Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Struttura della lezione

Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni
6 – Processi aleatori
Prof Giovanni Schembra
Prof.
1
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Struttura della lezione
„
Definizioni di processi aleatori e caratterizzazione
statistica (Æ)
„
„
„
„
„
Processi aleatori stazionari (Æ)
Potenza, energia e Spettro di potenza (Æ)
Processi aleatori ergodici (Æ)
Processi aleatori notevoli (Æ)
„
„
„
„
Stima delle statistiche di primo e secondo ordine
Processi gaussiani
Rumore bianco e rumore termico
Correlazione tra due processi aleatori (Æ)
Filtraggio di un segnale aleatorio con sistemi LTI (Æ)
2
1
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
PROCESSI ALEATORI:
DEFINIZIONE
E CARATTERIZZAZIONE STATISTICA
3
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Processi aleatori
„
Segnali aleatori:
„
„
Processi aleatori:
„
„
spesso dei segnali x(t) trattati, elaborati, o ricevuti non si
conosce a priori la forma d’onda nel tempo
un processo aleatorio è un modello matematico per i segnali
aleatori
Processo aleatorio: definizione
„
collezione di un numero finito o infinito di funzioni del tempo
(segnali determinati) corrispondenti a diversi risultati di un
esperimento aleatorio
4
2
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Processi aleatori
X(t,ω) è il processo aleatorio
x(t,ωi) funzione campione
X(ti ,ω) variabile aleatoria
x(tj,ωi) numero
„
„
L’aleatorietà sta nel fatto che a priori non è possibile sapere
quale sarà il segnale
Eseguito l’esperimento, il processo diventa a posteriori un
segnale determinato x(t, ωi), detto funzione campione o
realizzazione
5
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Processi aleatori parametrici
„
E
Esempio
i 1:
1 processo esponenziale
i l
ω1 = 1
−t
X (t ) = Ω e u (t )
processo parametrico dipendente
(parametro)) Ω
dalla v.a. (p
Ω è una v.a.
assume i valori del lancio di un dado
ω2 = 2
ω3 = 3
Ω = {ωi} = {1,2,..,6}
6
3
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Processi aleatori parametrici
„
E
Esempio
i 2:
2 generatore
t
di segnale
l cosinusoidale
i
id l
X (t ) = A cos (2πf 0 t + θ )
A : costante
f 0 : costante
θ : variabile aleatoria continua in [0,2π ]
I processi parametrici sono i processi più semplici da trattare
7
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Caratterizzazione statistica di un processo
aleatorio
Statistiche del primo ordine
X (t1 , ω ) = X ( t1 )
„
variabile aleatoria
Funzione distribuzione di probabilità del primo ordine del
processo
FX ( x; t1 ) = Pr{X (t1 ) ≤ x}
Δ
dipende anche da una variabile temporale t1
perché le proprietà statistiche della variabile
aleatoria cambiano, in generale, al cambiare
dell’istante di tempo al quale si “campiona” il
processo:
FX ( x; t1 ) ≠ FX ( x ; t 2 )
4
x 1(t)
X(t 1 )
2
x 2(t)
0
x 3(t)
-2
x 4(t)
t1
-4
0
X(t1)
1
2
3
4
5
Tempo, t
8
4
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Caratterizzazione statistica di un processo
aleatorio
X (t1 , ω ) = X ( t1 )
Statistiche del primo ordine
„
Funzione densità di probabilità del primo ordine del
processo
Δ ∂F ( x ; t1 )
f X ( x; t1 ) = X
∂x
4
x 1(t)
X(t 1 )
2
x 2(t)
0
x 3(t)
-2
x 4(t)
t1
-4
0
X(t1)
1
2
3
4
5
Tempo, t
9
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Caratterizzazione statistica di un processo
aleatorio
„
Osserviamo che la funzione FX ( x;t1 ) non è sufficiente a
caratterizzare un processo aleatorio
„
Esempio:
„
un processo aleatorio utilizzato per modellare (e prevedere) la
quotazione di un titolo in borsa
X (t ) : probabilità dell’evento che la quotazione del titolo all’istante di
vendita t2 sia maggiore della quotazione all’istante di acquisto t1
F X ( x1 , x 2 ; t 1 , t 2 ) =
Δ
Pr{X (t1 ) ≤ x1 , X (t 2 ) ≤ x 2 }
richiede la considerazione congiunta
di due variabili aleatorie estratte dallo
stesso processo in istanti distinti.
