Linee di trasmissione - Università degli studi di Pavia

Facoltà di Ingegneria
Università degli studi di Pavia
Corso di Laurea Triennale in
Ingegneria Elettronica e Informatica
Campi Elettromagnetici e Circuiti I
Linee di trasmissione
Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16
Prof. Luca Perregrini
Linee di trasmissione, pag. 1
Sommario
•
•
•
•
•
•
•
•
Introduzione
Equazione dei telegrafisti
Tipi di linee di trasmissione e loro caratteristiche
Coefficiente di riflessione, impedenza e
ammettenza d’onda e loro relazioni
Potenza trasmessa, incidente e riflessa
Linea senza perdite e diagramma d’onda
stazionaria
Casi particolari: linea adattata, linea in corto
circuito, linea a vuoto, linea l/2, linea l/4
Carta di Smith
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Linee di trasmissione, pag. 2
Introduzione
Finora i fili presenti nei circuiti elettrici sono sempre stati considerati
come elementi ininfluenti nel calcolo di tensioni e correnti. Il loro
scopo era solo quello di indicare le interconnessioni topologiche fra i
vari elementi circuitali.
Questa ipotesi è valida rigorosamente solo se il circuito opera in
regime stazionario e se i fili sono realizzati con conduttori ideali
(resistività r = 0) e il materiale che li separa è un dielettrico perfetto
(conducibilità s = 0).
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Introduzione
Nell’ipotesi che il circuito sia in regime stazionario, la resistività r ≠ 0
dei materiali che costituiscono i fili determina cadute di tensione tra
l’ingresso e l’uscita.
filo di collegamento di sezione A
generatore I1
Rfilo = rd/A
+
V1
–
I2
carico
+
V2
–
d
Esempio:
Conduttori di rame r = 20 nW/m, di sezione A = 1 mm2, lunghezza della linea d = 50 m,
corrente in ingresso I1 = 1 A, tensione all’ingresso V1 = 100 V.
Si ha Rfilo = rd/A = 1 W, caduta di tensione sul filo = Rfilo I1 = 1 V, V2 = 99V
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Linee di trasmissione, pag. 4
Introduzione
Nell’ipotesi che il circuito sia in regime stazionario, la conducibilità
s ≠ 0 del materiale che li separa determina una dispersione di
corrente tra l’ingresso e l’uscita.
filo di collegamento di sezione A
generatore I1
+
V1
–
I2
Gisolante
carico
+
V2
–
d
Esempio:
Conduttanza equivalente dell’isolante Gisolante = 0.1 mS, lunghezza della linea d = 50 m,
corrente in ingresso I1 = 1 A, tensione sulla linea V2  V1 = 100 V.
Si ha I2 = I1  Gisolante V1 = 0.99 A
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Introduzione
Nell’ipotesi che il circuito sia in regime non stazionario, anche
considerando conduttori ideali e dielettrici perfetti, a causa dei campi
elettrici e magnetici variabili vi sono effetti di tipo induttivo e
capacitivo lungo i fili.
generatore I1
I2
+
V1
–
carico
+
V2
–
d
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Introduzione
generatore
carico
linea di trasmissione
Se la frequenza massima di lavoro non è troppo elevata, lo studio delle variazioni di
tensione e corrente lungo le linee di collegamento può essere condotto nell’ipotesi
che il campo elettrico e quello magnetico su ogni sezione abbiano la stessa forma
dei campi stazionari. In questo caso, è possibile studiare il fenomeno con la
cosiddetta “teoria elementare delle linee di trasmissione” che si basa sui concetti
circuitali introdotti finora.
Una trattazione più rigorosa, che verrà svolta nei successivi corsi di campi
elettromagnetici, permetterà di meglio capire i limiti di questa teoria e di ottenere la
soluzione esatta del problema.
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Equazione dei telegrafisti
z z+dz
generatore
carico
linea di trasmissione
Rdz Ldz
Gdz
R = resistenza per unità di lunghezza [W/m]
L = induttanza per unità di lunghezza [H/m]
Cdz G = conduttanza per unità di lunghezza [S/m]
C = capacità per unità di lunghezza [F/m]
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Equazione dei telegrafisti
generatore
carico
linea di trasmissione
Una linea di trasmissione può essere considerata come una cascata
di infiniti circuiti di lunghezza infinitesima dz, ciascuno costituito da
una resistenza in serie a un’induttanza e da un elemento conduttivo
in parallelo ad uno capacitivo.
generatore
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carico
dz
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Equazione dei telegrafisti
I(z) Rdz Ldz
+
V(z)
–
Gdz
I(z+dz)
+
Cdz V(z+dz)
–
I ( z )  I ( z  dz )  (Gdz  jCdz )V ( z  dz )
V ( z )  V ( z  dz )  ( Rdz  jLdz )I ( z )
I ( z  dz )  I ( z )
 lim   (G  jC )V ( z  dz ) 
lim
dz 0
dz 0
dz
V ( z  dz )  V ( z )
lim
 lim   ( R  jL)I ( z ) 
dz 0
dz 0
dz
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Equazione dei telegrafisti
dI ( z )
 (G  jC )V ( z )
dz
dV ( z )
 ( R  jL)I ( z )
dz
Queste due equazioni sono dette
equazioni dei telegrafisti.
Esse mostrano come la tensione e la
corrente lungo una linea possa
cambiare a causa delle sue non idealità
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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti
dV ( z )
 ( R  jL)I ( z )
dz
dI ( z )
 (G  jC )V ( z )
dz
Derivando la prima equazione rispetto a z e sostituendo si ottiene:
d 2V( z)
dI ( z )
  ( R  j L )
 ( R  jL)(G  jC )V ( z )
2
dz
dz
Introducendo la quantità complessa
k 2  (   j ) 2  ( R  jL)(G  jC )
si può scrivere:
d 2V( z)
2

k
V( z)  0
2
dz
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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti
La soluzione dell’equazione
d 2V( z)
2

