La geometria non-euclidea

Carpi, Liceo “Fanti”
23 novembre 2010
Anche
Euclide
incontrò
difficoltà
nella
geometria
Cos’è la matematica?
matematica deriva dalla parola greca mâthema
(conoscenza o apprendimento)
apprendimento
matematico deriva da mathematikòs
(appassionato del conoscere o dell’apprendere)
apprendere
studio dei problemi che riguardano
la quantità e le forme,
basato su definizioni precise e rigorosi procedimenti
deduttivi
calcolo aritmetico
algebra
geometria
Cos’è la matematica?
E’ lo studio dei problemi che riguardano
la quantità e le forme,
Studio basato su definizioni precise e rigorosi
procedimenti deduttivi
calcolo aritmetico
algebra
geometria
algebra
geometria
ugualmente importanti
è bravo in matematica non chi sa fare bene i calcoli,
ma chi sa ragionare bene !!!
Per questa finalità prevale il ruolo della
geometria sintetica sull’algebra
L’algebra è più facile della geometria
So sempre
come
procedere
So qual è
l’ordine
logico da
seguire
Per la dimostrazione di un teorema di geometria:
1 - Leggo bene il testo
2 - Costruisco la figura
3 - Scrivo le ipotesi
4 - Scrivo le tesi
E poi ?
Dalle ipotesi che ho cerco di dedurre la tesi
Fino alla fine del 1800 il matematico è detto geometra
Platone (Atene, 428/427 a.C. – 348/347 a.C.)
- grande filosofo, che ebbe come maestro
Socrate e come allievo Aristotele
- aveva fondato ad Atene un’Accademia,
sul cui ingresso dominava la scritta:
"non entri chi non sa la geometria"
Vale a dire:
"non entri chi non sa la
matematica"
Per i greci la matematica era essenzialmente geometria
I greci sono stati bravissimi nel dare alla geometria
una sistemazione che è ancora attuale
La geometria ipotetico-deduttiva che voi studiate, coi
relativi teoremi e dimostrazioni, è esattamente quella
messa a punto dai greci (circa dal 600 a.C al 190 a.C)
(si usano solo modi di dire più moderni)
Prima dei greci, ad esempio gli egiziani, facevano uso
della geometria; altrimenti come avrebbero potuto
costruire le piramidi?
Ma era una geometria di tipo pratico, non c’erano i
teoremi del tipo: in un triangolo equilatero gli angoli
sono uguali
Matematica greca ha avuto inizio con Talete di
Mileto (624-548 a.C. circa)
E’ considerato il fondatore dell’impostazione
deduttiva della geometria
Teorema di Talete:
AE/AC = AD/AB
La tradizione gli attribuisce anche questi teoremi
- Un cerchio è diviso in due parti uguali
da qualunque diametro
Non c’è nessun documento
- Gli angoli alla base di un triangolo
antico a prova del fatto che
isoscele sono uguali
Talete fosse giunto a tali ri- In due rette che si taglino fra loro, gli sultati; ma la tradizione è
angoli opposti al vertice sono uguali
concorde su questo punto.
- Due triangoli sono uguali se hanno un
DIMOSTRAZIONI ?
lato e i due angoli adiacenti uguali
- Un triangolo inscritto in un semicerNO!! Solo enunciati!!
chio è rettangolo
Un altro significativo passo in avanti si ebbe con:
Il cosiddetto Teorema di Pitagora però era già
noto da molto tempo a babilonesi ed egiziani
Gli egiziani usavano
corde con nodi equidistanziati e con 3,
4, 5 nodi costruivano angoli retti
Pitagora di Samo
(c. 570 – 497 a.C.)
Il merito di Pitagora è di avere intuito una
dimostrazione del teorema e di aver capito
che esso esprime un se e solo se
Pare che egli abbia avuto l’intuizione della dimostrazione passeggiando su un pavimento di piastrelle a forma di triangolo rettangolo isoscele e
abbia poi proseguito nello studio per i triangoli
rettangoli di qualsiasi forma e grandezza.
