a+b

I metodi non parametrici sono meno
efficaci ma più generali (possono essere
applicati a tutte le serie di dati). Vengono
utilizzati quando non possono essere
applicati i metodi parametrici (dati non
distribuiti normalmente). Si dividono in
due grandi categorie:
Statistica16 – 1/12/2015
quelli basati sulle
frequenze
quelli
basati
sull'ordinamento
delle informazioni.
•Questi metodi non parametrici sono test statistici basati sui
ranghi delle osservazioni, cioè sul loro numero d'ordine
invece che sul valore delle osservazioni in se.
•Questi metodi “prescindono” dalla “distribuzione” dei valori
nella popolazione (si possono usare anche quando non è
possibile conoscere la distribuzione dei dati) 1
In termini statistici:
•Rispetto alla individuazione di differenze
significative, sono meno efficienti (Efficaci) di
quelli parametrici in quanto si perdono
informazioni (vedi 1ma lezione, la misura contiene più
informazione del rango).
•Sono quindi generalmente più restrittivi Selettivi)
(necessitano di numerosità maggiori per individuare
differenze significative).
2
Sono giustificati quando:
le variabili della stessa classificazione è noto che non seguono la
distribuzione normale (i valori sono fortemente asimmetrici, sono
distorti, presentano più di un picco ecc. ecc.);
il parametro che si deve valutare è “nuovo”, non deriva da misurazioni
semplici ma da analisi strumentali o scaturisce da operazioni di calcolo
matematico su più parametri o da analisi di immagini (TAC, PET ecc.).
Non è possibile reperire in bibliografia lavori scientifici che hanno già
utilizzato tale parametro e i nostri rilievi sono ancora troppo pochi per
comprendere se quei dati o la loro trasformazione (es. inversa
logaritmica, esponenziale ecc.) può seguire la normale distribuzione
biologica dei dati;
le osservazioni sono rappresentate da classifiche ordinali arbitrarie (es.
gravità di una infestazione parassitaria: punteggi da 1 a 4; scale di
colorazioni ecc.).
3
Test della mediana,
è il test non parametrico più semplice e più restrittivo, serve a verificare
se due campioni indipendenti appartengono alla stessa popolazione.
In pratica sostituisce il test t di Student nel caso elaborazione di dati
“non normali” (cioè che non seguono la distribuzione normale).
Utilizza la mediana al posto della media come misura di tendenza
centrale (ma nei risultati si trova spesso riportata anche, o solo, la media
aritmetica):
- la mediana, come noto, è meno influenzata dai valori anomali (vedi
lezione 1);
- se la distribuzione fosse normale, media e mediana coinciderebbero;
quindi le inferenze sulla mediana possono essere estese alla media;
- se la distribuzione dei dati mediante trasformazione diventa normale,
il valore che identifica la nuova media coincide con quello della
4
mediana precedente, ovviamente trasformata.
In pratica:
1. Calcolo la mediana di tutti i numeri senza considerare se
appartengono alla prima o seconda serie di numeri;
2. Nella prima serie di numeri conto quanti numeri sono più grandi
della mediana e quanti sono più piccoli (o uguali) alla mediana;
3. Nella seconda serie di numeri conto quanti numeri sono più
grandi della mediana e quanti sono più piccoli (o uguali) alla
mediana;
4. Con i quattro numeri ottenuti (due dalla prima serie e due dalla
seconda serie) costruisco una tabella di contingenza 2*2 il cui
totale è uguale alla numerosità totale e i due totali parziali sono
uguali alla numerosità della prima serie e della seconda serie.
5
Test della mediana
Consiste nel costruire una tabella di contingenza 2x2 dove sono
riportati i valori dei due campioni distinti in maggiori e in minori o
uguali al valore mediano dell'insieme dei due campioni.
gruppo 1 gruppo 2
maggiore della mediana
A
B
min. e uguale alla mediana
C
D
TOTALE
A+C
B+D
a tale tabella di contingenza 2x2 viene poi applicato il Chi 2.