(


j

)
V( z)  0
2
dz
è del tipo
V ( z )  V0 e  j (   j ) z  V0 e j (   j ) z
 V0 e (  j ) z  V0 e (  j ) z

0

0 sono
Dove V e V
costanti arbitrarie che, come vedremo, si possono
calcolare una volta che siano note le caratteristiche del carico e del
generatore collegati alla linea.
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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti
V0 e  (  j ) z
V0 e (  j ) z
Quale fenomeno fisico descrivono queste funzioni fasoriali?
Passando al dominio del tempo si ha:


0
v (t ) | V | e
z

0
cos(ωt  βz  arg V )
v  (t ) | V0 | ez cos(ωt  βz  arg V0 )
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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti


0
v (t ) | V | e
z

0
cos(ωt  βz  arg V )
v  (t ) | V0 | ez cos(ωt  βz  arg V0 )
Sono funzioni periodiche di periodo T=2p/ rispetto al tempo, ma
sono anche periodiche di periodo l=2p/ rispetto alla variabile
spaziale z.
Pertanto si può scrivere:
t
z

v (t ) | V | e cos(2p  2p  arg V0 )
T
l
t
z


z
v (t ) | V0 | e cos(2p  2p  arg V0 )
T
l

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
0
z
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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti


0
v (t ) | V | e
z
t
z

cos(2p  2p  arg V0 )
T
l
Plot animato
z
linea di trasmissione
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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti


0
v (t ) | V | e
z
t
z

cos(2p  2p  arg V0 )
T
l
La funzione v+(t) è quindi un’onda che si propaga lungo la linea
nel verso positivo dell’asse z e che si attenua esponenzialmente.
Le costanti che appaiono nell’espressione di v+(t) prendono i
seguenti nomi:
 = costante di attenuazione [1/m]
 = costante di fase [rad/m]
l = lunghezza d’onda [m]
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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti


0
v (t ) | V | e
z
t
z

cos(2p  2p  arg V0 )
T
l
Con quale velocità si muovono le creste dell’onda?
Se un osservatore è nell’origine (z=0) all’istante t=0 e si muove nella direzione
z con velocità v=z/t, esso avrà la stessa velocità dell’onda se per lui
l’argomento della funzione coseno rimane costante:
t
z
2p  2p  arg V0  costante
T
l
t
vt
2p  2p  0
T
l
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
(z, t )
l
2p

v   lf 
f 
T


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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti
t
z

v (t ) | V | e cos(2p  2p  arg V0 )
T
l


0
z
Plot animato
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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti
t
z

v (t ) | V | e cos(2p  2p  arg V0 )
T
l


0
z
La funzione v(t) è quindi un’onda che si propaga lungo la linea
nel verso negativo dell’asse z e che si attenua esponenzialmente.
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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti
Solitamente l’attenuazione lungo la linea è abbastanza piccola
rispetto alla costante di fase (<<) e si può quindi scrivere:
k 2  (   j ) 2   2  j 2   2   2  j 2
Ricordando che:
k 2  ( R  jL)(G  jC )   RG   2 LC  j ( RC  GL)
si ottiene:
 2   2 LC  RG


2   ( RC  GL)

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   2 LC  RG


 ( RC  GL)
 
2
2  LC  RG

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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti
Normalmente, anche a frequenze relativamente basse, è ben
verificata l’ipotesi R << L e G << C.
Ad esempio, valori tipici per una linea possono essere R = 0.02 W/m, G = 0.01 mS/m,
C = 0.1 nF/m e L = 0.25 mH/m. Assumendo  = 1 Mrad/s si ha R  L/10 e
G  C/10.
Si può quindi scrivere:
2
   LC  RG   LC
 ( RC  GL)
RC  GL


2 LC
2  2 LC  RG
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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti
Sostituendo l’espressione
V ( z )  V0 e  (  j ) z  V0 e (  j ) z
nell’equazione
dV ( z )
 ( R  jL)I ( z )
dz
si ottiene
  j  (  j ) z   j  (  j ) z
I( z ) 
V0 e

V0 e
R  jL
R  jL
V0 (  j ) z V0 (  j ) z

e

e
Z0
Z0
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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti
La quantità
R  jL
R  jL
Z0 