Motto della scuola di Pitagora:
tutto è numero
ovvero tutto è descrivibile mediante i numeri
naturali ei loro rapporti
Profonda crisi nella scuola pitagorica si ebbe
con la scoperta delle
grandezze incommensurabili,
Pitagora di Samo
(c. 570 – 497 a.C.)
come il lato e la diagonale di un quadrato,
ovvero che non esiste un sottomultiplo del lato
che sia contenuto nella diagonale un numero
esatto di volte
Equivale e dire che il numero
2
non è razionale, cioè non è esprimibile come una frazione
Questo fatto causò nella matematica greca una sorta di diffidenza
verso i numeri ed il loro impiego, con una spiccata preferenza per la
geometria e per le costruzioni realizzabili con riga e compasso
La scuola matematica
greca raggiunse il suo
apice con:
EUCLIDE
• (Alessandria d’Egitto, 330 – 275 a.C. circa)
• Scrisse gli Elementi, 300 a.C.
Della vita di Euclide si sa molto poco
- visse nel periodo in cui il centro degli studi matematici e
filosofici si stava spostando da Atene ad Alessandria
d'Egitto, fondata da Alessandro Magno alle foci del Nilo
- qui Euclide fondò una sua scuola di matematica presso il
Museo
Due aneddoti su Euclide
- uno studente, iniziando a studiare la
geometria, chiese al maestro: "Cosa ci
guadagno a studiare queste cose?". Si
dice che Euclide chiamò un servo e gli
ordinò: "Dagli una moneta, perché vuol
lucrare della conoscenza“
- il re Tolomeo I (generale di Alessandro Magno, capostipite di una dinastia di regnanti greci in Egitto che
terminò con Cleopatra nel 30 a.C.) gli chiese: "Esiste in
geometria una strada più breve degli ELEMENTI ?".
Euclide gli rispose: "Non esiste via regia alla geometria"
Euclide è autore di diverse opere ma gli
ELEMENTI sono la sua opera più importante
e più famosa
Dopo la Bibbia, è l’opera che nel mondo ha
avuto il maggior numero di edizioni
Sugli Elementi di Euclide si sono formati
generazioni e generazioni di studenti e si
formano tuttora
Gli ELEMENTI sono un vero e proprio manuale per uno
studente che voglia apprendere la geometria; non c’è nulla
di non spiegato o sottinteso e lo studente – leggendoli – è in
grado di apprendere anche da solo la geometria
Ci sono definizioni e teoremi su teoremi
(465 + lemmi e corollari); mancano esercizi
Costituiscono una pietra miliare per capire, apprendere,
utilizzare il procedimento ipotetico - deduttivo
Euclide con ogni probabilità ha attinto
copiosamente a quanto molti studiosi avevano già
prodotto prima
Gli Elementi di Euclide costituiscono il punto di
arrivo di un periodo di elaborazione trisecolare
della matematica
Gli Elementi riassumono, utilizzano, coordinano, sistemano
l'opera dei matematici predecessori, offrendone una validissima
sintesi
Federico Enriques dice in proposito:
"L'opera non può ritenersi costruzione originale di Euclide, ma
appare riduzione in un trattato organico di ciò che il genio greco
ha costruito nei tre secoli precedenti."
Gli Elementi di Euclide rappresentano anche un punto di
partenza: successori immediati di Euclide sono i sommi
matematici Archimede e Apollonio
Una pagina degli Elementi nel codice più
famoso (Oxford, Bodleian Library,
Ms. d'Orville 301, f. 325 v., 888 d.C.)
Prima traduzione in lingua
italiana:
L’EUCLIDE MEGARENSE
(1543)
In una chiesa
di Venezia
due tre sere la
settimana
spiegava ed
insegnava gli
ELEMENTI
Niccolò Tartaglia
(Brescia, 1499/1500 –
Venezia, 1557)
E la chiesa era
sempre
piena!!!
Nova Scientia (1537)
Opera di balistica
ELEMENTI:
13 LIBRI
•
•
•
•
1-6
7-9
10
11-13
geometria piana
teoria dei numeri
incommensurabili
geometria solida
23 Definizioni: descrizione intuitiva dei concetti
geometrici con riferimento alla realtà
8 Assiomi o Nozioni comuni: verità evidenti per
se stesse e che sono universalmente accettata
senza dimostrazione
5 Postulati: proposizioni di carattere geometrico
da accettare a priori come vere
48 Teoremi: asserti la cui verità deve essere
dimostrata
23 definizioni: TERMINI PRIMITIVI (7) E DEFINITI (16)
TERMINI PRIMITIVI : basilari per il discorso e viene
spiegato il loro significato
1.