6
A+B
C+D
TOT
record n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
TESI
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
16
16
record n
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
TESI
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
x
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
4
4
4
4
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
8
8
8
8
8
8
record n
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
TESI
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
x
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
10
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
14
14
14
14
14
14
14
7
42/2=21, media 21mo-22mo = 14
record
93-42=51 diviso 2=
25,5+42=67.5=68mo numero = 9
Mediana di A = 14
Mediana di B = 9
8
record
record
11
22
33
44
55
66
77
88
99
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
15
15
16
16
17
17
18
18
19
19
20
20
21
21
22
22
23
23
24
24
25
25
26
26
27
27
28
28
29
29
30
30
31
31
TESI
TESI
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
xx
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
44
44
44
44
44
44
44
44
44
44
66
66
66
66
66
66
66
66
66
66
88
record
record
32
32
33
33
34
34
35
35
36
36
37
37
38
38
39
39
40
40
41
41
42
42
43
43
44
44
45
45
46
46
47
47
48
48
49
49
50
50
51
51
52
52
53
53
54
54
55
55
56
56
57
57
58
58
59
59
60
60
61
61
62
62
TESI
TESI
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
A
A
A
A
xx
88
88
88
88
88
88
88
88
88
99
99
99
99
99
99
10
10
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
14
14
14
14
record
record
63
63
64
64
65
65
66
66
67
67
68
68
69
69
70
70
71
71
72
72
73
73
74
74
75
75
76
76
77
77
78
78
79
79
80
80
81
81
82
82
83
83
84
84
85
85
86
86
87
87
88
88
89
89
90
90
91
91
92
92
93
93
TESI
TESI
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
xx
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
Mediana = 93/2=46,5=47mo numero = 10
A min o uguale 10 (primi 16)
A Mag 10
= (42-16)
= 16
= 26
B min o uguale 10 = (73-42) = 31
B Mag 10 = (93-73)
= 20
9
gruppo 1 gruppo 2
maggiori della mediana
26
20
min. e uguale alla mediana
16
31
TOTALE
42
51
10
46
47
93
Il passaggio successivo è molto semplice, basta calcolare la
statistica χ² per tabelle 2x2 con 1 grado di libertà!
Metodo rapido di calcolo con correzione Yates:
NUMERI
tesi A
tesi B
osservati
osservati
magiori mediana
26 a
20 b
minori mediana
16 c
31 d
totali
42
51
PERCENTUALE
tesi A
osservati
magiori mediana 61,90%
minori mediana 38,10%
totali
100,00%
 corr
=
 corr
=
totali
46
47
93
tesi B
osservati
39,22%
60,78%
100,00%
[ |ad - bc| - tot/2 ]^2 * tot
(a+b) * (c+d) * (a+c) * (b+d)
3,87905
P % <o=
totali
49,46%
50,54%
100,00%
0,05
11
NUMERI
tesi A
tesi B
osservati teorici osservati teorici
maggiori
26
20,77419
20
25,22581
minori
16
21,22581
31
25,77419
totali
42
51
A
maggiori
minori
B
maggiori
minori
osservata correz.
26
-0,5
16
0,5
20
0,5
31
-0,5
42
42
51
51
attesa
-20,77419
-21,22581
-25,22581
-25,77419
22,33325
20,77419
+
*
*
*
*
49,46%
50,54%
49,46%
50,54%
=
=
=
=
4,725806
-4,725806
-4,725806
4,725806
22,33325
+
21,22581
 corr
22,33325
25,22581
= 3,879052
^2
^2
^2
^2
12
totali
46
47
93
=
=
=
=
20,77419
21,22581
25,22581
25,77419
=
=
=
=
22,33325
22,33325
22,33325
22,33325
+
22,33325
25,77419
Tesi A
Tesi B
n
42
51
mediana
14
9
(media)
(10,3)
(9,3)
χ²c test
3,88*
* valore significativo per p<0,05
13
Test per ranghi di Wilcoxon (the Wilcoxon signed rank test),
detto più semplicemente anche test T di Wilcoxon, è uno dei test
non parametrici più potenti. Analogamente al test della mediana
serve a verificare se due campioni indipendenti appartengono alla
stessa popolazione.
In pratica sostituisce i test parametrici nel caso elaborazione di dati
“non normali” o supposti tali (cioè che non seguono la distribuzione
normale).
