Dimmostrazione topologica della compattezza combinatoria Alessio del Vigna 10 ottobre 2012 Teorema 1 (compattezza combinatoria). Se una famiglia A di insiemi finiti è r–regolare su un insieme X, allora è anche r–regolare su un sottoinsieme finito Y ⊆ X. Dimostrazione. Consideriamo lo spazio topologico {1, . . . , r} dotato della topologia discreta: rispetto a questa topologia tale spazio è compatto. Per il teorema di Tychonoff lo spazio C = {1, . . . , r}X è compatto rispetto alla topologia prodotto. Lo spazio C è lo spazio di tutte le possibili r–colorazioni di X: infatti per ogni successione c = (cα )α∈X ∈ C abbiamo la colorazione X = C1c t · · · t Crc tale che α ∈ Cic ⇔ cα = i. La nozione di monocromaticità di un insieme A ∈ A può essere tradotta in termini topologici come segue. Per A ∈ A e i ∈ {1, . . . , r} definiamo \ UiA = {c ∈ C | cα = i ∀α ∈ A} = πα−1 (i). α∈A Questo insieme è aperto per la topologia prodotto in quanto intersezione finita (per ipotesi) di aperti, e rappresenta l’insieme delle r–colorazioni di X tali che A ha il colore i. Pertanto l’aperto UA = r [ UiA i=1 rappresenta tutte le possibili colorazioni di X tali che A è monocromatico. In questo modo possiamo riscrivere l’ipotesi: la r–regolarità di A su X equivale a chiedere che per ogni c ∈ C esiste A ∈ A tale che c ∈ U A , ossia [ C⊆ U A. A∈A 1 Dal ricoprimento aperto {U A | A ∈ A} di C, per compattezza, possiamo estrarre un sottoricoprimento finito: C⊆ n [ U Aj . j=1 S Poniamo allora Y = nj=1 Aj ⊆ X, che è finito per ipotesi. Ogni r– colorazione di Y si può estendere banalmente a una r–colorazione di X: il fatto che gli U Aj siano un ricoprimento di C implica che esiste j ∈ {1, . . . , n} tale che Aj ⊆ Y è monocromatico per la colorazione di X. 2