Non può essere utilizzata FX ( x; t1 )
distribuzione di probabilità del secondo ordine del processo
10
5
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Caratterizzazione statistica completa di un
processo aleatorio
„
Funzione distribuzione di probabilità di ordine n:
FX ( x1 , x 2 ,..., x n ; t1 , t 2 ,..., t n ) = Pr{X (t1 ) ≤ x1 , X (t 2 ) ≤ x 2 ,..., X (t n ) ≤ x n }
Δ
„
Funzione densità di probabilità di ordine n:
Δ
f X ( x1 , x 2 ,..., x n ; t1 , t 2 ,..., t n ) =
∂ n FX ( x1 , x 2 ,..., x n ; t1 , t 2 ,..., t n )
∂x1∂x 2 ...∂x n
NOTA: La descrizione statistica completa di un processo stocastico si ha quando è
nota la funzione distribuzione di probabilità congiunta delle n v.a. X(t1), X(t2), X(tn)
per ∀n e ∀ n-upla (t1,t2,…,tn) [distribuzione di probab. di ordine n]
Praticamente impossibile!!!!!
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
parametri statistici semplificati
11
6 – Processi aleatori
Classificazione dei processi aleatori
„
„
„
„
processo
processo
processo
processo
discreto: a valori discreti
continuo: a valori continui
tempo-discreto: con t variabile discreta
tempo-continuo: con t variabile continua
12
6
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Esempio
Il segnale Dati binario è un processo a valori
discreti (valori 0 e 1) e tempo discreto.
Due possibili realizzazioni di un processo binario:
„
„
13
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Indici statistici del 1° ordine di un
processo aleatorio
„
Valore medio statistico η X (t )
Il valore di questa funzione a un istante assegnato t = t
è il valor medio della variabile aleatoria X (t ) , estratta
+∞
dal processo all’istante stesso:
η X (t ) = E {X (t )} = ∫ x f X ( x; t )dx
4
x3(t)
−∞
x1(t)
2
Per processi continui:
η X (t ) = E{X (t )} =
0
Δ
-2
+∞
∫xf
X
(x, t )dx
−∞
x4(t)
x2(t)
Per processi discreti
-4
0
1
t
2
3
Tempo, t
4
5
η X (t ) = E{X (t )} =
Δ
∑ x ⋅ P( X (t ) = x )
i
i
i
14
7
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Indici statistici di un processo aleatorio
„
Valor medio (ordine 1)
⎧ +∞
⎪ ∫ xff X ( x; t )dx = μ (t ) pproc. continuo
⎪− ∞
E{X (t )} = ⎨
⎪
proc. discreto
⎪∑ xi P( X (t ) = xi )
⎩ i
Per un processo parametrico
X (t ) = g (t , ϑ )
E{ X (t )} = E{g (t , ϑ )} =
+∞
∫ g (t ,ϑ ) f
θ
(ϑ )dϑ
−∞
„
F
Funzione
i
di autocorrelazione
t
l i
(ordine
( di
2)
+∞+∞
⎧ ∫ ∫ x1 x2 f X ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
Processo continuo
⎪ −∞−∞
RXX (t1 , t 2 ) = E{X (t1 ) X (t 2 )} = ⎨
⎪ ∑∑ xi x j P{ X (t1 ) = xi , X (t 2 ) = x j } Processo discreto
⎩ i j
15
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Indici statistici di un processo aleatorio
„
Funzione di autocovarianza (ordine 2)
C XX (t1 , t 2 ) = E{[ X (t1 ) − μ (t1 )][ X (t 2 ) − μ (t 2 )]} == R XX (t1 , t 2 ) − μ (t1 ) μ (t 2 )
se t1 = t 2 = t
C XX (t , t ) = E{ X 2 (t )} − μ 2 (t ) = σ 2 (t )
Esempio
i 1 X (t ) = Ω e − t u (t )
+∞
E{ X (t )} = ∫ ω e −t u (t ) f Ω (ω )dω =
−∞
Varianza
(ordine 1)
Ω è una v.a.