RC  GL
  j
 j LC
2 LC
è detta impedenza caratteristica della linea di trasmissione.
Nell’ipotesi R << L e G << C si ha
L
Z0 
C
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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti
Cosa non è l’impedenza caratteristica?
Z0
Z0
ZL
ZL
Z0
ZL
L’impedenza caratteristica non è un carico equivalente che può
essere sostituito all’interno del circuito al posto della linea!
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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti
Riassumendo:
dI ( z )
 (G  jC )V ( z )
dz
dV ( z )
 ( R  jL)I ( z )
dz
V ( z )  V0 e  (  j ) z  V0 e (  j ) z
V0 (  j ) z V0 (  j ) z
I( z ) 
e

e
Z0
Z0
dove:
L
Z0 
C
   LC
RC  GL R / Z 0  GZ 0


2
2 LC
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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti
L’andamento generale di tensioni e correnti sulla linea è quindi:
V ( z )  V0 e  (  j ) z  V0 e (  j ) z
V0 (  j ) z V0 (  j ) z
I( z ) 
e

e
Z0
Z0
che nel dominio del tempo risulta:
v(t ) | V0 | e z cos(ωt  βz  arg V0 ) | V0 | ez cos(ωt  βz  arg V0 )
V0 z
V0
V0 z
V0
i (t ) 
e cos(ωt  βz  arg
)
e cos(ωt  βz  arg
)
Z0
Z0
Z0
Z0
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Soluzione dell’equazione dei telegrafisti
Graficamente l’andamento di tensioni e correnti sulla linea risulta:
Plot animato
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Tipi di linee: linea bifilare
r
D
er e0
mr m0
r
campo elettrico
campo magnetico
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Tipi di linee: linea bifilare
1
C  pe 0e r
D
ln
r
m0 mr D
L
ln
p
r
r
D
er e0
mr m0
r
Per  sufficientemente grande (R << L, G << C):
L 1
Z0 

C p
dove
m0 m r D 0
ln 
e 0e r
r p
mr D
ln
er
r
 0  m0 / e 0  120p W  377 W
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Tipi di linee: linea bifilare
1
C  pe 0e r
D
ln
r
m0 mr D
L
ln
p
r
r
D
er e0
mr m0
r
Solitamente si ha mr = 1:
0
Z0 
p
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mr D
0
D
ln 
ln
er
r p er
r
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Tipi di linee: filo su piano di massa
r
D/2
er e0
mr m0
campo elettrico
campo magnetico
piano di massa
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Tipi di linee: filo su piano di massa
1
C  pe 0e r
D
ln
r
m0 mr D
L
ln
p
r
r
D/2
er e0
mr m0
Per  sufficientemente grande (R << L, G << C), e assumendo mr = 1 si ha:
L
0
D
Z0 

ln
C p er
r
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Linee di trasmissione, pag. 33
Tipi di linee: cavo coassiale
De Di
er e0
mr m0
campo elettrico
campo magnetico
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Tipi di linee: cavo coassiale
1
C  2pe 0e r
De
ln
Di
De Di
er e0
m0 m r De
L
ln
2p
Di
mr m0
Per  sufficientemente grande (R << L, G << C), e assumendo mr = 1 si ha:
L
0
De
Z0 

ln
C 2p e r
Di
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Tipi di linee: cavo coassiale
I(z)
De Di
+
V(z)

z
V ( z)
E( R , z )  u R
R ln( De / Di )
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I ( z)
H ( R, z )  u 
2pR
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Tipi di linee: cavo coassiale
Attenuazione
d = outside diameter of inner
conductor in mm
D = inside diameter of outer
conductor in mm
er = relative dielectric constant
f=
frequency in GHz
rrd = inner conductor material
resistivity relative to copper
rrD = outer conductor material
resistivity relative to copper
d = loss angle
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Tipi di linee: cavo coassiale
Attenuazione: esempio pratico
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Tipi di linee: cavo coassiale
Perché 50W di impedenza caratteristica?
Standardizzato intorno al 1930, rappresenta un buon compromesso tra perdite e potenza massima
trasmissibile (per cavo in aria): è una via di mezzo tra la media aritmetica (53.3 W) e quella
geometrica (48 W) tra 30 W (massima potenza) e 77 W (perdite minime)
Cavo in aria, diametro conduttore esterno 10 mm, f = 10 GHz.
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Linee di trasmissione, pag. 39
Tipi di linee: cavo coassiale
Perché 75W di impedenza caratteristica?
Per uso commerciale (bassa potenza), l’impedenza caratteristica standard è tipicamente 75 W.
Sembrerebbe naturale poiché abbiamo visto che un’impedenza di 77 W minimizza le perdite. Ma non
è così! Se il cavo non è in aria, il valore di Z0 che minimizza le perdite cambia con er e, nel caso tipico
di er  1.5, il valore ottimo sarebbe intorno ai 60 W.
Allora perché 75 W?
Il conduttore centrale di cavi a basso
costo è spesso realizzato in acciaio e
ricoperto in rame. Poiché impedenze
caratteristiche
basse
richiedono
conduttori interni di sezione maggiore,
la scelta dei 75 W è probabilmente stata
un buon compromesso fra basse
perdite e flessibilità del cavo.
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Tipi di linee: cavo coassiale
Come scegliere?
I parametri da considerare sono molteplici:
MisureElettromagnetici
a Microonde e Circuiti I  a.a. 2015/16
Campi
Prof.Luca
LucaPerregrini
Perregrini
Prof.
coassiali, pag.
4141
Linee Cavi
di trasmissione,
pag.
Tipi di linee: cavo coassiale
Esempio di struttura reale
MisureElettromagnetici
a Microonde e Circuiti I  a.a. 2015/16
Campi
Prof.Luca
LucaPerregrini
Perregrini
Prof.
coassiali, pag.
4242
Linee Cavi
di trasmissione,
pag.
Tipi di linee: cavo coassiale
Esempio di struttura reale
MisureElettromagnetici
a Microonde e Circuiti I  a.a. 2015/16
Campi
Prof.Luca
LucaPerregrini
Perregrini
Prof.
coassiali, pag.
4343
Linee Cavi
di trasmissione,
pag.
Tipi di linee: cavo coassiale
Esempio di struttura reale
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Linee di trasmissione, pag. 44
Tipi di linee: linea bifilare schermata
d
D
2h
er e0
mr m0
d
campo elettrico
campo magnetico
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Linee di trasmissione, pag. 45
Tipi di linee: linea bifilare schermata
1
C  pe 0e r
2h( D 2  h 2 )
ln
d (D2  h2 )
d
D
2h
er e0
mr m0
m 0 m r 2h ( D 2  h 2 )
L
ln
p
d (D2  h2 )
d
Per  sufficientemente grande (R << L, G << C), e assumendo mr = 1 si ha:
L
0
2h( D 2  h 2 )
Z0 