2.
3.
4.
Un punto è ciò che non ha parti.
Una linea è una lunghezza senza larghezza.
Gli estremi di una linea sono punti.
Una retta (leggi: SEGMENTO) è una linea che giace
ugualmente rispetto ai punti su di essa. !!!!!!
5. Una superficie è ciò che ha lunghezza e larghezza.
6. Gli estremi di una superficie sono linee.
7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente
rispetto alle rette su di essa.
Tartaglia dirà:
retta (ovvero segmento) è la linea più breve che congiunge due punti
TERMINI DEFINITI (a partire dai termini primitivi)
8.Un angolo piano è l'inclusione reciproca di due linee in un
piano le quali si incontrino e non giacciano in linea retta.
9.Quando le linee che comprendono l'angolo sono rette, l'angolo
è detto rettilineo.
10.Quando una retta innalzata a partire da un'altra retta forma
con essa angoli adiacenti e uguali fra loro, ciascuno dei due
angoli è retto, e la retta si dice perpendicolare a quella su
cui si è innalzata.
11.Dicesi ottuso l'angolo maggiore di un angolo retto.
12.Dicesi acuto l'angolo minore di un angolo retto.
13.Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa. !!!!!!
14.Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini.
15.Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un'unica linea
tale che tutte le rette che terminano su di essa a partire da
un medesimo punto fra quelli interni alla figura siano uguali
fra loro.
16. Quel punto si chiama centro del cerchio.
17.Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e
terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio,
la quale retta taglia anche il centro a metà.
18.Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla
circonferenza da esso tagliata, e centro del semicerchio è quello
stesso che è anche centro del cerchio.
19.Diconsi rettilinee le figure delimitate da rette, vale a dire: figure trilatere quelle comprese da tre rette, quelle quadrilatere
comprese da quattro rette e multilatere quelle comprese da più
di quattro rette.
20.Dicesi triangolo equilatero la figura trilatera che ha i tre lati
uguali, isoscele quella che ha due lati uguali e scaleno quello che
ha i tre lati disuguali.
21.Dicesi triangolo rettangolo la figura trilatera che ha un angolo
retto, triangolo ottusangolo quella che ha un angolo ottuso e
acutangolo quello che ha i tre angoli acuti.
22.Dicesi quadrato la figura quadrilatera che ha i lati uguali e gli
angoli retti.
23.Si dicono parallele rette giacenti nello stesso piano che, prolungate illimitatamente in entrambe le direzioni, non si incontrino
fra loro da nessuna delle due parti.
8 Assiomi o Nozioni comuni: verità evidenti per se
stesse e che sono universalmente accettate senza
dimostrazione
I.
Cose che sono uguali a una stessa sono uguali anche fra
loro.
II. E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità
sono uguali
III. E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono
uguali.
IV. E se cose uguali sono addizionate a cose disuguali, le
totalità sono disuguali.
V. E doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro.
VI. E metà di una stessa cosa sono uguali fra loro.
VII. E cose che coincidono fra loro sono uguali.
VIII. E il tutto è maggiore della parte.
Postulati
Proposizioni di carattere geometrico costruttivo da
accettare a priori come vere.
5
•
I.
II.
III.
IV.
V.
Risulti postulato che:
Sia possibile condurre una linea retta (SEGMENTO) da un qualsiasi punto ad ogni altro
punto
Una retta terminata (SEGMENTO) si possa
prolungare continuamente per diritto
Si possa descrivere un cerchio con qualsiasi
centro e qualsiasi raggio
Tutti gli angoli retti siano uguali tra loro
????
In una teoria
assiomatica moderna
Euclide
Termini primitivi sono
quegli enti che si sceglie
di non definire e che
servono da punto di
partenza per la definizione
degli altri enti
Definisce gli enti geometrici dando una descrizione idealizzata di oggetti
che ci circondano e che
fanno parte della nostra
esperienza immediata.
Assiomi sono quelle
proposizioni che si sceglie
di non dimostrare e che
servono da punto di
partenza per dimostrare
tutti i teoremi
In modo analogo i
postulati (assiomi)
descrivono il comportamento evidente e
facilmente sperimentabile
degli oggetti geometrici.