assume i valori del lancio di un dado
Ω = {ωi} = {1,2,..,6}
−∞
6
6
i
1
−t
−t
= ∑ e −t u (t ) ∫ ωδ (ω − i )dω = e u (t )∑ = 3.5e u (t )
i =1 6
E{ X (t )} = ∫ g (t , ϑ ) f (ϑ )dϑ i =1 6
16
−∞
+∞
θ
−∞
8
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Esempio 2: processo armonico
X (θ , t ) = A cos (2πf 0 t + θ )
2π
E{ X (t )} =
dove θ è una v.a. uniformemente
di ib i in
distribuita
i [0,2π]
[0 2 ]
1
∫ A cos(2πf t + θ ) 2π dθ = 0
0
0
R XX (t1 , t 2 ) = E{X (t1 ) X (t 2 )} =
= E {A cos(( 2πf 0t1 + θ ) A cos(( 2πf 0t 2 + θ )}=
=
A2
A2
cos[2πf 0 (t1 − t 2 )] +
2
2
=
A2
cos[2πf 0 (t1 − t 2 )] + 0 = R X (τ )
2
posto τ = t
∫
2π
0
cos[2πf 0 (t1 + t 2 ) + 2α ]
1
NOTA:
A2
E{cos[2πf 0 (t1 − t 2 )] + cos[2πf 0 (t1 + t 2 ) + 2θ ]} =
2
1
dα =
2π
integrando il cos(a+θ) per θ∈[0,2π]. ATTENZIONE:
la frequenza è1/ π, quindi è già nullo in [0,π]
− t2
R XX (t1 , t 2 ) in questo caso non dipende dagli istanti, ma solo dalla loro distanza
17
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Esempio
„
Consideriamo il processo X(t) = Ω , dove Ω è una
v.a. ∈[-1,1] uniformemente distribuita
x(t , ωi )
+1
fX(x;t)
t
-1
X (t ) = ωi
⎧1
⎪
f X ( x; t ) = ⎨ 2
⎪⎩ 0
∀t
x ∈ [−1,1]
altrove
1
-1
fX(x;t) coincide con la pdf della Ω, ∀t
1
E{ X (t )} = μ = ∫ xf X ( x; t )dx = 0
−1
{ }
1
R XX (t1 , t 2 ) = E{X (t1 ) X (t 2 )} = E X 2 = ∫ x 2
−1
1
1
dx =
2
3
NOTA: Il valore medio non
dipende dal tempo perché
non ne dipende la fX
18
9
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
PROCESSI ALEATORI
STAZIONARI
19
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Processi stazionari
„
Definizione:
„
un processo si dice stazionario in senso stretto se una
traslazione temporale modifica le forme d’onda ma il
comportamento statistico rimane invariato, cioè:
f X ( x1 , x2 ,K , xn ; t1 , t 2 ,K, t n ) = f X (x1 , x2 , K, xn ; t1 + ε , t 2 + ε , K, t n + ε )
„
„
∀ε
∀n
Se la relazione vale per n=M fissato (⇒∀k≤M),
) il processo si dice
stazionario di ordine M
Un processo si dice stazionario in senso lato (SSL) (o in senso
debole) se:
E{X (t )} non dipende dal tempo
RXX (t1 , t 2 ) = RX (τ )
con
τ = t 2 − t1
20
10
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Processi stazionari almeno in senso lato
Processo STAZIONARIO IN SENSO LATO (SSL) se:
E[X(t)] è indipendente dal tempo
RXX (τ) dipende solo dalla distanza tra gli istanti
21
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Processi stazionari almeno in senso lato
„
Proprietà della funzione di autocorrelazione
R XX (τ ) = E{X (t + τ ) ⋅ X (t )}
•RXX(τ)=RXX(-τ)
•RXX(0)=E{[X(t)]2}≥0
Potenza media statistica istantanea
•| RXX(τ)|≤RXX(0)
„
Proprietà della funzione di autocovarianza
CX(t1,t2) = E{X(t1) X(t2)}–μX(t1)μX(t2)
Se RXX dipende solo da τ
CXX (τ) dipende solo da τ
Se il valor medio è costante
22
11
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Processo stazionario in senso lato
RXX (τ ) = E{X (t + τ ) ⋅ X (t )}
„
Consideriamo un processo X(t) stazionario in senso
lato, che non contiene componenti periodiche. Risulta:
lim R XX (τ ) = μ X2
RX(τ)
τ →∞
μX2
Dimostrazione
2
lim E{X (t ) X (t + τ )} == lim E{X (t )}E{X (t + τ )} = μ X μ X = μ X
