Capitolo 9 - Librerieprofessionali.it

Capitolo 9
167
Funzioni reali
di una variabile reale
1. Funzioni
Il concetto di funzione, secondo la definizione data da Dirichlet è il seguente: si dice che una
variabile dipendente y è funzione di una variabile indipendente x, secondo la legge f, e si scrive:
y = f (x)
quando, assegnato a x un valore qualsiasi, ed effettuando su di esso le operazioni indicate dalla legge di corrispondenza f, si ottiene un unico e finito valore per la y.
La legge f può essere di natura qualsiasi e, inoltre, si dice che la y è funzione analitica della x, in quanto le due variabili sono legate da una interdipendenza espressa da operazioni analitiche.
Tali funzioni sono dette anche funzioni elementari e, in quanto tali, si distinguono dalle funzioni composte che presuppongono un complesso di operazioni che legano le due variabili.
2. Intervallo e intorno
Siano dati due numeri qualsiasi a e b con a < b, l’insieme di tutti i numeri reali compresi tra
a e b si dice:
— intervallo chiuso se, a e b sono inclusi, e spesso, lo si indica in questo modo:
[a, b]
in tale caso a e b si dicono, rispettivamente, minimo e massimo dell’intervallo;
— intervallo aperto se, a e b sono esclusi, e spesso, lo si indica in questo modo:
]a, b[
in tale caso a e b si dicono, rispettivamente, estremo sinistro e estremo destro dell’intervallo.
Sia dato un numero reale x, si dice intorno completo di x un intervallo ]a, b[ che contiene x.
Si distingue:
— l’intorno sinistro di x è l’intervallo ]a, x[ in cui x è l’estremo destro;
— l’intorno destro di x è l’intervallo ]x, b[ in cui x è l’estremo sinistro.
Capitolo 9 - Funzioni reali di una variabile reale
Le funzioni analitiche si distinguono in:
— algebriche se il legame che intercede tra le due variabili è di natura algebrica ed è rappresentato da un polinomio.
A loro volta le funzioni algebriche si distinguono in razionali e irrazionali, a seconda che
le operazioni che si effettuano sulla variabile indipendente non prevedono o prevedono
l’elevazione a potenza con esponente frazionario.
— trascendenti come le funzioni logaritmiche, esponenziali e trigonometriche.
168
3. Campo di esistenza di una funzione
è noto che, dati due insiemi A e B, per cui nella funzione:
y = f (x)
si ha che x ∈ A e y ∈ B, il sottoinsieme di A costituito dagli elementi x ∈ A per cui esiste l’immagine y = f (x) in B, si chiama campo di esistenza o insieme di definizione della funzione f.
Il campo di esistenza di una funzione analitica dipende dalle operazioni che si devono eseguire sulla variabile indipendente x per ottenere la variabile dipendente y; ovviamente tali
operazioni devono essere sempre possibili nel campo dei numeri reali.
In generale, il campo di esistenza di una:
— funzione razionale intera del tipo:
y = anxn + an-1xn-1+ … + a0
è tutto il campo R dei numeri reali.
— funzione razionale fratta del tipo:
y=
f^ x h
g^ x h
è il campo R dei numeri reali, cui si devono escludere i valori che annullano il denominatore g(x) per cui la divisione perderebbe significato.
Esempio 1
Determinare il campo di esistenza della funzione:
y = cos5x – cos2x
Si tratta di una funzione trigonometrica avente per argomento un numero reale qualsiasi, pertanto il campo di
esistenza è ]–∞, ∞[.
Esempio 2
Determinare il campo di esistenza della funzione:
y = log
3x + 6
x –1
Parte I - Teoria Libro I - Matematica
Si tratta di una funzione logaritmica, per cui l’argomento deve essere maggiore di 0, ossia deve essere:
3x + 6 > 0 & ( 3x + 6 > 0 & x > –2
x –1
x –1 > 0 & x > 1
oppure
(
3x + 6 < 0 & x < –2
x –1 < 0 & x < 1
Pertanto, il campo di esistenza della funzione considerata è ]–∞, –2[∪]1, +∞[.
4. Funzioni limitate
Una funzione y = f (x) definita in un dato intervallo [a, b] si dice ivi limitata, se, per ogni valore di x appartenente al suddetto intervallo, esiste un numero P positivo tale che:
⎟f (x)⎢ ≤ P
La funzione è:
— limitata superiormente se, nell’intervallo [a, b] esiste un punto in cui la funzione assume valore M che è non minore dei valori assunti negli altri punti;
— limitata inferiormente se, nell’intervallo [a, b] esiste un punto in cui la funzione assume
valore m che è non maggiore dei valori assunti negli altri punti.