Poi Euclide inizia a dimostrare le sue proposizioni:
Prop. 1: dato un segmento, posso costruire un triangolo equilatero
avente per lato quel segmento
Prop. 2: Dato un segmento, a partire da un qualunque punto
posso costruirne uno ad esso uguale
Due triangoli sono uguali se hanno uguali due lati e l’angolo fra
essi compreso ( primo criterio di congruenza dei triangoli)
In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali
Se in un triangolo gli angoli alla base sono uguali, allora il
triangolo è isoscele
.......
Le proposizioni enunciate da Talete
......
• Proposizione 16
– In ogni triangolo, se si prolunga uno
dei lati, l’angolo esterno è maggiore
di ciascuno dei due angoli interni ed
opposti.
• Proposizione 17
– In ogni triangolo la somma di due
angoli, comunque presi, è minore di
due retti.
Teorema (n. 27) diretto sulle parallele
Se una retta intersecando altre due rette forma con
esse angoli alterni interni uguali fra loro, le due rette
saranno fra loro parallele
E
A
B
C
D
F
Hp:
AEF = EFD → Th: AB // CD
Dimostrazione
Bisogna dimostrare che le rette AB e CD sono parallele ossia
che per quanto prolungate non si incontrano mai.
Dimostrazione per assurdo
E
A
B
G
C
F
D
Supponiamo invece che prolungandole si incontrino nel
punto G. Allora per il teorema (16) dell’angolo esterno di un
triangolo (che è maggiore di ciascuno dei due angoli interni
e opposti) risulta che AEF > EFG.
Il che è assurdo perché contraddice l’ipotesi.
Teorema (n. 29) inverso delle parallele
Una retta che cada su due parallele forma gli angoli
alterni interni uguali fra loro.
Non è possibile dimostrare questo teorema
basandosi solo sui primi IV postulati
Dimostrazione
Hp: rette
Th: AEF = EFD
Dimostrazione per assurdo
Suppongo AEF > EFD
AEF + BEF > EFD + BEF
ma AEF + BEF = 2 angoli retti
per cui EFD + BEF < 2 angoli retti
Euclide vorrebbe da ciò dedurre che le 2 rette si
intersecano dalla parte di B e D; da cui un assurdo
che andrebbe contro l’Hp.
V postulato
Se una retta (r), intersecando due altre rette (s, t), forma con
esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è
minore di due angoli retti, allora queste due rette illimitatamente prolungate si incontrano dalla parte detta.
α
s
P
r
β
t
sul teorema delle rette parallele
tagliate da una trasversale
Anomalia
Per dimostrare il teorema diretto NON è necessario il V postulato
Per dimostrare il teorema inverso è necessario il V postulato
PUNTO NERO:
il V postulato a differenza degli altri quattro è formulato in
modo complesso e non ha la stessa evidenza immediata
Se una retta, intersecando due altre rette, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti,
allora queste due rette illimitatamente prolungate si incontrano dalla
parte detta.
fa pensare ad un teorema più che ad un postulato
EUCLIDE EVITA finché gli è possibile di utilizzare questo
postulato
Dimostra i primi 28 teoremi senza di esso, MA senza di esso
non si possono dimostrare teoremi basilari come:
• il teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo
(uguale a un angolo piatto)
• il teorema di Pitagora
• i teoremi sulla similitudine delle figure piane
In modo particolare …
Proposizione 32
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei
lati, l’angolo esterno è uguale alla somma
dei due angoli interni ed opposti, e la
somma dei tre angoli interni del triangolo
è uguale a due retti.
C
A
E
B
Se si considerano le proposizioni 16, 17 e 32, si nota che l’ultima è
più completa e contiene implicitamente le prime due: è ovvio che:
se un angolo esterno è uguale alla somma degli angoli interni
non adiacenti ==> è maggiore di ciascuno di essi
se la somma degli angoli interni di un triangolo è due retti ==>
la somma di due soli angoli è minore di due retti
Come mai Euclide ha dimostrato anche i primi due?
Semplicemente perché la loro dimostrazione non fa uso del V
postulato.