τ →∞
τ →∞
Il processo è stazionario in senso lato. Quindi il valor medio è indipendente dal tempo
23
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Significato della funzione di autocorrelazione per
un processo stazionario
„
Consideriamo due processi X1(t) e X2(t) con lo stesso
valore medio e stessa potenza, RXX(0)
X1(t)
X2(t)
„
varia lentamente
varia velocemente
Nello stesso tempo τ, X2(t) e X2(t + τ) sono più incorrelate di X1(t) e
X1(t + τ) , cioè:
„
Rx2(τ) → μx2 più
iù velocemente
l
t di Rx1(τ)
L’Autocorrelazione misura la rapidità di variazione
del segnale aleatorio
RX(τ)
μX2
τ
24
12
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Significato della funzione di autocorrelazione per
un processo stazionario
„
Distanza di incorrelazione
RXX (τ )
RXX (τ )
μ X2
μ X2
τcorr
„
τcorr : minima distanza
τcorr
di tempo affinché le v.a.
estratte dal processo
siano incorrelate
Funzione di autocovarianza normalizzata
(per confrontare grandezze diverse):
Cˆ XX (τ ) =
{
}
R XX (τ ) − μ X2
σ X2
2
2
2
dove σ X = E X (t ) − μ X è la varianza
Cˆ XX (τ )
1
τcorr
Cˆ XX (τ ) = 0
Cˆ XX (0) = 1 τlim
→∞
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
25
6 – Processi aleatori
POTENZA
ENERGIA E
SPETTRO DI POTENZA
26
13
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Potenza ed energia
„
X(t):
x(t,ωi):
Definizioni:
„
processo casuale
realizzazione
per ogni realizzazione l’energia e la potenza sono definiti
come segue:
+∞
ε i = ∫ x 2 (t , ω i )dt
<∞
il segnale è di energia
−∞
1
T →∞ T
+T / 2
pi = lim
„
„
„
∫x
2
(t , ω i )dt
0<p<∞
il segnale è di potenza
−T / 2
ogni realizzazione ha una diversa ε e p
quindi per un processo si hanno più valori di p e di ε
Definisco quindi le due variabili aleatorie
εX = {ε1, ε2, …}
pX = {p1, p2, …}
27
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Potenza ed energia
„
Utilizziamo la seguente notazione:
εX =
+∞
2
∫ X (t )dt
1
T →∞ T
p x = lim
−∞
„
+T / 2
∫X
2
(t )dt
−T / 2
Definizioni:
„
Energia del processo X(t)
+∞
⎧+∞
⎫ +∞
Ε X = E{ε X } = E ⎨ ∫ X 2 (t )dt ⎬ = ∫ E X 2 (t ) dt = ∫ R XX (t , t )dt
⎭ −∞
⎩− ∞
−∞
{
„
}
Potenza del processo X(t)
+T / 2
+T / 2
+T / 2
⎫
⎫
⎧
1
1 ⎧
1
2
2
PX = E{ p x } = E ⎨ lim
X
(
t
)
dt
=
lim
E
X
(
t
)
dt
=
lim
RXX (t , t )dt
⎬ T →∞
⎬ T →∞
⎨
T →∞ T ∫
T ⎩−T∫/ 2
T −T∫/ 2
−T / 2
⎭
⎭
⎩
28
14
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Spettro di potenza
„
„
Ricerchiamo una definizione di Densità Spettrale di Potenza
(spettro di potenza) congruente con quella dei segnali
determinati
Ogni realizzazione ha una diversa densità spettrale di potenza
⎧⎪ x (t , ω i ) | t |< T / 2
x T (t , ω i ) = ⎨
⎪⎩ 0
altrove
| X T ( f ,ω i ) |2
S X ( f ,ω i ) = lim
T →∞
T
dove X T ( f ,ω i ) = ℑ{xT (t ,ω i )}
29
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Spettro di potenza di un processo
aleatorio
„
Definizione 1: spettro di potenza
{
⎧
| X ( f ) |2 ⎫
E | X T ( f ) |2
= lim
S X ( f ) := E{S X ( f , ω )} = E ⎨ lim T
⎬
T
T
⎩T →∞
⎭ T →∞
„
}
Conseguenza:
(per i processi stazionari almeno in senso lato)
„
come per i segnali determinati:
S X ( f ) = ℑ{RXX (τ )} Teor. Di Wiener-Khintchine
+∞