ln
C p er
d (D2  h2 )
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Linee di trasmissione, pag. 46
Tipi di linee: linea a striscia (stripline)
piani di massa
er e0
mr m0
Per  sufficientemente grande (R << L, G << C), e assumendo mr = 1 si ha:
Z0 
dove
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Linee di trasmissione, pag. 47
Tipi di linee: microstriscia
w
h
er e0
mr m0
campo elettrico
piano di massa
Per  sufficientemente grande (R << L, G << C), e assumendo mr = 1 si ha:
Z0 
dove
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Linee di trasmissione, pag. 48
Coefficiente di riflessione
Z0, , 
d
(z)
ZL
L=(0)
z
0
Il rapporto fra la tensione dell’onda riflessa (che si propaga nel verso negativo di z)
e la tensione dell’onda incidente (che si propaga nel verso positivo di z) si definisce
coefficiente di riflessione :
V ( z )  V0 e  (  j ) z  V0 e (  j ) z  V  ( z )  V  ( z )

 (  j ) z
0
  (  j ) z
0
V ( z) V e
( z )  

V ( z) V e
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
0

0
V 2(  j ) z

e
 (0)e 2 (  j ) z
V
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Linee di trasmissione, pag. 49
Impedenza d’onda
Z0, , 
Z(z)
d
ZL
ZL=Z(z)
0
z
Il rapporto fra la tensione e la corrente in ogni sezione z viene detto impedenza
d’onda:
V0 (  j ) z V0 (  j ) z
I( z ) 
e

e
Z0
Z0
V ( z )  V0 e (  j ) z  V0 e (  j ) z
  (  j ) z
0
 (  j ) z
0
V( z)
V e
Z ( z) 
 Z0
I( z)
V e
 (  j ) z
0
 (  j ) z
0
V e
V e

0

0
 2 (  j ) z
0
 2 (  j ) z
0
1  V /V e
 Z0
1  V /V e
2 (  j ) z
1  (0)e
1  ( z )
 Z0
 Z0
2 (  j ) z
1  (0)e
1  ( z )
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Linee di trasmissione, pag. 50
Ammettenza d’onda
Z0, , 
d
ZL
Y(z)
YL=Y(z)
0
z
Il rapporto fra la corrente e la tensione in ogni sezione z viene detto ammettenza
d’onda:
V ( z )  V0 e (  j ) z  V0 e (  j ) z
V0 (  j ) z V0 (  j ) z
I( z ) 
e

e
Z0
Z0

0

0
 2 (  j ) z
0
 2 (  j ) z
0
I( z )
1
1 1  V /V e
Y ( z) 


V ( z ) Z ( z ) Z 0 1  V /V e
1 1  (0)e 2(  j ) z
1  ( z )

 Y0
2 (  j ) z
Z 0 1  (0)e
1  ( z )
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Linee di trasmissione, pag. 51
Relazioni fra , Z e Y su una sezione z
V  ( z ) V0 e (  j ) z V0 2(  j ) z
( z )  
  (  j ) z   e
 (0)e 2 (  j ) z
V ( z ) V0 e
V0
1  ( z )
Z ( z)  Z0
1  ( z )
1  ( z )
Y ( z )  Y0
1  ( z )
Z ( z)  Z0
Y ( z )  Y0
( z ) 

Z ( z)  Z0
Y ( z )  Y0
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Linee di trasmissione, pag. 52
Relazioni fra  su diverse sezioni
d
Z0, , 
(zd) zd
ZL
(z)
z
0
z
 (  j ) z  (  j ) d
V
e
V (z  d )
0e
( z  d )  
  (  j ) z  (  j ) d
V ( z  d ) V0 e
e

 ( z )e  2 (  j ) d  ( z )e  2d e  j 4pd / l
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Linee di trasmissione, pag. 53
Relazioni fra  su diverse sezioni
1.0
Im[]
Esempio:
a = 0.1 m1
l=1m
 ( z  d )   ( z )e
0.5
e
 j 4pd / l
(z2l) = 0.27+j0.09
(zl/2) = 0.667+j0.222
(z) = 0.9+j0.3
0.5
1.0
2d
0.5
1.0
Re[]
0.5
1.0
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Linee di trasmissione, pag. 54
Relazioni fra impedenze su diverse sezioni
d
Z0, , 
Z(zd) zd
ZL
Z(z)
z
0
z
1  ( z  d )
1  ( z )e 2 (  j ) d
Z (z  d )  Z0
 Z0
1  ( z  d )
1  ( z )e  2(  j ) d
Z ( z )  Z 0  2(  j ) d
1
e
Z ( z)  Z 0
Z ( z )  Z 0 tanh (  j )d
 Z0
 Z0
Z ( z )  Z 0  2(  j ) d
Z