5. Funzioni crescenti e decrescenti
169
Sia data una funzione y = f (x), considerati due punti qualsiasi x1 e x2 di un dato intervallo
[a, b], essa si dice:
— crescente se x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2);
— costante se x1 < x2 ⇒ f (x1) = f (x2);
— decrescente se x1 < x1 ⇒ f (x1) ≥ f (x2);
— strettamente crescente se x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2);
— strettamente decrescente se x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).
Si dicono monotone le funzioni crescenti, decrescenti, non decrescenti o non crescenti, ossia le funzioni che variano sempre in uno stesso verso.
6. Funzioni composte e funzioni inverse
Sia data la funzione:
y = f (z)
dove z non è variabile indipendente, ma a sua volta funzione z = g(x) della variabile indipendente x, si ha che la funzione:
y = f [g(x)]
si dice funzione composta di f e di g.
y = f (x)
essa si dice invertibile in un intervallo [a, b] chiuso se, ad ogni valore della x in [a, b], corrisponde uno e un solo valore di y in [aʹ, bʹ], dove aʹ e bʹ sono il minimo e il massimo della
funzione nell’intervallo [a, b], e viceversa ad ogni valore di y in [aʹ, bʹ] corrisponde uno e un
solo valore di x in [a, b]; la funzione è, pertanto, invertibile nell’intervallo [a, b], se è continua in [a, b] ed è sempre crescente o sempre decrescente in detto intervallo. La funzione inversa si indica in questo modo:
x = g(y) = g[f (x)]
7. Limiti di funzionI
Il punto limite o di accumulazione x0 del campo d’esistenza di una funzione, è quel punto tale
che, in ogni suo intorno, per quanto piccolo, cadono sempre infiniti punti del campo di esistenza; tale punto può anche non appartenere al campo di esistenza considerato.
Si dice che l è il limite della funzione y = f (x) per x tendente ad x0 e si scrive:
lim
f^ x h = l
x"x
0
se, scelto un numero positivo e, si può determinare, nel campo di esistenza della funzione, un intorno (x0 – δ, x0 + δ) di x0 tale che, per ogni x di tale intorno, diverso da x0, si abbia:
⎟f (x) – l⎢ < ε
In tal caso si dice anche che y = f (x) si avvicina a l mentre x si avvicina a x0.
Capitolo 9 - Funzioni realidi una variabile reale
Inoltre, sia data la funzione:
170
Una funzione y = f (x) per x tendente a x0 si dice:
— convergente se ha per limite un valore finito l;
— divergente se ha per limite l’infinito positivo o negativo;
— indeterminata se non ha limite.
Il criterio generale di convergenza di Cauchy afferma che: condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione y = f (x) ammetta limite finito per x tendente ad x0, è che per ogni numero positivo ε, piccolo a piacere, si possa trovare un intorno di x0, tale che per due suoi punti x1 e x2 distinti da x0, si abbia:
⎟f (x1) – f (x2) < ε⎢
8. Limite destro e sinistro
Spesso occorre precisare il modo di tendere della x al valore x0, infatti la x può tendere a tale
valore sia da sinistra sia da destra.
Si dice che l è il limite sinistro (destro) della funzione y = f (x) per x tendente da sinistra (destra) ad un valore x0, e si scrive, rispettivamente:
lim
f^ x h = l
x"x
–
0
lim f ^ x h = l
x " x +0
se, scelto un numero positivo e, si può determinare, nel campo di esistenza della funzione,
rispettivamente, un intorno:
(x0 – δ, x0) (x0, x0 + δ)
di tale che per ogni x appartenente a tale intorno, diverso da , si abbia:
⎟f (x) – l⎢ < ε
Per un dato intorno, il limite destro può essere diverso dal limite sinistro e, inoltre può anche esistere uno solo dei due limiti.
Parte I - Teoria Libro I - Matematica
9. Infinito
Talvolta, al tendere di x ad x0, la funzione y = f (x) aumenta o diminuisce illimitatamente, in
tal caso si dice che la funzione ha per limite l’infinito (positivo o negativo), per x tendente
ad x0, e si scrive:
lim
f^ x h = 3
x"x
0
se, scelto un numero positivo P, comunque grande, si può determinare, nel campo di esistenza della funzione, un intorno di x0 tale che per ogni x appartenente a tale intorno, diverso da x0, si abbia:
⎟f (x)⎢ > P
Al tendere di x stesso all’infinito, la funzione y = f (x) può avere per limite un numero finito l,
o può avere per limite l’infinito.
