NUMERI REALI

NUMERI REALI
La necessità di introdurre i numeri reali nasce dall’esigenza di poter risolvere equazioni del
tipo:
𝑥2 = 2
non essendo 2 un quadrato perfetto, è evidente che le soluzioni dell’equazione non possono
essere interne all’insieme dei numeri razionali.
Anticamente si pensava che tutti i segmenti fossero commensurabili, cioè che il rapporto tra le
lunghezze di due segmenti 𝑎 e 𝑏 qualsiasi fosse sempre esprimibile mediante un numero razionale,
ovvero:
𝑎
=𝑟∈ℚ
𝑏
Questa convinzione fu formalizzata dalla teoria delle monadi, elaborata dai Pitagorici a Crotone,
nel V secolo a.C. Secondo tale teoria un punto è un corpuscolo indivisibile che prende il nome di
monade. Questa definizione lascia intuire che un segmento è dato da un insieme finito di
tantissime monadi e, di conseguenza, tutti i segmenti sono commensurabili. Infatti, dati i due
segmenti a e b, il segmento a è costituito da m monadi e il segmento b è costituito da n monadi,
cioè:
a = m monadi
e
b = n monadi
con m ed n numeri naturali diversi da zero. Di conseguenza il rapporto:
I Pitagorici dovettero quindi confrontarsi con due realtà:
1. secondo la teoria delle monadi il rapporto tra la diagonale di un quadrato e il lato è un
numero razionale;
2. per il teorema di Pitagora il rapporto tra la diagonale di un quadrato e il lato è un numero
irrazionale.
Infatti il rapporto tra la lunghezza della diagonale di un quadrato e la lunghezza del suo lato non è
esprimibile mediante un numero razionale, bensì:
𝑑
= 2
𝑙
d
l
La dimostrazione del fatto che il numero 2 ∉ ℚ risale ai Pitagorici: non esiste alcun
numero il cui quadrato è 2.
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Proposizione: Il numero 2 non è razionale.
Dimostrazione:
Per dimostrare la proposizione si procederà per assurdo. Si supponga infatti che 2 sia un
numero razionale, di conseguenza si potrà esprimere mediante una frazione:
𝑚
2=
𝑛
in cui 𝑛 ≠ 1 e 𝑀. 𝐶. 𝐷. 𝑚, 𝑛 = 1, ovvero si suppone che la frazione sia ridotta ai minimi
termini.
Eleviamo al quadrato ambo i membri della precedente relazione:
𝑚2
2= 2
𝑛
si avrà che
2𝑛2 = 𝑚2
2
ovvero che 𝑚 è un numero pari. Ma se 𝑚2 è un numero pari, anche m è pari e quindi
esiste un numero 𝑘 ∈ ℤ − 0 tale che 𝑚 = 2𝑘. Sostituendo quest’espressione di m nella
precedente relazione si ottiene:
2𝑛2 = 2𝑘 2 ⟹ 2𝑛2 = 4𝑘 2 ⟹ 𝑛2 = 2𝑘 2
e, di conseguenza, 𝑛 è un numero pari.
Essendo adesso m ed n numeri pari, il loro M.C.D. non può essere 1 e ciò va contro la
nostra ipotesi; pertanto l’assurdo nasce dall’aver supposto che 2 ∈ ℚ.
□
STIMA DI 𝟐
Per dare una stima della 2, è necessario costruire una successione di numeri decimali tali
che i loro quadrati approssimino il numero 2 per eccesso e per difetto.
I approssimazione
Di certo vale la relazione
e quindi
1 2  4
1 2  2
II approssimazione
Consideriamo adesso tutti i numeri compresi tra 1 e 2 con una sola cifra decimale e
prendiamone i quadrati; otteniamo:
n 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
n2 1 1,21 1,44 1,69 1,96 2,25 2,56 2,89 3,24 3,61 4
Poiché si ha che
1,96  2  2, 25

1, 4 
2
 2  1,5
2
allora
1, 4  2  1,5
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2
III approssimazione
Allo stesso modo consideriamo tutti i numeri aventi due cifre decimali compresi tra 1,4 e 1,5
e prendiamone i quadrati; otteniamo:
n 1,4
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,5
2
n 1,96 1,9881 2,0164 2,0449 2,0736 2,1025 2,1316 2,1609 2,1904 2,2201 2,25
Poiché si ha che
1,9881  2  2, 0164

1, 41
2
 2  1, 42 
2
allora
1, 41  2  1, 42
Approssimazioni successive
È possibile continuare il procedimento all’infinito, pervenendo alla costruzione delle due
successioni, una crescente e l’altra decrescente:
S1
1
1,4
1,41 1,414 1,4142 1,41421
…
S2 2
1,5
1,42 1,415 1,4143 1,41422
…
Si nota che la scrittura 1,41421… è la scrittura decimale di un numero che non è razionale e
non è periodico. Tale numero quindi decimale illimitato non periodico.
Definizione: Si definisce numero irrazionale ogni numero decimale illimitato non
periodico. L’insieme di tali numeri prende il nome di insieme dei numeri
irrazionali e si indica con il simbolo ℚ𝑐 .
Nell’insieme dei numeri irrazionali si opera la distinzione tra algebrici e
trascendenti. In generale i primi sono quelli che si ottengono tramite una
combinazione di operazioni algebriche tra le quali l’estrazione di radice, mentre i
secondi sono si possono ottenere come appena detto, quindi trascendono (cioè “vanno
oltre”) l’algebra.
Esempi:
Sono irrazionali anche i seguenti numeri: log 2 ,  , e .
Definizione: L’unione dell’insieme dei numeri razionali e dell’insieme dei numeri
irrazionali prende il nome di insieme dei numeri reali e si indica con il simbolo ℝ.
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CARATTERISTICHE DI ℝ
L’insieme dei numeri reali risulta essere un’estensione dell’insieme dei numeri razionali.
Anch’esso è un insieme infinito e totalmente ordinato; inoltre è denso come ℚ, ma
rispetto a quest’ultimo completa la retta. Per tale ragione quando si rappresentano i
numeri reali si parla spesso di “retta reale”.
Tale identificazione è lecita in quanto esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei
numeri reali e l’insieme dei punti appartenenti ad una retta orientata, intendendo per retta
orientata quella retta in cui è stato fissato un verso di percorrenza.
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