Z
(
z
)
tanh
(


j

)
d
0
1
e
Z ( z)  Z 0
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Linee di trasmissione, pag. 55
Relazioni fra ammettenze su diverse sezioni
d
Z0, , 
Y(zd) zd
ZL
Y(z)
z
0
z
1  ( z  d )
1  ( z )e 2(  j ) d
Y ( z  d )  Y0
 Y0
1  ( z  d )
1  ( z )e  2(  j ) d
Y ( z )  Y0  2 (  j ) d
1
e
Y ( z )  Y0
Y ( z )  Y0 tanh (  j )d
 Y0
 Y0
Y ( z )  Y0  2 (  j ) d
Y

Y
(
z
)
tanh
(


j

)
d
0
1
e
Y ( z )  Y0
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Linee di trasmissione, pag. 56
Relazioni ingresso/uscita per , Z, Y
d
Z0, , 
ZL
L, ZL, YL 0
I, ZI, YI
z
I  L e 2(  j ) d  L e 2d e  j 4pd / l
Z L  Z 0 tanh (  j )d
Z I  Z0
Z 0  Z L tanh (  j )d
YL  Y0 tanh (  j )d
YI  Y0
Y0  YL tanh (  j )d
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Linee di trasmissione, pag. 57
Potenza lungo la linea
Z0, , 
(z), Z(z), Y(z)
  (  j ) z
0
V( z)  V e
ZL
z
0
z
V0 (  j ) z
I( z ) 
e
1  ( z ) 
Z0
1  ( z ) 
La potenza attiva che attraversa nel verso positivo una qualunque sezione z è data
da:
2
*
V0
 V ( z )I ( z ) 
 
P( z )  Re
e  2z Re 1  ( z )  * ( z )  ( z )* ( z )
 

2
2
Z


0
2
 j 2 Im(  ( z ))
( z )

 2
0
V
2Z 0
e
 2z

1  ( z)   P ( z)1  ( z) 
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2
2
inc
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Linee di trasmissione, pag. 58
Potenza lungo la linea
Z0, , 
ZL
(z), Z(z), Y(z)
z
z
0
 V ( z )I * ( z ) 
2
  Pinc ( z ) 1  ( z )  Pinc ( z )  Prifl ( z )
P( z )  Re
2



Pinc ( z ) 
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 2
0
V
2Z 0
e
 2z

Prifl ( z ) 
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 2
0
V
2Z 0
e 2z
Linee di trasmissione, pag. 59
Potenza lungo la linea
Pinc ( z )
Pinc ( z  d )
Z0, , 
z
z+d
0
z
L’attenuazione in decibel tra le sezioni z e z+d risulta:
2d
Pinc ( z )
e 2z
ln
e

2d
10 log10
 10 log10 2 ( z  d )  10 log10 e  10
 10
d  8
.
68
d
Pinc ( z  d )
e
ln 10
ln 10
 dB
dB = 8.68 
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Linee di trasmissione, pag. 60
Casi particolari: linea senza perdite
d
=0
Z0, 
ZL
L, ZL, YL 0
I, ZI, YI
I  L e 2 (  j ) d  L e  j 4pd / l

z
I  L
Z L  Z 0 tanh (  j )d
Z L  jZ 0 tan d
Z I  Z0
 Z0
Z 0  Z L tanh (  j )d
Z 0  jZ L tan d
YL  Y0 tanh (  j )d
YL  jY0 tan d
YI  Y0
 Y0
Y0  YL tanh (  j )d
Y0  jYL tan d
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Linee di trasmissione, pag. 61
Diagramma d’onda stazionaria
| V ( z ) || V0 e  jz (1  L e  j 4pz / l ) || V0 | | 1  L e  j 4pz / l |

V0  jz
|
V
 j 4pz / l
0 |
| I( z ) |
e (1  L e
)
| 1  L e  j 4pz / l |
Z0
Z0
Al variare di z, le ampiezze della tensione e della corrente variano fra
due estremi:
Vmin | V ( z ) | Vmax
I min | I ( z ) | I max
dove:
Vmin | V0 | (1 | L |)
Vmax | V0 | (1 | L |)
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I min
| V0 |

(1 | L |)
Z0
I max
| V0 |

(1 | L |)
Z0
Linee di trasmissione, pag. 62
Diagramma d’onda stazionaria
| V ( z ) || V0 e  jz (1  L e  j 4pz / l ) || V0 | | 1  L e  j 4pz / l |

V0  jz
|
V
 j 4pz / l
0 |
| I( z ) |
e (1  L e
)
| 1  L e  j 4pz / l |
Z0
Z0
L  0.1  j 0.2
 reale positivo
1.4
1 | L |
1.2
1.0
0.8
1 | L |
0.6
| 1  L e  j 4pz / l |
| 1  L e  j 4pz / l |
1.4
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 reale negativo
0.4
l/4
0.2
l/2
1.2
1.0
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0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
z
Linee di trasmissione, pag. 63
Diagramma d’onda stazionaria
Si definisce rapporto d’onda stazionaria la quantità
Vmax I max 1 |  | 1 | L |
ROS 



