè f(-x)=-f(x)] quindi f(x)cosnx è
dispari e f(x)sennx è pari. Calcolando i coefficienti di Fourier si ottiene
a0 = 0
an = 0
bn
0 se n è pari
=4
se n è dispari
πn
DEFINIZIONE di SERIE DI FOURIER
Data una funzione f(x) periodica di periodo 2π e integrabile nell’intervallo [-π;π], si chiama serie di
Fourier di f(x) la serie trigonometrica
a0
2
∞
+
∑ (a
n
cos nx + b n sennx )
n =1
dove an e bn sono i coefficienti di Fourier di f(x).
Una funzione f(x) periodica di periodo 2π ammette sviluppo in serie di Fourier se la sua serie di
Fourier è convergente e la somma della serie coincide con f(x).
Vale il seguente
Teorema di Dirichelet
Sia f(x) una funzione periodica e continua a tratti nel periodo [-π;π]. Se l’intervallo [-π;π] può essere
suddiviso in in un numero finito di intervalli in ciascuno dei quali f(x) è monotona, allora:
•
•
La serie di Fourier di f(x) è convergente ∀x∈R;
La somma della serie nell’intervallo [-π;π] è così definita:
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Progressioni – Successioni e serie
f ( x)
nei punti x ∈ (− π ;π )in cui f ( x) è continua
1
F ( x) = lim f ( x) + lim f ( x) nei punti x0 ∈ (− π ;π )in cui f ( x) è discontinua
x→ x
x→ x −
0
2 0+
1
f ( x) + lim− f ( x) nei punti x = −π e x = −π
xlim
x →π
2 →π +
[
]
Per lo sviluppo in serie di Fourier di una funzione si può parlare di analisi armonica. Questo
termine deriva dalla musica e dall’acustica. La costruzione degli strumenti musicali e lo studio dei
suoni da loro emessi portò a scoprire che in generale uno strumento non emette una nota pura
(solamente una frequenza) ma una mescolanza di suoni armonici. I suoni emessi da due strumenti
diversi si distinguono dal timbro ossia dalla diversa composizione armonica.
Ogni nota è rappresentata da una funzione periodica (forma d’onda) trasformabile in serie di
Fourier:
• l’armonica fondamentale è la nota emessa e la sua frequenza è detta altezza;
• l’insieme delle armoniche superiori, ciascuna con la propria ampiezza costituisce il timbro
Il primo termine (A0) di uno sviluppo in serie di Fourier rappresenta il valore medio della funzione
su un periodo, il termine di ordine 1 rappresenta la prima armonica o armonica fondamentale, gli
altri termini sono detti armoniche superiori di indice n
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