ALGEBRA LINEARE (Corsi di Laurea SSE e SGI)
Programma d’esame - A.A. 2015-2016
Numeri complessi: Definizione di numero complesso. Somma e prodotto di numeri complessi.
Reciproco di un numero complesso non nullo. L’unità immaginaria e la ciclicità delle sue potenze
intere. Coniugio e sue proprietà. Forma canonica di un numero complesso (a + ib) e forma
trigonometrica (modulo e argomento). Rappresentazione sul piano di Argand-Gauss. Modulo ed
argomento del prodotto di due complessi e del quoziente. Formula di De Moivre. Soluzioni
dell’equazione z n = y, con y ∈ C, per via trigonometrica. Formule per l’estrazione delle
radici n-esime di un complesso (con dimostrazione). Radici dell’unità. Teorema fondamentale dell’Algebra. Sue conseguenze: fattorizzazione di polinomi a coefficienti in C e teorema di
fattorizzazione di polinomi a coefficienti in R (con dimostrazione). L’esponenziale complesso.
L’uguaglianza eiθ = cos θ + i sin θ (con dimostrazione).
Spazi vettoriali: Lo spazio vettoriale Rn . Definizione formale di spazio vettoriale astratto (V, +, ·)
sul campo R. Alcuni esempi di spazi vettoriali diversi da Rn . Combinazione lineare di vettori e
nozione di span. Lineare dipendenza ed indipendenza. Caratterizzazione della lineare dipendenza
(con dimostrazione). Sistemi di generatori. Spazi finitamente generati. Basi. La base canonica
di Rn (vettori fondamentali). Unicità della rappresentazione di un vettore rispetto ai vettori
di una base (con dimostrazione). Teorema di esistenza di basi per spazi finitamente generati.
Teorema di equipotenza delle basi di uno spazio finitamente generato. Dimensione di uno spazio
vettoriale. Sottospazi vettoriali e loro caratterizzazione.
Spazi vettoriali con prodotto interno: Prodotti interni: definizione e proprietà. Un esempio importante: il prodotto interno euclideo in Rn . La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky
(con dimostrazione). Norma: definizione. Norma indotta da un prodotto interno. La norma
euclidea ed altre norme in Rn . Distanza: definizione. Distanza indotta da una norma. La
distanza euclidea in Rn . Ortogonalità. Vettori ortonormali. Lineare indipendenza di vettori ortogonali non nulli (con dimostrazione). Basi ortonormali. Calcolo delle coordinate di un vettore
rispetto ad una base ortonormale. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Problema
della miglior approssimazione di un vettore con un elemento di un sottospazio di dimensione
finita. Ortogonale di un insieme e complemento ortogonale di un sottospazio. Teorema di decomposizione ortogonale. Proiezione ortogonale su un sottospazio finito dimensionale. Teorema
della miglior approssimazione (con dimostrazione). Distanza di un vettore da un sottospazio
di dimensione finita.
Trasformazioni lineari: Trasformazioni lineari tra spazi vettoriali. Proprietà fondamentali. Nucleo ed immagine di una trasformazione lineare; loro relazione con la proprietà di suriettività
e di iniettività. Nullità e rango di una trasformazione lineare. Teorema della “nullità+rango”.
Rappresentazione di trasformazioni lineari T : Rn −→ Rm mediante matrici. Prodotto righe per
colonne tra matrici. Composizione di trasformazioni lineari e matrice di rappresentazione della
trasformazione composta.
Determinante: Definizione ricorsiva di determinante: minori complementari, complementi alge1
brici e primo teorema di Laplace. Matrici diagonali e loro determinante. Proprietà fondamentali
del determinante. Trasposizione di matrici. Calcolo del determinante della matrice di Vandermonde. Teorema di Binet. Stima del rango di una matrice attraverso il calcolo di determinanti.
Metodo degli orlati. Calcolo matriciale: somma di matrici e prodotto di una matrice per uno
scalare (lo spazio vettoriale (Mm×n (R), +, ·)). Matrici invertibili: teorema di caratterizzazione
dell’invertibilità di una matrice. Calcolo dell’inversa di una matrice invertibile. Matrice inversa
del prodotto di matrici invertibili.
Sistemi di equazioni lineari: Notazioni e terminologia. Teorema di struttura (con dimostrazione)
sull’insieme delle soluzioni. Esistenza di soluzioni: teorema di Rouché - Capelli (con dimostrazione). Sistemi quadrati: funzioni biettive ed invertibilità. Lemma sull’invertibilità di trasformazioni lineari. Teorema di Cramer (con dimostrazione). Regola di Cramer per il calcolo della
soluzione di sistemi quadrati determinati. Risoluzione di sistemi non quadrati mediante riduzione
a sistemi quadrati.
Similitudine: Matrici che rappresentano una stessa trasformazione lineare: nozione di similitudine. La similitudine come relazione di equivalenza sull’insieme delle matrici quadrate (con
dimostrazione). Autovalori ed autovettori di un endomorfismo. Spettro ed autospazi di un
endomorfismo. L’autospazio come nucleo (con dimostrazione). Autovalori e non invertibilità
di endomorfismi (con dimostrazione). Molteplicità geometrica di un autovalore. Stima della
molteplicità geometrica di un autovalore (con dimostrazione). Polinomio ed equazione caratteristici di una matrice quadrata e relative proprietà. Caratterizzazione degli autovalori come
radici del polinomio caratteristico (con dimostrazione). Invarianza per similitudine del polinomio caratteristico (con dimostrazione). Lineare indipendenza di autovettori associati ad
autovalori distinti. Relazione tra molteplicità geometrica e molteplicità algebrica di un elemento
dello spettro. Matrici diagonali e loro proprietà di chiusura rispetto a somma, prodotto per
scalari e prodotto righe per colonne. Diagonalizzabiltà. Lemma sulla matrice modale (con dimostrazione). Caratterizzazione della diagonalizzabilità (con dimostrazione). Una condizione
solo sufficiente per la diagonalizzabilità (con dimostrazione). L’operazione di trasposizione di
matrici. Matrici simmetriche e loro proprietà di chiusura rispetto a somma e prodotto per scalari.
Il teorema spettrale. Matrici ortogonali e loro proprietà. Teorema di caratterizzazione delle matrici ortogonali. Teorema sull’ortogonalità di autovettori associati ad autovalori distinti di matrici
simmetriche ed ortogonali. Corollario sulla diagonalizzazione di matrici simmetriche.
Forme quadratiche: Definizione di forma quadratica e sue rappresentazioni matriciali. Segno
di una forma quadratica. Criteri per la classificazione di una forma quadratica in base al suo
segno. Caratterizzazione del segno di una forma quadratica in base al segno degli autovalori
della matrice simmetrica dei coefficienti. Minori principali e minori principali di N ord Ovest di
una matrice. Caratterizzazione del segno di una forma quadratica in base al segno dei minori
principali.
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