D
Viste le perplessità sul V POSTULATO
per oltre 2000 anni numerosi studiosi hanno
cercato:
1) di sostituirlo con un altro equivalente più evidente e più intuitivo, eventualmente riformulando la definizione di parallelismo tra rette
2) di stabilire se il V postulato è effettivamente
un postulato o no, cercando di dimostrarlo a
partire dagli altri 4 postulati
ALCUNI ENUNCIATI EQUIVALENTI
AL V POSTULATO
Rette parallele sono equidistanti (POSIDONIO, I sec. a.C.; PROCLO,
410 – 485)
Una perpendicolare e un’obliqua a una
stessa retta si incontrano dalla parte in cui
l’obliqua forma un angolo acuto con la
retta (Postulato dell’obliqua)
Per un punto esterno a una retta passa una e una sola parallela alla
retta data (JOHN PLAYFAIR, fine sec. XVIII)
La somma degli angoli interni di ogni triangolo è di 180 gradi
(GEROLAMO SACCHERI, 1733)
Dato un triangolo è possibile costruirne uno simile (JOHN WALLIS,
1616 – 1703)
Per tre punti del piano non allineati passa sempre una circonferenza
(FARKAS BOLYAI, inizio XIX secolo)
TENTATIVI DI DIMOSTRAZIONE DEL V
POSTULATO
Numerosi soprattutto dal 1500 in poi
La presenza del quinto postulato senza dimostrazione
sembrava un difetto gravissimo degli Elementi
La Geometria rimase intrappolata nel problema del postulato
delle parallele... tanto che D’Alambert lo chiamò lo
“scandalo della geometria” - 1767
Era assolutamente necessario liberare,purificare l'opera di
Euclide da tale macchia, da tale neo
Il contributo più significativo è di Gerolamo Saccheri con
l’opera:
Euclides ab omni naevo vindicatus
(Euclide liberato da ogni neo)
Gerolamo Saccheri (1667-1733)
IDEA: dimostrazione del V postulato a
contrariis
cioè a partire dalla negazione di esso, ma
accettando gli altri 4 postulati
se la NEGAZIONE durante la dimostrazione
porterà a qualcosa di FALSO o ASSURDO
V postulato è VERO
Saccheri credeva di
aver ottenuto tale
lo avremo dimostrato risultato; ma si è poi
visto che aveva comsarà un teorema
messo un errore
L'opera di Saccheri rappresenta un punto di svolta:
a. per aver aperto la strada (con la sua dimostrazione per
assurdo) alla possibilità di ipotizzare la non validità del
V postulato
b. per aver inaugurato, involontariamente, la strada
verso le Geometrie Non Euclidee (cioè geometrie in
cui non vale il V postulato di Euclide)
c. per l’idea di fondare la validità di una geometria non
sull'evidenza intuitiva, ma sulla sua non contraddittorietà logica
Geometria Assoluta
Geometria ottenuta dalla Geometria Euclidea escludendo il V postulato e tutti i teoremi dimostrati con
l'ausilio di questo
Geometria Parabolica
Geometria Euclidea
Felix Klein
(1849 – 1925)
Geometria Iperbolica
Geometria che accetta i primi quattro Postulati della Geometria
Euclidea e che sostituisce il V postulato con la sua negazione:
dato un punto e una retta non passante per esso, esistono infinite rette
per il punto dato e parallele alla retta data
Geometria Ellittica
Geometria che accetta i primi quattro Postulati della Geometria Euclidea e che sostituisce il V postulato con la sua negazione:
dato un punto e una retta non passante per esso, non esiste alcuna
retta per il punto dato e parallela alla retta data
Le tre geometrie vengono definite da Klein
Parabolica (Euclidea) – la parabola ha un solo “punto” all’infinito – una parallela
Iperbolica (Lobacevskij) – l’iperbole ha “due punti” all’infinito – due parallele
Ellittica (Riemann) – l’ellisse non ha “nessun punto” all’infinito – nessuna
parallela
parabola
Punto all’infinito
iperbole
Punto all’infinito
Punto all’infinito
ellisse
INVENTORI della Geometria Iperbolica
Jànos Bolyai (1802-1860)
Ungherese
Nicolai Ivanovich Lobachevsky
(1793- 1856) russo
INVENTORE della Geometria Ellittica
MODELLI DI
GEOMETRIE NON
EUCLIDEE
Bernhard Riemann (1826 – 1866)
Tedesco
Geodetica
Per capire i modelli di geometria non euclidea è indispensabile
la nozione di geodetica.
