Equazione di Ohm nel dominio fasoriale: Legge di Ohm:
di Heaveside:
. Dalla definizione di operatore
ricaviamo:
. Associamo alle grandezze sinusoidali i corrispondenti fasori:
,
dove
Adesso sostituiamo nella
legge di Ohm le espressioni di
in termini di fasori e otteniamo:
. Per il teorema di Kennelly-Steinmetz ogni legge in
corrente continua vale anche in alternata, ponendo:
e
otteniamo:
. In base alla linearità dell’operatore parte reale, possiamo eliminare da entrambi i
membri
, quindi:
.
Ancora in base alla linearità ricaviamo
Conduttanza: Il campo elettrico generato dal cilindro vale:
la densità elettrica come:
, con
e sfruttando la sua conducibilità elettrica , possiamo scrivere
eguagliando troviamo che:
. Definendo la potenza come:
possiamo dedurre:
Potenza Sinusoidale:
Per dimensionare opportunamente conduttori e generatori si utilizza la potenza
apparente o di dimensionamento
. Definiamo la potenza complessa
dove
è lo
sfasamento tra tensione ed intensità di corrente, allora
dove
è la potenza media o attiva e
è la
potenza reattiva. Quando la potenza reattiva è positiva, si ha un fenomeno magnetico e quindi il comportamento è di tipo
induttivo; invece, nel caso di potenza reattiva negativa, si ha un fenomeno dielettrico con comportamento della potenza di tipo
capacitivo.
Energia immagazzinata nell’induttore:
, dove i è la corrente che scorre nell’induttore e L l’induttanza. L’energia immagazzinata nell’induttore è
uguale alla quantità di lavoro richiesta per ottenere la corrente che scorre in esso, e quindi, per generare il campo magnetico.
Teorema di Norton: un bipolo attivo lineare equivale agli effetti esterni ad un bipolo lineare di tipo parallelo avente per la
corrente fra i due nodi posti in cortocircuito, e per impedenza quella vista ai suoi morsetti una volta reso passivo.
Dimostrazione: Ipotizziamo di avere una rete dinamica R.
Applicando il principio di sovrapposizione, il carico può essere sostituito da un generatore di tensione.
Utilizzando il principio di sovrapposizione, dividiamo la rete R in due contributi: la rete attiva A e la rete passiva P.
E’ evidente che
. Definiamo la corrente in cortocircuito e ricordando la legge di Ohm, è possibile scrivere
. Pertanto il carico Z vede la rete a monte come il parallelo di un generatore equivalente e di un’impedenza
equivalente. Questi due elementi rappresentano l’equivalente di Norton della rete R.
Corollario di Millman: In una rete lineare costituita da n rami in parallelo, la tensione VAB ai capi del parallelo è data da:
Principio di sovrapposizione delle cause e degli effetti: La risposta di una rete lineare alla sollecitazione di più generatori
indipendenti può essere ottenuta considerando ciascun generatore separatamente attivo e sommando le rispettive risposte di
rete:
Forza f(t) agente sull’ancora dedotta con il PLV: Il lavoro speso per spostare l’ancora di un
infinitesimo ds è pari alla variazione infinitesima di energia accumulata
.
Utilizzando il principio dei lavori virtuali, tenendo conto che il traferro δ è la variabile
lagrangiana del sistema, la forza F esercitata sull’ancora è:
, Pertanto
Teorema di Kennelly-Steinmetz: Qualunque problema relativo alle correnti sinusoidali si può risolvere assumendo la formula
risolutiva dello stesso problema per correnti continue e sostituendo i simboli complessi di correnti e tensioni ai simboli reali, le
impedenze e le ammettenze (complesse) dei singoli elementi alle resistenze e alle conduttanze. Ogni legge in corrente continua
vale anche in alternata, ma ponendo la tabella:
f
k
k
p
Lavoro Elettrico erogato dal generatore di corrente in un intervallo di tempo T:
Sfasamento di rispetto a :
Tensione Magnetica:
maglia nella rete magnetica)
Flusso:
(tensione sulla spira, per ricavare la tensione magnetica sulle riluttanze si fa la legge alla
(è l’equivalente della corrente per la rete magnetica)
Forza f (sull’ancora) a regime raggiunto:
Potenza Complessa:
Q >0 fenomeno magnetico e quindi il comportamento è di tipo induttivo;
Q<0 fenomeno dielettrico con comportamento della potenza di tipo capacitivo.
