BIO 9 CFU - Mindebug

BIO 9 CFU
PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL 07.03.2011.
Tempo: 2.5 ore. È consentito solo l’uso del formulario ufficiale.
ESERCIZIO 1 (10 punti)
Si consideri il sistema caratterizzato dal seguente legame i-u:
! +∞
et−τ x(τ − 2) dτ .
y(t) =
t
(a) Classificare il sistema, motivando brevemente le risposte, sulla base delle proprietà di linearità,
dispersività, causalità, stazionarietà e stabilità.
(b) Calcolare l’uscita y(t) del sistema corrispondente al segnale di ingresso x(t) = δ(t) + cos(t).
ESERCIZIO 2 (10 punti)
Si consideri il sistema LTI caratterizzato dalla seguente risposta impulsiva:
h(n) = A δ(n) + B δ(n − n0 ) ,
con A e B costanti reali arbitrarie, mentre n0 ∈ Z è un numero intero dispari.
(a) Determinare i valori delle costanti A e B in modo da soddisfare le seguenti due proprietà:
(p1) Il guadagno in continua del sistema è unitario.
(p2) La risposta y(n) del sistema all’ingresso x(n) = (−1)n è nulla per ogni n ∈ Z.
(b) Utilizzando i valori di A e B precedentemente calcolati, determinare per quali valori di ν0 ∈ R la
potenza Py della risposta y(n) del sistema all’ingresso x(n) = ej2πν0n assume valore massimo.
ESERCIZIO 3 (10 punti)
Si consideri il segnale aleatorio
x(t) = xc (t) cos(2πfc t + Θ) − xs (t) sin(2πfc t + Θ) ,
dove fc # W > 0 è la frequenza portante del segnale, xc (t) e xs (t) sono processi aleatori congiuntamente SSL, con funzioni di autocorrelazione statistica rxc (τ ) = rxs (τ ) = sinc(2W τ ) e funzione di
mutua correlazione statistica rxc xs (τ ) ≡ 0, e Θ è una variabile aleatoria uniformemente distribuita in
(0, 2π), statisticamente indipendente da xc (t) e xs (t).
(a) Calcolare la funzione di autocorrelazione rx (τ ).
(b) Nell’ipotesi in cui il segnale aleatorio x(t) è moltiplicato per 2 cos(2πfc t + Θ) ed il segnale risultante y(t) = 2 x(t) cos(2πfc t + Θ) è filtrato mediante un filtro passabasso ideale con guadagno
in continua unitario e banda monolatera W , calcolare l’uscita z(t) del filtro passabasso.
(c) Calcolare la funzione di mutua correlazione rxz (τ ) tra x(t) e z(t) determinato al punto (b).