Vmin I min 1 |  | 1 | L |
E’ evidente che
1  ROS  
Si ha:
ROS  1
|  || L |
ROS  1
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Linee di trasmissione, pag. 64
Diagramma d’onda stazionaria
1  ( z )
Ricordando che Z ( z )  Z 0
1  ( z )
ROS  1
|  || L |
ROS  1
L  0.1  j 0.2
 = ||, Z(z) = Zmax = Z0 ROS
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
| 1  L e  j 4pz / l |
 = ||, Z(z) = Zmin = Z0/ROS
| 1  L e  j 4pz / l |
1.4
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0.4
0.2
1.2
1.0
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0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
z
Linee di trasmissione, pag. 65
Casi particolari: linea senza perdite
Poiché la linea è senza perdite la potenza che giunge al carico
coincide con quella d’ingresso:
P( z )  PI  PL 
 2
0
V
2Z 0
1  ( z) 
2
Tenendo conto delle relazioni
1 | L |
ROS 
1 | L |
Vmax
Z 0 I max
| V |

1 | L | 1 | L |

0
si ottiene
2
2
Vmax
Z 0 I max
P( z )  PI  PL 

2 Z 0 ROS 2 ROS
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Linee di trasmissione, pag. 66
Casi particolari: linea adattata
d
ZL = Z0
YL = Y0
Z0, , 
L, ZL, YL 0
I, ZI, YI
L  0
ZL

I  L e 2(  j ) d  0
Z L  Z 0 tanh (  j )d
Z I  Z0
Z 0  Z L tanh (  j )d

Z I  Z0
YL  Y0 tanh (  j )d
YI  Y0
Y0  YL tanh (  j )d

YI  Y0
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z
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Linee di trasmissione, pag. 67
Casi particolari: linea adattata
Poiché non vi è riflessione sul carico ((z) = L = 0) si ha:

P( z )  Pinc ( z ) 1  ( z )
2
 P
inc ( z ) 
 2
0
V
2Z 0
e  2z
quindi
PL  PI e 2d
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Linee di trasmissione, pag. 68
Casi particolari: linea in corto circuito
d
ZL = 0
YL = ∞
Z0, , 
L, ZL, YL 0
I, ZI, YI
Z L  Z0
L 
 1
Z L  Z0

z
I  L e  2(  j ) d  e  2d e  j 4pd / l
Z L  Z 0 tanh (  j )d
Z I  Z0
 Z 0 tanh (  j )d
Z 0  Z L tanh (  j )d
YL  Y0 tanh (  j )d
1
YI  Y0
 Y0
Y0  YL tanh (  j )d
tanh (  j )d
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Linee di trasmissione, pag. 69
Casi particolari: linea in corto circuito
[W]
400
corto circuito
200
0.5
1.0
1.5
2.0 d/l
200
400
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circuito aperto
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Z 0sinh 2d
cosh 2d  cos 4pd / l
jZ 0sin 4pd / l
X  Im( Z I ) 
cosh 2d  cos 4pd / l
R  Re( Z I ) 
Linee di trasmissione, pag. 70
Casi particolari: linea in corto circuito
L  1
I  e  j 4pd / l

2p
d
Z I  jZ 0 tand  jZ 0 tan
d  jZ 0 tan
l
v
2pd
VI  V e
V e
 2 jV sin
l
V0  j 2pd / l V0 j 2pd / l
V0
2pd
II 
e

e
2
cos
Z0
Z0
Z0
l
  j 2pd / l
0
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
0
j 2pd / l
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
0
Linee di trasmissione, pag. 71
Casi particolari: linea in corto circuito
2pd
| VI | 2 | V || sin
|
l
| V0 |
2pd
| I I | 2
| cos
|
Z0
l

0
ROS=∞
2.0
1.5
1.0
2pd
2 | sin
|
l
2pd
2 | cos
|
l
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0.5
1.4
1.2
1.0
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0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
Linee di trasmissione, pag. 72
Casi particolari: linea a vuoto
d
ZL = ∞
YL = 0
Z0, , 
L, ZL, YL 0
I, ZI, YI
YL  Y0
L  
1
YL  Y0

z
I  L e  2(  j ) d  e  2d e  j 4pd / l
Z L  Z 0 tanh (  j )d
Z0
Z I  Z0

Z 0  Z L tanh (  j )d tanh (  j )d
YL  Y0 tanh (  j )d
YI  Y0
 Y0 tanh (  j )d
Y0  YL tanh (  j )d
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Linee di trasmissione, pag. 73
Casi particolari: linea a vuoto
L  1

I  e  j 4pd / l
2p
d
YI  jY0 tand  jY0 tan
d  jY0 tan
l
v
2pd
VI  V e
V e
 2V cos
l
V0  j 2pd / l V0 j 2pd / l
V0
2pd
II 
e

e
 2 j
sin
Z0
Z0
Z0
l
  j 2pd / l
0
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
0
j 2pd / l
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
0
Linee di trasmissione, pag. 74
Casi particolari: linea l/2 senza perdite
d
d = l/2,  = 0
d = p , d = 0
Z0, , 
ZL
L, ZL, YL 0
I, ZI, YI
I  L e 2(  j ) d  L e 2d e  j 4pd / l  L
z
tanh jp  0
Z L  Z 0 tanh (  j )d
Z L  Z 0 tanh jp
Z I  Z0
 Z0
 ZL
Z 0  Z L tanh (  j )d
Z 0  Z L tanh jp
YL  Y0 tanh (  j )d
YI  Y0
 YL
Y0  YL tanh (  j )d
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Linee di trasmissione, pag. 75
Casi particolari: linea l/2 senza perdite
Poiché:
VL  V0  V0
VI  V0 e jp  V0 e  jp  (V0  V0 )
V0 V0
IL 