Regime Sinusoidale:
dove
Parte reale:
)=2
(
+ )
Stella → Triangolo:
Stella → Triangolo:
Campo magnetico: Principio di Le Chatelier un corpo cerca la sua stabilità tendendo al minimo di energia potenziale.
Se faccio passare la corrente nelle spire, le calamite si orienteranno come le correnti, e per diminuire la U dovranno
massimizzare l’energia cinetica.
•
•
Amplificatore invertente: il circuito è retro azionato attraverso
corto circuito virtuale si ha
e una
compresa tra
, allora l’amplificatore lavora in zona lineare (solo se c’è un
). Dall’analisi della maglia di
ingresso:
:
; dall’equilibrio alla maglia con
corrente circolante è quindi data da:
la
. Dall’analisi alle correnti al nodo A si ha:
. La tensione di uscita è quindi amplificata da un
fattore
detto guadagno dell’amplificatore e cambiata di segno (caratteristica contenuta nel
termine “invertente”).
Amplificatore non invertente: circuito retro azionato tramite
si ritiene che l’amplificatore lavori in zona lineare, che
che si realizzi con una tensione di uscita
compresa tra
. Dall’analisi alla maglia
costituita da
e
si ha:
; per l’equilibrio al nodo A si ha:
. La maglia
costituita da
può essere vista come un partitore di tensione resistivo alimentato
da una sorgente di tensione di valore pari a
. Allora
è data da:
e
. Il guadagno può assumere solo valori positivi e maggiori di
1 solo nel caso in cui nel ramo di retroazione ci sia un cortocircuito (
). In questo caso il
circuito è “inseguitore di tensione” in quanto
e svolge la funzione di adattatore di
impedenza.
Sommatore invertente: esso non è altro che la formulazione a più ingressi dell’amplificatore invertente. Si ipotizzi che funzioni
in zona lineare. Dalla relazione di equilibrio delle correnti al nodo comune si ha:
. Per l’ipotesi di funzionamento in zona lineare si ha:
. Questo circuito opera
dunque una somma pesata dei segnali di ingresso; per avere un sommatore puro
(tutti i segnali di ingresso vengono sommati con lo stesso peso) è necessario che
tutte le resistenze in serie alle sorgenti di tensione abbiano il medesimo valore; da
queste resistenze ho:
.
Sommatore non invertente: esso non è altro che la formulazione a più ingressi dell’amplificatore non invertente. Si ipotizzi che
l’amplificatore operazionale funzioni in zona lineare. Si calcoli la tensione
equivalente dei rami in parallelo sul morsetto positivo:
. Dall’analisi
alla maglia costituita da
si verifica che:
. Per l’equilibrio delle
correnti al nodo A, si ha
. La maglia costituita da
può
essere perciò vista come un partitore di tensione resistivo alimentato da una
sorgente di tensione di valore pari a
. La tensione
. Dalla
relazione
si ricava la caratteristica di trasferimento:
.Questo circuito opera dunque
una somma dei segnali di ingresso.
Integratore invertente: la tipologia è simile a quella dell’amplificatore invertente, l’unica differenza è l’elemento sul circuito di
retroazione. Si ipotizzi che funzioni in zona lineare. Dall’analisi alla maglia di ingresso si
ha:
; l’equilibrio alla maglia costituita da
corrente in questa maglia è:
nodo si ha:
caratteristica di trasferimento:
:
; la
; dall’analisi delle correnti al
. Posto
si ha la
; nel caso in cui il segnale di
ingresso è periodico si ha:
. Questo circuito presenta
problemi con segnali a bassa frequenza, a causa dell’elevato valore di guadagno; l’ampiezza del segnale di uscita può portare
l’amplificatore operazionale in saturazione. Per evitare ciò basta inserire una resistenza
in parallelo alla capacità: così si
trasforma l’integratore puro in un filtro passa basso del 1° ordine. Con frequenze minori a quella di taglio (
) il
comportamento del circuito è di tipo amplificatore invertente, mentre per frequenze superiori il comportamento è di tipo
integratore.