∫S
−∞
X
( f )df = ℑ−1{S X ( f )} = RXX (0) ≡ PX
τ =0
Per un processo stazionario la SX(f) è la
densità spettrale di potenza
30
15
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Spettro di potenza e funzione di
autocorrelazione
„
Notiamo che:
„
„
Lo Spettro di Potenza di un p.a. stazionario SX(f)=ℑ[RX(τ)]
soddisfa tutte le proprietà della densità spettrale di potenza
di un segnale determinato
La Funzione di Autocorrelazione di un p.a. stazionario RX(τ)=
ℑ[X(t)X(t+τ)] soddisfa le stesse proprietà
dell’autocorrelazione di un segnale determinato
31
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
PROCESSI ALEATORI
ERGODICI
32
16
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Ergodicità del valor medio di un processo
aleatorio
MEDIA TEMPORALE
1
T →∞ T
(1) < x(t , ω i ) >= lim
„
MEDIA STATISTICA
+T / 2
∫ x(t , ω i )dt
+∞
(2) E{ X } =
−T / 2
∫ xf
X
( x)dx
−∞
Il processo è ergodico in valor medio se:
„
„
la (1) e la (2) coincidono con probabilità 1
la media temporale è un numero. Ne segue che anche la
media statistica non deve dipendere da t
33
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Ergodicità della funzione di
autocorrelazione di un processo aleatorio
„
A t
Autocorrelazione
l i
[temporale]
[t
l ] del
d l segnale
l x(t,
( ωi)
T /2
1
x(t + τ , ω i ) x(t , ω i ) dt
T →∞ T ∫
−T / 2
Rxi (τ ) = lim
„
Il processo è ergodico in autocorrelazione se:
Rxi (τ ) = R X (τ ) = E{ X (t ) X (t + τ )}
„
Inoltre, in tal caso si ha:
S xi ( f ) = S X ( f )
34
17
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Ergodicità in senso lato
„
Un processo è ergodico in senso lato quando
l’ergodicità è verificata per le funzioni:
„
„
Valor medio
Autocorrelazione
Cioè se, scelta a caso una qualsiasi realizzazione,
le medie di insieme coincidono con quelle temporali
con probabilità 1
Ogni realizzazione fornisce una buona stima
delle caratteristiche spettrali del processo
35
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Processi ergodici
„
Definizione: p
processo ergodico
g
in senso stretto
„
„
è un processo strettamente stazionario per il quale è sufficiente
una sola realizzazione, scelta a caso, per ottenere con probabilità
unitaria, tutte le informazioni statistiche
In altre parole:
„
„
tutte le medie temporali sono uguali (con probabilità 1) alle
corrispondenti medie statistiche
Q l
Qualunque
sia
i la
l funzione
f
i
campione
i
scelta,
lt tranne
t
per un insieme
i i
con probabilità nulla, si dice che:
la media verticale (d’insieme) coincide
con quella orizzontale (temporale)
36
18
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Processi ergodici
CONSEGUENZA:
È possibile misurare certe statistiche, definite come medie di
insieme, mediante le corrispondenti medie temporali calcolate
su una sola (qualsiasi) realizzazione
37
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
PROCESSI ALEATORI
NOTEVOLI
38
19
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Processi aleatori Gaussiani
„
Definizione:
„
un processo aleatorio X(t) è Gaussiano se le n variabili aleatorie
[X(t1), …, X(tn)] da esso estratte agli istanti [t1, …, tn] risultano