Z0 Z0
 V0 V0 
V0 jp V0  jp

II 
e 
e  

Z0
Z0
 Z0 Z0 
si ha:
VL   VI
I L  I I
indipendentemente dal valore del carico
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Linee di trasmissione, pag. 76
Casi particolari: linea l/4 senza perdite
d
d = l/4,  = 0
d = p/2, d = 0
Z0, , 
ZL
L, ZL, YL 0
I, ZI, YI
I  L e 2(  j ) d  L e 2d e  j 4pd / l  L
z
tanh jp  
Z L  Z 0 tanh (  j )d
Z L  Z 0 tanh jp / 2 Z 02
Z I  Z0
 Z0

Z 0  Z L tanh (  j )d
Z 0  Z L tanh jp / 2 Z L
YL  Y0 tanh (  j )d Y02
YI  Y0

Y0  YL tanh (  j )d YL
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Linee di trasmissione, pag. 77
Casi particolari: linea l/4 senza perdite
Poiché:
VL  V0  V0
VI  V0 e jp / 2  V0 e  jp / 2  j (V0  V0 )
V0 V0
IL 

Z0 Z0
 V0 V0 
V0 jp / 2 V0  jp / 2

II 
e

e
 j

Z0
Z0
 Z0 Z0 
si ha:
VL   jZ 0 I I
VI
IL   j
Z0
indipendentemente dal valore del carico
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Linee di trasmissione, pag. 78
Casi particolari: linea l/4 senza perdite
Collegando in parallelo gli ingressi di N linee l/4 chiuse su carichi Z1,
Z2, …, ZN, le correnti sui carichi risultano tutte in fase e dipendono
solo dalla tensione d’ingresso e dalle impedenze caratteristiche delle
I1
linee.
Z1
l/4
I1   jVI / Z 01
l/4
+
I2
Z2
Z02
VI

I 3   jVI / Z 03
I3
Z3
l/4
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I 2   jVI / Z 02
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Linee di trasmissione, pag. 79
Matrice di trasmissione di una linea
I1
d
I2
V1 +
–
Z0, , 
+
– V2
0
z
La matrice di trasmissione è comunemente utilizzata per descrivere
le relazioni fra tensioni e correnti all’ingresso e all’uscita di una linea.
V1   A B  V2 
 I    C D  I 
 1 
 2 
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Linee di trasmissione, pag. 80
Matrice di trasmissione di una linea
I1
d
I2
V1 +
–
Z0, , 
+
– V2
0
V ( z )  V0 e (  j ) z  V0 e (  j ) z
z
V0 (  j ) z V0 (  j ) z
I( z) 
e

e
Z0
Z0
In z = 0 e z = d si ha:
V1  V (d )  V0 e (  j ) d  V0 e  (  j ) d
V2  V (0)  V0  V0
V0 (  j ) d V0  (  j ) d
I1  I ( d ) 
e

e
Z0
Z0
V0 V0
I 2  I(0) 

Z0 Z0
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Linee di trasmissione, pag. 81
Matrice di trasmissione di una linea
I1
d
I2
V1 +
–
Z0, , 
+
– V2
0
z


V
V
Eliminando 0 e 0 dalle precedenti equazioni, si ricava:
cosh(  j )d
V1  
 
   sinh(  j )d
 I1  
Z0

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Z 0 sinh(  j )d 
 V2   A B  V 
2
   
cosh(  j )d    C D  I 2 
I2 


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Linee di trasmissione, pag. 82
Matrice di trasmissione di una linea
Vogliamo calcolare i valori di VA e ZA affinché il circuito
Zg
V0 +
–
I1
d
I2
V1 +
–
Z0, , 
+
– V2
Sia equivalente a
ZA
VA +
–
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I2
V2 +
–
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Linee di trasmissione, pag. 83
Matrice di trasmissione di una linea
Zg
V0 +
–
I1
d
I2
V1 +
–
Z0, , 
+
– V2
V1  AV2  BI 2
V0  V1 V0 AV2 BI 2
I1  CV2  DI 2 



Zg
Zg
Zg
Zg
da cui:
V0
 V2
A  CZ g
A  CZ g
V0
I2 

V2 
B  DZ g
B  DZ g B  DZ g
A  CZ g
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Linee di trasmissione, pag. 84
Matrice di trasmissione di una linea
ZA
Poiché per il circuito equivalente si ha:
VA +
–
VA  V2
I2 
ZA
I2
V2 +
–
confrontando con la formula
V0
 V2
A  CZ g
I2 
B  DZ g
A  CZ g
Si ottiene
V0
VA 
A  CZ g
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ZA 
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B  DZ g
A  CZ g
Linee di trasmissione, pag. 85
Matrice di trasmissione di una linea
La potenza disponibile del generatore equivalente risulta:
PdA 
VA
2
8 ReZ A 
V0

8 A  CZ g
2
2
 B  DZ g 
Re

 A  CZ g 
Pd

A  CZ g
ReZ g 
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2
Pd

*
Re
(
B
/
Z

D
)(
A

C
Z
)
g
g
 B  DZ g 
Re

 A  CZ g 

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
Linee di trasmissione, pag. 86
Matrice di trasmissione di una linea
Caso particolare: generatore adattato alla linea (Zg = Z0)
V0
VA 