Comparatore o rilevatore di soglia:
Se il valore della tensione applicato è superiore al valore della tensione di riferimento, allora l’amplificatore va in saturazione
positiva; se è minore va in saturazione negativa:
Nelle applicazioni si verifica che il valore di riferimento è costituito da un valore di tensione costante in questo caso si parla di
“rilevatore di soglia”, se il terminale invertente è collocato al potenziale di riferimento il rilevatore si chiama “rilevatore di zero”.
Derivatore Invertente: Il derivatore invertente si comporta in modo inverso rispetto all’integratore invertente, anche il
circuito si ottiene invertendo gli elementi del ramo di ingresso e del ramo in retroazione
rispetto al circuito dell’integratore invertente. Si ipotizzi che l’amplificatore operazionale
funzioni in zona lineare, in questa configurazione la differenza di potenziale tra morsetto
invertente e non invertente è nulla; essendo il terminale non invertente collegato
direttamente al riferimento, risulta che anche il potenziale del morsetto invertente è a
potenziale di riferimento. Dall’analisi alla maglia di ingresso si ha che:
;
L’equilibrio alla maglia costituita da Vd, VR, Vout si ha che:
in quanto la
tensione differenziale è nulla. La corrente circolante in questa maglia è quindi data da:
; Dall’analisi delle correnti al nodo 1, siccome l’amplificatore operazionale ideale dai morsetti di ingresso non
assorbe corrente, si ha che
;
Sostituendo al posto delle correnti le espressioni ricavate precedentemente nelle quali compaiono le tensioni di ingresso e
uscita si ricava l’espressione della caratteristica di trasferimento:
; Posto τ = RC si può riscrivere la
caratteristica di trasferimento come:
.
Amplificatore Differenziale: Questo tipo di amplificatore è chiamato così perché consente di
avere in uscita un segnale uguale alla differenza dei due segnali applicati in ingresso. Il
differenziale è un sistema lineare. Per studiare il suo funzionamento utilizziamo il principio della
sovrapposizione degli effetti: 1° Passo: Mettendo il generatore V1 in corto avremo la resistenza
R1 direttamente collegata a massa. Otterremo così una configurazione non invertente, secondo
la quale:
, dove
è la tensione che si genera sulla resistenza R3, che forma un
partitore di tensione con la resistenza R2 e il generatore V2.
Sostituendola nella formula di prima si ottiene:
sarà quindi:
.
. 2° Passo: Mettendo il generatore V2 in corto circuito
avremo la resistenza R2 direttamente collegata a massa. Sulle resistenze R2 ed R3, non può circolare corrente in quanto, la
corrente che arriva dal generatore V1 è zero a causa della resistenza d’ingresso dell’amplificatore che è infinita. Non potendosi
creare nessuna differenza di potenziale sulle due resistenze R 1 ed R2, esse non causano nessun effetto. Otterremo così una
configurazione invertente, secondo la quale:
. 3° Passo: Sommando gli effetti avremo che:
e cioè:
. Se costruissimo il circuito con tutte le resistenze uguali tra di loro, la formula del differenziale
diventerebbe:
. Guardando questa formula, si nota che il segnale in uscita è la differenza dei due segnali applicati in
entrata.
Amplificatore operazionale: si compone di due morsetti di ingresso, un morsetto di uscita e due morsetti di alimentazione.
L’alimentazione è necessaria per poter erogare la potenza richiesta in uscita,
quindi la tensione di uscita rimarrà sempre compresa tra due valori, cioè quelli di
alimentazione. La massima e minima tensione di uscita, funzione della tensione
di ingresso, prendono il nome di tensione di saturazione. Costruzione del circuito
equivalente: in un amplificatore operazionale reale si identificano le seguenti
grandezze: corrente i+ e i- assorbite dai terminali invertenti e non invertenti; la
differenza di potenziale tra il morsetto non invertente e quello invertente,
definita “tensione di ingresso differenziale”
; la tensione di uscita,
dipende dalla differenza di potenziale tra i morsetti di ingresso e della tensione di alimentazione e può essere approssimata:
in “zona lineare”,
in “zona saturazione”. L’elemento ideale ha queste caratteristiche: correnti i+ e
i- pari a 0; guadagno in anello aperto (=A) infinito. Quest’ultima condizione implica che la tensione di uscita possa variare
nell’intervallo
solo nel caso in cui si realizzi la condizione sugli ingressi di “corto circuito virtuale”, ovvero che i morsetti
siano allo stesso potenziale. Quindi la tensione di uscita può assumere un qualunque valore compreso tra
in presenza di
tensione differenziale nulla; se la tensione differenziale è positiva, la tensione di uscita si porta al valore di
; se la tensione
differenziale è negativa, la tensione di uscita si porta al valore di
.