congiuntamente Gaussiane per ogni n, e per qualunque n-upla
di istanti, cioè se:
f X ( x1 , K , xn ; t1 , K , t n ) =
„
1
(2 π )n det(C XX )
e
(
− 0.5 X −η X
)T C−XX1 ( X −η X )
determinante
Caratterizzazione completa:
sono sufficienti
[C XX (t1 , t2 )]
η X (t )
39
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Processi aleatori Gaussiani
„
dove:
f X ( x1 , K , xn ; t1 , K , t n ) =
1
(2 π )
n
C XX
e
(
− 0.5 X −η X
)T C −XX1 ( X −η X )
Vettore dei valori medi
η X = [η X (t1 ),K,η X (t n ) ]
T
Matrice delle autocovarianze
[C XX ][i ,k ] = C XX (ti , tk ) =
= RXX (ti , t k ) − η X (ti )η X (t k )
„
⎡ C XX (t1 , t1 ) C XX (t1 , t2 )
⎢C (t , t ) C (t , t )
[C XX ] = ⎢ XX 2 1 XX 2 2
⎢
⎢
⎣C XX (t n , t1 ) C XX (tn , t1 )
C XX (t1 , t n )⎤
C XX (t2 , tn )⎥⎥
⎥
⎥
C XX (t n , t n )⎦
Proprietà fondamentali:
„
„
se un processo Gaussiano è stazionario in senso lato, allora è
anche stazionario in senso stretto
due processi gaussiani, se incorrelati, sono anche indipendenti
40
20
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Rumore bianco
„
Il rumore bianco è un processo aleatorio (cioè un
modello matematico astratto) caratterizzato da:
N
SX ( f ) = 0
e
μX = 0
2
RXX (τ )
SX ( f )
N0 2
N0 2
τ
f
Per ogni frequenza, il processo ha lo stesso contenuto di potenza
Come la luce bianca che contiene tutti i colori; per questo il rumore è
detto bianco
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
41
6 – Processi aleatori
Rumore bianco
RXX (τ) è un impulso. Quindi, presi due istanti anche vicinissimi, i valori
assunti dal processo nei due istanti sono incorrelati
Il rumore bianco non esiste nella realtà poiché risulta a potenza infinita
Esso serve come modello di un’ampia gamma di segnali, per i quali si
può assumere che non ci sia correlazione tra i valori assunti dal segnale
p
g
in tempi diversi
Tra i rumori bianchi un caso particolare è costituito dal rumore termico
dovuto all’agitazione termica degli elettroni
42
21
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Rumore termico
„
Consideriamo una R ad una certa temperatura T1
R
„
„
Ogni elettrone contribuisce a generare una tensione V
di disturbo che è dovuta alla temperatura T, il processo
che rappresenta la tensione V è di tipo gaussiano
È stato verificato che SV(f) è del tipo
SV(f)
f0 dell’ordine dei THz (Tera =1012)
f0=6.025 THz
f0
f
43
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Rumore termico
SV(f)
f0 dell’ordine dei THz (Tera =1012)
f0=6.025 THz
f0
„
„
f
La tensione che si genera dovrà interagire con l’esterno, visto che
tutti i sistemi hanno una banda che sicuramente è inferiore ai THz
Posso considerare il rumore termico come rumore bianco nel range
di frequenza di interesse
SV(f)
H(f)
f0
44
22
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Rumore termico ai capi di una resistenza
Il rumore termico di una resistenza a temperatura T
T
R è la resistenza in Ω
T è la temperatura in gradi °K
K è la costante di Boltzman K=1.37E-23 J/°K
R
è modellato con una resistenza ideale ( T =0 °K) in serie con un
generatore di tensione (processo bianco)
ne (t )
R
E{ne (t )} = 0
Rne ne (τ ) = 2 KRT δ (τ )