Si dice che la funzione ha per limite l per x tendente all’infinito, e si scrive:
lim
f^ x h = l
x"3
se, scelto un numero positivo ε, si può determinare un numero positivo P tale che per ogni x,
per cui si verifica:
⎟x⎢ > P
si abbia:
⎟f (x) – l⎢ < ε
171
Specificamente, se quest’ultima relazione è verificata solo per x < –P o per x > P, si dice che
esistono, rispettivamente, i seguenti limiti:
lim f ^ x h = l
lim f ^ x h = l
x " –3
x "+3
Al tendere di x all’infinito la funzione può avere per limite l’infinito; a questo punto, scelto
un numero positivo P, comunque grande, si può determinare un numero positivo N tale che:
— se per x > N si ha che f (x) < –P, oppure f (x) > P, allora si dice che esistono, rispettivamente, i seguenti limiti:
lim f ^ x h = –3
x " +3
lim f ^ x h =+3
lim f ^ x h = –3
x " –3
x "+3
— se per x < –N si ha che f (x) < –P, oppure f (x) > P, allora si dice che esistono, rispettivamente, i seguenti limiti:
lim f ^ x h =+3
x " –3
10. Teoremi sui limiti di funzioni
Il teorema si dimostra per assurdo; supponendo che la funzione abbia i due limiti l1 e l2, si
ponga:
⎟l2 – l1⎢ < d
Scelto un numero positivo ε < δ, esistono due intorni x0 di per ogni punto dei quali, escluso
x0 si avranno, per definizione di limite:
f^ x h – l 1
Sommando membro a membro:
1
f
2
e
f^ x h – l 2
⎟f (x) – l1⎢ + ⎟f (x) – l2⎢ < ε
1
f
2
Siccome il valore assoluto della differenza di due numeri è minore o uguale alla somma dei
valori assoluti dei numeri stessi, a maggior ragione, si ha:
ossia:
il che è assurdo, avendo posto:
⎟f (x) – l1 + l2 – f (x)⎢ < ε
⎟l2 – l1⎢ < ε
⎟l2 – l1⎢ = d ed ε < δ
Capitolo 9 - Funzioni realidi una variabile reale
Teorema sull’unicità del limite. Una funzione y = f (x), per x tendente x0 ad una funzione
non può avere due diversi limiti.
172
Teorema del confronto. Siano date tre funzioni f (x), g(x) e z(x), definite nello stesso camg^ x h = l .
f ^ x h = lim
z^ x h = l, si conclude che lim
po, con f (x) ≤ g(x) ≤ z(x) per ogni x ≠ x0 e se lim
x"x
x"x
x"x
0
Per definizione di limite, si ha:
ovvero:
cioè:
0
0
⎟f (x) – l⎢ < ε e ⎟z(x) – l⎢< ε
l – ε < f (x) < l + ε e l – ε < z(x) < l + ε
l – ε < f (x) ≤ z (x) < l + ε
Siccome, per definizione, si ha:
deve essere anche:
f (x) ≤ g(x) ≤ z(x)
l – ε < f (x) ≤ g(x) ≤ z(x) < l + ε
cioè:
l – ε < g(x) < l + ε
e quindi:
⎟g(x) – l⎢ < ε
11.Operazioni sui limiti di funzioni
Siano date due funzioni f (x) e g(x) definite in un intervallo comune e convergenti, con:
lim
f^ x h = l 1
x"x
0
si considerino le diverse operazioni.