Funzionamento in anello aperto: si verifica quando il valore dell’uscita non viene riportato dai circuiti di retroazione su uno dei
morsetti di ingresso. In questo caso, il comportamento è di tipo “amplificatore differenziale”, esso si porterà a lavorare in zona di
saturazione a seconda dei livelli di tensione a cui si portano gli ingressi.
Funzionamento in anello chiuso: il valore dell’uscita è riportato da circuiti di retroazione su uno dei morsetti di ingresso. In
questo caso, cerca di adeguare la tensione di uscita in modo da realizzare la condizione di corto circuito virtuale. Se la tensione
di uscita è fra
, allora lavorerà in zona lineare, altrimenti in zona di saturazione.
Espressione Induttanza Equivalente: Riluttanza:
. Poniamo
Analisi ai nodi: [A]=matrice incidenza:
Analisi agli anelli:
Condensatore a facce piane parallele e Energia accumulata nel condensatore:
Nel condensatore vi è un fenomeno di dispersione della corrente elettrica, perché anche l’aria polarizza. Tuttavia, ammettiamo
che la distanza d sia così modesta che il contributo dell’aria sia trascurabile. Allora vale:
;
In seguito, pongo tra le due facce un materiale:
dove indica
di quante volte il contributo dielettrico aumenta il contributo del vuoto. (grafico)
. Ora posso calcolare l’energia
accumulata per unità di volume:
Teorema di Thevenin: Un bipolo attivo lineare equivale agli effetti esterni ad un bipolo lineare di tipo serie avente per fem la
sua tensione a vuoto e per impedenza quella vista ai suoi morsetti una volta reso passivo.
Dimostrazione: Ipotizziamo di avere una rete dinamica R, cui è connesso un carico Z, che assorbe la corrente a e la cui caduta di
tensione è V:
Applicando il principio di sovrapposizione delle cause e degli effetti, il carico può essere sostituito da un generatore di corrente
Utilizzando il principio di sovrapposizione, dividiamo la rete R in due contributi: la rete attiva (A) e la rete passiva (P). La rete A
contiene tutti i generatori ed è a vuoto: ai morsetti AB si misura la tensione a ; la rete P si ottiene annullando i generatori ed è
collegata al generatore di corrente a. Tra i morsetti AB si misura la caduta di tensione :
il numero totale di generatori si conserva. La tensione v si ottiene dalla somma dei due contributi descritti:
.
Definiamo la tensione a vuoto, e ricordando la legge di Ohm è possibile scrivere
. Pertanto il carico Z vede la
rete a monte come la serie di un generatore equivalente e di un’impedenza equivalente. Questi due elementi rappresentano
l’equivalente di Thevenin della rete R.
Teorema di Ferraris: Consideriamo 3 bobine percorse da corrente, sfasate di
rappresentare spazialmente:
Si possono ricavare in modo univoco
magnetico del traferro di una bobina (considerando
. Definiamo uno spazio vettoriale per
, definendo
otteniamo
.
. Analizzando il campo
) otteniamo un campo magnetico
.
Facendo la serie di Fourier al primo termine otteniamo
. Scriviamo un fasore spaziale anche per il
campo magnetico:
. Consideriamo le
3 correnti simmetriche ed equilibrate (sfasate temporalmente di
,
,
e dello stesso valor medio):
, si ottiene
ma
quindi
fasore rotante di pulsazione
e ampiezza
temporalmente e spazialmente di
cioè un
. Da 3 bobine fisse ma attraversate da corrente alternata, sfasate
abbiamo ottenuto un campo magnetico rotante nello spazio.