Nel piano euclideo si può definire la retta come il percorso più
breve che unisce due punti
Su una superficie qualsiasi il percorso più breve che unisce
due punti si chiama geodetica
piano
Q
P
P
retta
superficie
Q
geodetica
Modello di geometria di Riemann
Piano
• Punto del piano
• Retta del piano
• Per due punti passa una retta
• Per un punto esterno a una
retta non passa nessuna
parallela alla retta data
α + β + γ < 3× 180°
Superficie sferica
Punto sulla sfera
Circonferenza max (geodetica)
Per due punti passa una circonf. max
Non esistono rette parallele
Nella geometria di Riemann
La circonferenza di diametro AB non ha
centro in C ma in N
Circonferenza è il luogo dei punti equidistanti
da uno stesso punto, il centro
Siamo sulla superficie della sfera, mentre C
è posto dentro la sfera
Poiché evidentemente l'arco AN è maggiore
del segmento AC, il rapporto tra la circonferenza AB e il suo raggio AN è minore di π
Nella geometria euclidea
C/2r = π
C/2r < π
Modello di Klein (di geometria iperbolica):
piano
punti interni ad una circonferenza;
quindi cerchio privato della circonferenza
punto
punto interno al cerchio
retta
corda (come, ad esempio, PQ)
Due punti determinano una retta e per un punto passano infinite
rette
Per un punto esterno a una retta passano infinite rette parallele a
quella data (che non la intersecano)
somma angoli di un triangolo < 180°
iperparallela
BQ, AP sono
semirette
AB segmento
semipiano
CP e CQ rette separatrici
delle rette parallele da quelle non parallele
secante
Modello di Poincaré (di geometria iperbolica):
piano
punto
retta
cerchio privato della circonferenza
punto interno al cerchio
diametro oppure un arco di circonferenza,interno al
cerchio e ortogonale alla circonferenza che lo delimita
Per un punto esterno a una retta passano infinite rette parallele a
quella data (che non la intersecano)
iperparallela
la somma degli angoli di un triangolo è sempre
minore di 180° e varia da triangolo a triangolo
Un cerchio di
centro D
Un cerchio di centro O, due Un ottagono regolare
diametri tra di loro perpen- e il cerchio ad esso
dicolari e il quadrato inscritto
circoscritto
Maurits Cornelis Escher (1898 –1972) incisore e grafico olandese
Geometria Euclidea
La sistemazione definitiva
dell’argomento viene da Klein
attraverso la classificazione
delle geometrie in tre classi
fondamentali
Geometria Ellittica
È la geometria delle
superfici a curvatura
nulla
Vale l’assioma
dell’esistenza e
unicità della
parallela. La somma
degli angoli interni di
un triangolo è uguale
ad un angolo piatto
È la geometria delle
superfici a curvatura
positiva (Riemann) .
In essa non esistono
rette parallele. La
somma degli angoli
interni di un
triangolo è maggiore
di un angolo piatto
Geometria Iperbolica
È la geometria delle
superfici a curvatura
negativa
(Lobacevskij). Per un
punto esterno ad una
retta vi sono più
parallele. La somma
degli angoli interni di
un triangolo è minore
di un angolo piatto
CONCLUDENDO
Abbiamo quindi diverse geometrie
Sono tutte corrette
Uso quella che mi serve a secondo del
mondo in cui lavoro
Le GEOMETRIE NON EUCLIDEE sono
importantissime per le applicazione
alla fisica ed in particolare alla teoria
della relatività di Einstein
Bibliografia
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Euclide, Gli elementi, UTET, 1970
R. Bonola, La geometria non-euclidea, Zanichelli, 1906
F. Klein, Il programma di Erlangen, La Scuola, Brescia, 1998
L. Magnani, Le geometrie non euclidee, Zanichelli, 1978
R. Trudeau, La rivoluzione non euclidea, Bollati Boringheri,
1991
P. Parrini, Fisica e geometria dall’Ottocento a oggi, Loescher,
1979
M Kline, Storia del pensiero matematico, Einaudi, 1996
C. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, 1968
U. Bottazzini, Il flauto di Hilbert, storia della matematica
moderna e contemporanea, UTET, 1990