e
lim
g^ x h = l 2
x"x
0
ADDIZIONE. Il limite di una somma di funzioni convergenti è uguale alla somma dei limiti delle singole funzioni, tranne il caso in cui questi limiti siano infiniti e discordi, si ha:
lim
f ^ x h + lim
g^ x h = l 1 + l 2
6 f ^ x h + g^ x h@ = lim
x"x
x"x
x"x
Parte I - Teoria Libro I - Matematica
0
0
0
SOTTRAZIONE. Il limite della differenza di funzioni convergenti è uguale alla differenza dei
limiti delle singole funzioni, si ha:
lim
f ^ x h – lim
g^ x h = l 1 – l 2
6 f ^ x h – g^ x h@ = lim
x"x
x"x
x"x
0
0
0
MOLTIPLICAZIONE. Il limite del prodotto di funzioni convergenti è uguale al prodotto dei limiti delle singole funzioni, si ha:
lim
f ^ x h $ lim
g^ x h = l 1 $ l 2
6 f ^ x h $ g^ x h@ = lim
x"x
x"x
x"x
0
0
0
Tale limite può essere:
— ∞, se una delle funzioni ha per limite ∞ e il modulo dell’altra funzione, in un dato intorno di x0, è maggiore di una quantità positiva fissa, o comunque il limite di quest’altra funzione è non nullo;
— zero, se una delle due funzioni ha per limite zero e l’altra un limite diverso da zero.
In particolare, il limite del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per il limite della funzione, ossia:
173
lim
k $ f ^ x h = k $ lim
f^ x h = k $ l 1
x"x
x"x
0
0
DIVISIONE. Il limite del rapporto di funzioni convergenti è uguale al rapporto dei limiti dei
termini, sempre che il limite del denominatore sia diverso da zero, si ha:
lim
x " x0
lim
f^ x h
l
f^ x h
x " x0
=
= 1
l2
g^ x h
g^ x h
lim
x " x0
RECIPROCO. Il limite del reciproco di una funzione è uguale al reciproco del limite (finito e
non nullo) della funzione data, si ha:
1 =
1
lim
= 1
x " x f^ xh
l1
lim
f
x
^
h
x"x
0
0
Tale limite è:
— ±∞, se la funzione tende a zero per valori positivi o negativi, rispettivamente;
— zero, se il limite della funzione f (x) è l’infinito.
POTENZA. Il limite della potenza di una funzione è uguale alla potenza del limite della funzione, si ha:
lim
f ^ x hAn
6 f ^ x h@n = 7lim
x"x
x"x
0
Tali operazioni non possono essere effettuate indistintamente, in quanto, talvolta possono
dare luogo ad una delle seguenti forme indeterminate ∞ –∞, 0 · ∞, 0 , 3 , 00, 1∞, ∞0.
0 3
12. Confronto di infinitesimi e di infiniti
Secondo il limite cui tendono, le variabili si chiamano:
— infinitesimi se hanno per limite lo zero;
— infiniti se hanno per limite l’infinito.
Può accadere che, calcolando il limite del rapporto di due funzioni f (x) e g(x), ci si trovi di
fronte al caso in cui entrambe abbiano per limite l’infinito o per limite lo zero, ossia si presenti una delle seguenti forme indeterminate:
0
0
oppure
3
3
in merito alle quali nulla si può dire sul valore del limite del rapporto, tuttavia, applicando
diversi artifici o il teorema de L’Hôspital che vedremo nel capitolo seguente è possibile calcolare il limite del rapporto in questione.
Si consideri la forma indeterminata 0 , a seconda che il limite del rapporto sia uguale a
0
zero, infinito o a una quantità fissa diversa da zero, si dice, rispettivamente, che l’infinitesimo del numeratore è di ordine superiore, inferiore, o dello stesso ordine dell’infinitesimo del
numeratore; ciò per sottolineare il fatto che f (x) è più, meno, o ugualmente veloce di g(x)
nel tendere a zero.
Capitolo 9 - Funzioni realidi una variabile reale
0
174
Considerando, invece, la forma indeterminata 3 , a seconda che il limite del rapporto sia
3
uguale a infinito, zero o a una quantità fissa diversa da zero, si dice, rispettivamente, che
l’infinito del numeratore è di ordine superiore, inferiore, o dello stesso ordine dell’infinito del
numeratore; ciò per sottolineare il fatto che f (x) è più, meno, o ugualmente veloce di g(x)
nel tendere a infinito.
13.Funzioni continue
Una funzione y = f (x) definita in un intervallo [a, b], si dice continua in un punto x0 di detto
intervallo, se il valore f (x0) che assume in x0 è il limite a cui tende la funzione per x → x0; si ha:
lim
f^ x h = f^ x 0 h
x"x
0
Se detta condizione è verificata solo in un intorno sinistro (x0 – δ, x0), o solo in un intorno
destro (x0, x0 + δ) di x0 si dice che la funzione è continua in x0 solo a sinistra o solo a destra.
Inoltre, si dice che una funzione è continua in un intervallo quando è continua in ogni punto dell’intervallo.
