Dimostrazione topologica della compattezza combinatoria

Dimmostrazione topologica della
compattezza combinatoria
Alessio del Vigna
10 ottobre 2012
Teorema 1 (compattezza combinatoria). Se una famiglia A di insiemi finiti
è r–regolare su un insieme X, allora è anche r–regolare su un sottoinsieme
finito Y ⊆ X.
Dimostrazione. Consideriamo lo spazio topologico {1, . . . , r} dotato della
topologia discreta: rispetto a questa topologia tale spazio è compatto. Per
il teorema di Tychonoff lo spazio
C = {1, . . . , r}X
è compatto rispetto alla topologia prodotto. Lo spazio C è lo spazio di tutte
le possibili r–colorazioni di X: infatti per ogni successione c = (cα )α∈X ∈ C
abbiamo la colorazione X = C1c t · · · t Crc tale che
α ∈ Cic ⇔ cα = i.
La nozione di monocromaticità di un insieme A ∈ A può essere tradotta in
termini topologici come segue. Per A ∈ A e i ∈ {1, . . . , r} definiamo
\
UiA = {c ∈ C | cα = i ∀α ∈ A} =
πα−1 (i).
α∈A
Questo insieme è aperto per la topologia prodotto in quanto intersezione
finita (per ipotesi) di aperti, e rappresenta l’insieme delle r–colorazioni di X
tali che A ha il colore i. Pertanto l’aperto
UA =
r
[
UiA
i=1
rappresenta tutte le possibili colorazioni di X tali che A è monocromatico. In
questo modo possiamo riscrivere l’ipotesi: la r–regolarità di A su X equivale
a chiedere che per ogni c ∈ C esiste A ∈ A tale che c ∈ U A , ossia
[
C⊆
U A.
A∈A
1
Dal ricoprimento aperto {U A | A ∈ A} di C, per compattezza, possiamo
estrarre un sottoricoprimento finito:
C⊆
n
[
U Aj .
j=1
S
Poniamo allora Y = nj=1 Aj ⊆ X, che è finito per ipotesi. Ogni r–
colorazione di Y si può estendere banalmente a una r–colorazione di X: il
fatto che gli U Aj siano un ricoprimento di C implica che esiste j ∈ {1, . . . , n}
tale che Aj ⊆ Y è monocromatico per la colorazione di X. 2