Prodotti infiniti e teorema di Tychonoff

Prodotti infiniti e teorema di Tychonoff
Denis Nardin
Questo articolo è scritto con lo scopo di dare una rapida illustrazione dei
prodotti infiniti di spazi topologici e, in particolare, una dimostrazione essenzialmente elementare del teorema di Tychonoff. L’ispirazione sono stati gli
ottimi appunti di Allen Hatcher (http://www.math.cornell.edu/~hatcher/
Top/Topdownloads.html), di cui raccomando la lettura a chiunque voglia approfondire.
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Prodotti infiniti
Com’è noto, dati due spazi topologici X, Y si può definire sul prodotto X ×
Y una topologia, detta topologia prodotto, dando come base i cosiddetti
rettangoli aperti, cioè gli insiemi della forma A × B, dove A, B sono aperti in
X, Y . Adesso vedremo come estendere questa nozione ad una famiglia di spazi
topologici indicizzata da un insieme qualsiasi I.
Sia quindi {Xi }i∈I una famiglia di spazi. Vorremmo quindi dare una topologia all’insieme
Y
X=
Xi
i∈I
L’osservazione chiave è che, nel caso di due spazi, la topologia prodotto è esattamente la topologia meno fine che rende le due proiezioni πX : X × Y → X e
πy : X × Y → Y continue. Quindi il minimo che vorremmo chiedere è che per
ogni i ∈ I, la proiezione sulla i-esima coordinata πi : X → Xi .
Ci chiediamo dunque qual è la topologia meno fine tale che le proiezioni siano
continue? Serve esattamente che gli insiemi πi−1 (Ai ) siano aperti, per ogni i ∈ I
e Ai ⊆ Xi aperto. Come topologia prodotto prendiamo perciò la più piccola
topologia che contiene questi.
Purtroppo gli insiemi della forma πi−1 (Ai ) non sono una base di aperti per la
topologia, ma quello che si dice una sottobase, cioè una famiglia F di insiemi
per cui si considera la più piccola topologia che li contiene (la cosa ha senso,
perchè l’intersezione di una famiglia di topologie è ancora una topologia). Per
ottenere una base bisogna considerare le intersezioni finite degli elementi della
sottobase. Quindi una base per la topologia prodotto si considerano gli insiemi
della forma
πi−1
(Ai1 ) ∩ · · · ∩ πi−1
(Ain )
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n
dove i1 , . . . , in ∈ I e Aij ⊆ Xij sono aperti. Questi insiemi sono detti insiemi
cilindrici. In altri termini, sul prodotto X mettiamo la topologia che ha per
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base gli insiemi cilindrici, che sono quelli della forma
Y
U=
Ui
i∈I
dove Ui ⊆ Xi aperti tali che solo un numero finito di loro non sono banali (cioè
non coincidono con tutto lo spazio).
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Teorema di Tychonoff
Lo scopo di questa sezione è dimostrare il teorema di Tychonoff: se {Xi }i∈I è
una famiglia di spazi topologici compatti, allora il prodotto
Y
X=
Xi
i∈I
è ancora uno spazio topologico compatto.
Com’è noto, per dimostrare Tychonoff è necessario utilizzare l’assioma di
scelta in qualche sua forma. Qui l’uso che ne faremo si limiterà a supporre che
l’insieme I degli indici sia ben ordinabile, e quindi senza perdita di generalità
un ordinale ω.
Supponiamo che U sia un ricoprimento aperto privo di sottoricoprimenti
finiti. L’idea di questa semplice dimostrazione consiste nel costruire per ricorsione transfinita un punto x = {xα }α∈ω tale che ogni suo intorno di base non
abbia sottoricoprimenti finiti. Questo è ovviamente assurdo, in quanto il punto
x deve stare in qualche aperto di U, che ovviamente conterrà un suo intorno di
base.
Per comodità di notazione, indichiamo con
Y
Yλ =
Xα
α<λ
per ogni λ ≤ ω.
Vogliamo costruire una successione {xα }α<ω tale che per ogni λ ≤ ω, se
yλ = {xα }α<λ ogni aperto della forma
Y
U×
Xα
λ≤α<ω
con U intorno di base di yλ in Yλ , non abbia sottoricoprimenti finiti in X.
Costruiamola per ricorsione transfinita, una componente alla volta.
• Per λ = 0 la successione vuota soddisfa la tesi
• Se è vero per λ, troviamo xλ in modo che yλ+1 = {xα }α≤λ verifichi la
proprietà. Supponiamo per assurdo che non esista un tale xλ . Questo
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vuol dire che per ogni x ∈ Xλ esiste un intorno di base Vx di yλ e un
intorno Ux di x tale che l’aperto
Y
Vx × Ux ×
Xα
λ+1≤α<ω
abbia un sottoricoprimento finito. Ma {Ux }x∈X è un ricoprimento di Xλ ,
che è uno spazio topologico compatto. Allora deve esistere un sottoricoprimento finito Ux1 , . . . , Uxn .
Perciò esistono x1 , . . . , xn tali che Ux1 , . . . , Uxn ricoprono Xλ e
Vxi × Uxi × Zλ+1
ha un sottoricoprimento finito per ogni i = 1 . . . n. Ma allora, posto V =
Vx1 ∩· · ·∩Vxn , anche V è un aperto di base per Yλ , e inoltre V ×Uxi ×Zλ+1
ha un sottoricoprimento finito per ogni i = 1, . . . , n. Ma quindi l’unione
finita
n
[
V × Uxi × Zλ+1 = V × Zλ
i=1
ha un sottoricoprimento finito (basta prendere l’unione dei sottoricoprimenti finiti dei singoli termini). Ma questo è assurdo, perchè l’ipotesi
induttiva su yλ era che per nessun intorno di base V , l’insieme V × Zλ ha
sottoricoprimenti finiti. Perciò è possibile prolungare yλ a yλ+1 .
• Supponiamo ora che λ sia un ordinale limite. Allora abbiamo una successione {xα }α<λ tale che per ogni β < λ, yβ = {xα }α<β . Allora, se pongo
yλ = {xα }α<λ posso scrivere ogni suo intorno di base come
Y
U×
Xα
β≤α<λ
dove β < λ e U è un intorno di base di yβ . Questo perchè ogni intorno di
base di yλ ha solo un numero finito di intorni non banali e λ è un ordinale
limite. Ma allora per l’ipotesi induttiva ogni intorno di base di λ non ha,
una volta completato, un sottoricoprimento finito. Quindi yλ è il punto
che stavamo cercando.
Perciò se poniamo x = yω , abbiamo che ogni intorno di base di x non ha
sottoricoprimenti finiti. Ma questo è assurdo, per quanto visto prima.
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