A  CZ g

V0
Zg
cosh(  j )d 
sinh(  j )d
Z0
V0
ed e jd  e d e  jd ed e jd  e d e  jd

2
2
 V0 e d e  jd
Z0 sinh(  j )d  Z g cosh(  j )d
ZA 

 Zg
Zg
A  CZ g
cosh(  j )d 
sinh(  j )d
Z0
B  DZ g
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Linee di trasmissione, pag. 87
Matrice di trasmissione di una linea
Caso particolare: generatore adattato alla linea (Zg = Z0)
Pd
PdA 
Re (B / Z g  D)( A  CZ g )*


Pd

Re (sinh(  j )d  cosh(  j )d )(cosh(  j )d  sinh(  j )d )*
Pd

2
sinh(  j )d  cosh(  j )d


Pd
d
e e
j d
e
2
d
e
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 j d
d

e e
jd
e
2
d
e
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 j d 2

Pd
d
e e
j d 2

 Pd e  2d
Linee di trasmissione, pag. 88
Matrice di trasmissione di una linea
Caso particolare: generatore adattato alla linea (Zg = Z0)
Zg
d
V0 +
–
Z0, , 
ZA
VA +
–
VA  V0 e d e  jd
ZA  Zg
PdA  Pd e 2d
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Linee di trasmissione, pag. 89
Matrice di trasmissione di una linea
Caso particolare: generatore adattato alla linea (Zg = Z0)
linea senza perdite ( = 0)
Zg
d
V0 +
–
Z0, , 
ZA
VA +
–
VA  V0 e  jd
ZA  Zg
PdA  Pd
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Linee di trasmissione, pag. 90
Matrice di trasmissione di una linea
Caso particolare: generatore adattato alla linea (Zg = Z0), linea senza
perdite ( = 0)
Zg
d
V0 +
–
Z0, , 
ZA
VA +
–
VA  V0 e
ZA  Zg
PdA  Pd
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 j d
N.B.:
cambia
solo la
fase della
tensione
Linee di trasmissione, pag. 91
Carta di Smith
Si definisce l’impedenza normalizzata:
Z ( z)
Z ( z )  R( z )  j X ( z ) 
Z0
Indicando con u e v la parte reale e immaginaria di  ( = u+jv) si ha :
Z ( z ) 1  ( z ) 1  u  jv
Z ( z )  R( z )  j X ( z ) 


Z0
1  ( z ) 1  u  jv
Esiste una relazione biunivoca fra le coppie ( R, X ) e le coppie (u,v):
( R, X )
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(u, v)
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Linee di trasmissione, pag. 92
Carta di Smith
v
Z  R jX
X
  u  jv
1
0
1
u
R
1
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Linee di trasmissione, pag. 93
Carta di Smith
Quali curve descrivono R  cost e X  cost sul piano (u,v)?
1  u  jv 1  u 2  v 2
2v
R jX 

j
2
2
1  u  jv (1  u )  v
(1  u ) 2  v 2
2
R  cost
2


R
1 
u 
  v 2  



R 1
 R 1

X  cost
1
1

2
u  1   v    2
X

X
2
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Linee di trasmissione, pag. 94
Carta di Smith
2
R  cost
2


R
1 
u 
  v 2  



R 1
 R 1

 R

1


Circonferenze con centro nel punto 
, 0  e raggio
R 1
 R 1 
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Linee di trasmissione, pag. 95
Carta di Smith
v
Z  R jX
X
  u  jv
R  0.2
R  0.5
R0
R 1
R2
R5
0
0.2 0.5
1
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2
u
R
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Linee di trasmissione, pag. 96
Carta di Smith
2
X  cost
1
1

u  1   v    2
X

X
2
1
 1
Circonferenze con centro nel punto 1 ,  e raggio
X
 X
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Linee di trasmissione, pag. 97
Carta di Smith
X
Z  R jX
v
  u  jv
2
X  0.5
X 1
X 2
X  0.2
1
X 5
0.5
0.2
0
0.2
X 0
u
R
0.5
X  5
1
X  0.2
X  2
X  0.5
X  1
2
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Linee di trasmissione, pag. 98
Carta di Smith
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Linee di trasmissione, pag. 99
Carta di Smith
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Linee di trasmissione, pag. 100
Carta di Smith
d
Z0, , 
I, ZI
ZL
L, ZL
0
z
ZL
I  L e 2d e  j 4pd / l
Z I  Z0
Z L  Z 0 tanh (  j )d
Z 0  Z L tanh (  j )d
|L|
ZI
|I|
d/l
punto notevole
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Linee di trasmissione, pag. 101
Carta di Smith
Se si definisce l’ammettenza normalizzata:
Y ( z)
Y ( z )  G ( z )  j B( z ) 
Y0
Indicando con u e v la parte reale e immaginaria di  ( = u+jv) si ha :
Y ( z ) 1  ( z ) 1  u  jv
1
Y ( z )  G ( z )  j B( z ) 



Y0
1  ( z ) 1  u  jv Z ( z )
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Linee di trasmissione, pag. 102
Carta di Smith
Con la Carta di Smith è immediata la trasformazione da impedenza
Im 
ad ammettenza e viceversa.
Z
||
Re 
Re 
||
Y
Im 
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Linee di trasmissione, pag. 103
Carta di Smith
altri dati
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Carta di Smith
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Linee di trasmissione, pag. 105