S ne ( f ) = 2 KRT
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
45
6 – Processi aleatori
CORRELAZIONE TRA DUE
PROCESSI ALEATORI
46
23
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Processi aleatori congiuntamente
stazionari
„
Definizione:
„
Due processi sono congiuntamente stazionari in
senso lato se:
„
„
X(t) e Y(t) sono singolarmente stazionari in senso lato
e RXY e RXY dipendono solo da τ
47
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Cross-correlazione e segnali incorrelati
„
Definizione: Cross-correlazione tra 2 segnali SSL e
congiuntamente
i t
t stazionari
t i
i
R XY (τ ) = E{X (t ) Y (t + τ )}
„
RYX (τ ) = E{Y (t ) X (t + τ )}
Definizione: X(t) e Y(t) SSL sono incorrelati se:
E{X (t ) ⋅ Y (t + τ )} = E {X (t )}⋅ E {Y (t + τ )} = μ X ⋅ μY
E{Y (t ) ⋅ X (t + τ )} = E{Y (t )}⋅ E{X (t + τ )} = μY ⋅ μ X
RXY (τ ) = RYX (τ )
Se X e Y sono SSL e congiuntamente stazionari, incorrelati e a media nulla
RXY (τ ) = RYX (τ ) = 0
Æ X e Y si dicono ortogonali
24
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Processi aleatori indipendenti e incorrelati
Notiamo che, se due processi sono incorrelati:
„
C XY (t1 , t 2 ) = E {[X (t1 ) − μ X (t1 )][X (t 2 ) − μY (t 2 )]} =
= E{X (t1 ) ⋅ Y (t 2 )}− μ X (t1 ) E{Y (t 2 )}− E{X (t1 )}μY (t 2 ) + μ X (t1 ) μY (t 2 ) =
= E{X (t1 )}⋅ E{Y (t 2 )} − μ X (t1 ) μY (t 2 ) = 0
C XY (t1 , t 2 ) = 0
49
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Caso rilevante: segnale + rumore termico
„
Consideriamo il segnale:
Z (t ) = X (t ) + Y (t )
„
RZZ (τ ) = E{[ X (t ) + Y (t )]⋅ [X (t + τ ) + Y (t + τ )]} =
= R XX (τ ) + RYY (τ ) + R XY (τ ) + RYX (τ )
Esempio: segnale + rumore termico
„
Il rumore ha valor medio nullo
RXY (τ ) = RYX (τ ) = 0
RZZ (τ ) = RXX (τ ) + RYY (τ )
La funzione di autocorrelazione di un segnale affetto da rumore
termico additivo è la somma delle funzioni di autocorrelazione del
segnale e del rumore
50
25
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Processi aleatori indipendenti e incorrelati
„
Definizione:
„
„
„
Due processi X(t) e Y(t) sono indipendenti se per ∀t1,t2, le
variabili aleatorie X(t1) e Y(t2) sono statisticamente indipendenti
Due processi X(t) e Y(t) sono incorrelati se:
„ per ∀ t1,t2 , R XY (t1 , t 2 ) = E {X (t1 )}E {Y (t 2 )} = μ X (t1 ) ⋅ μ Y (t 2 )
Notiamo che:
Indipendenti
Incorrelati
51
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
FILTRAGGIO DI PROCESSI
ALEATORI
52
26
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Filtraggio di un segnale aleatorio con
sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)
„
„
Il processo aleatorio è un modello di un segnale aleatorio
Il Σ è attraversato da una sola realizzazione
x(t,ωi)
T
y(t,ωi)
Y(t)
X(t)
x(t,ωj)
„
Y(t)=T[X(t)]
T
y(t,ωj)
Il Σ è deterministico:
X(t,ωi) = X(t, ω j) Æ Y(t, ω i) = Y(t, ω j)
53
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Notazione
„
S il Σ è LTI,
Se
LTI e h(t)
h( ) è la
l sua risposta
i
t all’impulso
ll’i
l
x(t,ωi)
„
h(t)
y(t,ωi)
Useremo la notazione:
(
)
y (t , ωi ) = xω ⊗ h (t )
(
i
)
y (t , ω j ) = xω j ⊗ h (t )
Y (t ) = ( X ⊗ h )(t )
processi aleatori !!!