Considerando la figura, si dice che la funzione y = f (x) definita nell’intervallo [a, b] è continua in x0, quando ad ogni piccola variazione di x dal valore x0, corrisponde una piccola va—
riazione ED di f (x) da f (x0).
y
D
C
A
a
x0
B
E
x
b
x
Parte I - Teoria Libro I - Matematica
14.Funzioni discontinue
Una funzione y = f (x) definita in un intervallo (a, b), si dice discontinua in un punto di detto intervallo, se il valore f (x0) che assume in x0 è diverso dal limite a cui tende la funzione per
x → x0; si ha:
lim
f ^ x h ! f ^ x 0h
x"x
0
In tal caso, si dice che la funzione presenta x0 in un punto di discontinuità, o punto singolare.
I punti di discontinuità si classificano in tre specie:
I. Punti di discontinuità di prima specie
Si dice che nel punto x0 la funzione y = f (x) ha una discontinuità di prima specie se in tale
punto esistono finiti il limite destro e quello sinistro e sono diversi tra loro; la differenza tra
i due limiti si dice salto della funzione.
II. Punti di discontinuità di seconda specie
Si dice che nel punto x0 la funzione y = f (x) ha una discontinuità di seconda specie se in tale
punto uno almeno dei due limiti destro e sinistro non esiste, oppure uno almeno dei due limiti destro e sinistro è l’infinito.
175
III.Punti di discontinuità eliminabile o di terza specie
Si dice che nel punto x0 la funzione y = f (x) ha una discontinuità di terza specie se in tale punto esiste ed è finito il limite della funzione per x → x0, ma è diverso dal valore f (x0) che può
anche non esistere.
In questo caso, si dice che la discontinuità è eliminabile, in quanto si assume come valore
f^ x h.
della funzione x0 in il valore del limite per x → x0, si pone, cioè, f ^ x 0 h = lim
x"x
senx
L’esempio classico di discontinuità di terza specie è dato dalla funzione y = x ; il valore
della funzione, nel punto x = 0, non esiste, in quanto assume il valore indeterminato 0 , pur
0
ammettendo per x tendente a 0, limite 1.
0
Nelle figure seguenti sono indicati due diversi tipi di funzioni che presentano, rispettivamente, discontinuità di prima e seconda specie.
y
y
y=
y=[x]
1
x
-3 -2 -1
0
0
1 2 3 4
La prima è la funzione y = [x], definita dalla legge:
y=
{
x, se x è un numero intero
all’intero precedente la x, se x non è intero
La funzione ha discontinuità di prima specie in tutti i punti aventi per ascissa un numero intero, in cui il salto è uguale a 1.
La seconda è la funzione y = 1 , che presenta una discontinuità di seconda specie nel punto
x
avente per ascissa 0, infatti:
1 = –3
lim
x"0 x
–
e
lim 1 =+3
x"0 x
+
15. Teoremi sulle funzioni continue
I. Teorema. La somma, la differenza, o il prodotto di più funzioni continue in un punto x0
sono funzioni continue.
II. Teorema delle Funzioni Elementari. Tutte le funzioni elementari, e cioè le funzioni
razionali e irrazionali, le logaritmiche, sono continue in tutti i punti del campo di esistenza in cui sono definite.
Capitolo 9 - Funzioni realidi una variabile reale
1
2
3
176
III. Teorema della Permanenza del Segno. Se una funzione f (x) è continua in x0 ed è f (x0) ≠ 0,
in un intorno convenientemente piccolo di x0 la funzione conserva il segno di f (x0).
IV.Teorema di Weiestrass. Se una funzione f(x) è continua in un intervallo [a, b], estremi
inclusi, ammette in esso un massimo e un minimo.
V. Teorema dell’Esistenza degli Zeri. Se una funzione f (x) è continua in un intervallo
[a, b], estremi inclusi, e negli estremi a e b assume valori di segno opposto, esiste almeno
un punto interno ad [a, b] in cui la funzione si annulla.
VI.Teorema di Bolzano. Se una funzione f (x) è continua in un intervallo [a, b], estremi inclusi, assume in esso ogni valore compreso tra il suo massimo e il suo minimo.
Ci limitiamo a citare, ora, la seguente proprietà:
Parte I - Teoria Libro I - Matematica
Proprietà. se una funzione f (x) è continua in un intervallo [a, b], estremi inclusi, è in esso limitata.