54
27
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Trasmissione di processi attraverso
sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)
Noto
N
t il processo aleatorio
l t i X(t) in
i ingresso
i
all sistema
i t
e la
l trasformazione
t f
i
T
del sistema, in generale non è possibile determinare il comportamento
statistico completo del processo aleatorio in uscita Y(t)
È però possibile calcolare valor medio e funzione di autocorrelazione
„
Eccezione per i sistemi senza memoria
„
„
„
l’l’uscita
it dipende
di
d dal
d l valore
l
istantaneo
i t t
dell’ingresso
d ll’i
fissato l’istante, il processo diventa una variabile aleatoria
in questo caso è possibile calcolare: f Y ( y, t )
X(t1)
Σ
Y(t1)
Σ
v.a.
v.a.
Trasformazione
di variabili
aleatorie
55
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Valor medio e Autocorrelazione del
processo di uscita
„
Dato un processo X(t) QUALUNQUE
„
caratterizzato da valor medio e funzione di autocorrelazione:
μ X (t )
„
RXX (t1 , t 2 )
Dato un sistema Σ LTI
„
caratterizzato da una risposta all’impulso h(t):
μY (t ) = E{Y (t )} = μ X (t ) ⊗ h(t )
t1
t2
RYY (t1 , t 2 ) = E {Y (t1 )Y (t 2 )} = R XX (t1 , t 2 ) ⊗ h(t1 ) ⊗ h(t 2 )
56
28
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Valor medio e Autocorrelazione del
processo di uscita
„
Dato un p
processo X(t)
( ) stazionario in senso lato
„
caratterizzato da valor medio e funzione di autocorrelazione:
μX
„
RXX (τ )
Dato un sistema Σ LTI
„
caratterizzato da una risposta all’impulso h(t):
+∞
μY = μ X ∫ h(t )dt = μ X ⋅ H (0)
X(t) e Y(t) risultano
congiuntamente
stazionari
−∞
R XY (τ ) = R XX (τ ) ⊗ h( −τ )
RYY (τ ) = RXX (τ ) ⊗ h(τ ) ⊗ h(−τ ) = RXX (τ ) ⊗ Rhh (τ )
SY ( f ) = ℑ{RYY (τ )} = S X ( f ) H ( f )
2
57
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
6 – Processi aleatori
Filtraggio di processi aleatori Gaussiani
„
Conservazione della Gaussianità
Processo di ingresso:
Processo di ingresso:
•
Gaussiano
•
Gaussiano
•
Stazionario in senso lato (e
quindi anche in senso stretto)
•
Stazionario in senso lato (e
quindi anche in senso stretto)
Sistema:
Sistema:
•
•
Lineare Stazionario
Lineare NON Stazionario
Processo di uscita:
Processo di uscita:
•
Gaussiano
•
•
Stazionario in senso lato (e
quindi anche in senso stretto)
Gaussiano
58
29