Anche the Wilcoxon signed rank test, come il
precedente, utilizza la mediana al posto della media
come misura migliore della tendenza centrale ( Vedi test
della mediana e lezione 1, la mediana è meno influenzata da valori
“anomali”)
14
I passaggi logici fondamentali del metodo del T di Wilcoxon sono:
1 - Calcolare le differenze d, con relativo segno, tra i dati raccolti (i
X) ed il valore (Xˆ) dell'ipotesi nulla, data o calcolata come mediana
generale (eliminando le eventuali differenze che risultassero uguali a
zero);
2 - Calcolare i ranghi (i R) delle differenze (i d), considerate in
valore assoluto (cioè ordinare gli n valori assoluti dal minore al
maggiore; se esistono valori che hanno lo stesso rango, assegnare ad
ognuno di essi un punteggio dato dalla media dei loro ranghi);
3 - Attribuire ad ogni rango il segno della differenza, già calcolata al
punto 1; si ottiene la stessa serie di ranghi del punto 2, ma con il
“segno”;
4 - Sommare i ranghi (i R) di pari segno = valore T
per calcolare T è indifferente quale dei due valori possibili si calcola “somma dei
meno o somma dei più”. Di solito si sceglie il valore ottenuto con il numero
15
minore di dati, perché richiede meno lavoro);
5 - Stimare il valore medio, al quale dovrebbe tendere la somma dei
ranghi T, nella condizione che l’ipotesi nulla H0 sia vera: i ranghi
positivi e quelli negativi dovrebbero essere casualmente distribuiti e
dare quindi la stessa somma, in funzione del numero di dati;
6 - Se il valore espresso nell'ipotesi nulla fosse la vera tendenza
centrale della popolazione, la somma dei ranghi di segno positivo (o
quella di segno negativo) non dovrebbe essere significativamente
differente dalla media dei ranghi;
Nota: alcuni programmi commerciali di statistica approssimano il
RANGO nel seguente modo (accettabile):
nel caso di numeri doppi, attribuiscono lo stesso rango del primo a
tutti i doppi; la presenza di numeri doppi influenza però il rango dei
numeri successivi. Ad esempio, se in un elenco di interi il numero 10
appare due volte ed ha un rango uguale a 5, il numero 11 avrà un
rango uguale a 7 e nessun numero potrà avere un rango uguale a 6.
16
Si supponga di voler verificare se una specie ha una colesterolemia
significativamente solo minore di 300 mg/dL.
A questo scopo, su un campione di 13 plasmi (indicati con lettere da
A ad O) provenienti da animali “random” (appartenenti cioè
casualmente a diverse categorie di età e sesso) è stata misurato il
tasso di colesterolo ematico.
Dalle
analisi
chimiche,
si
sono ottenuti i
risultati (i X)
seguenti:
Sappiamo che la
colesterolemia
non è distribuita
normalmente!
Campione
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
A
B
C
D
E
F
G
H
I
L
M
N
O
X
235
230
180
250
280
330
440
430
260
225
240
235
215
Impostazione risposta:
Si tratta di un test ad una
coda (solo minore!), con
test non parametrico che
utilizza la mediana:
H0: me ≥ 300
contro
H1: me < 300
17
1 - Calcolo le differenze d, con relativo segno, tra i dati raccolti (i X)
ed il valore (Xˆ) dell'ipotesi nulla (eliminando le eventuali differenze
che risultassero uguali a zero);
Nota: - nel caso di due
campioni (con test a due code)
l’ipotesi nulla sarebbe stata
mediana di A e di B uguali;
uguali cioè alla mediana di
entrambe i campioni. Vedi
precedente esercizio con test
mediana.
Valore dato a priori
Ipotesi nulla
solo minore di 300 mg/dL
Campione
X
A
235
B
230
C
180
D
250
E
280
F
330
G
440
H
430
I
260
L
225
M
240
N
235
O
215
mediana 240
media 273,077
18
differenze
assoluti
da 300
-65
-70
-120
-50
-20
30
140
130
-40
-75
-60
-65
-85
65
70
120
50
20
30
140
130
40
75
60
65
85
Campione X ordinate
E
F
I
D
M
A
N
B
L
O
C
H
G
180
215
225
230
235
235
240
250
260
280
330
430
440
Assoluti
ordinati
Rango
Rango
20
30
40
50
60
65
65
70
75
85
120
130
140
1
2
3
4
5
6
6
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6,5
6,5
8
9
10
11
12
13
2 - Calcolo i ranghi (i R) delle differenze (i d), considerate in valore
assoluto (cioè ordinare gli N valori assoluti dal minore al maggiore;
se esistono valori che hanno lo stesso rango, assegnare ad ognuno
19
di essi un punteggio dato dalla media dei loro ranghi);
3 - Attribuire ad ogni rango il “segno” della differenza, già calcolata
al punto 1; si ottiene la stessa serie di ranghi del punto 2, ma con il
“segno”;
Campione
5
6
9
4
11
1
12
2
10
13
3
8
7
E
F
I
D
M
A
N
B
L
O
C
H
G
X ordinate
180
215
225
230
235
235
240
250
260
280
330
430
440
-20
30
-40
-50
-60
-65
-65
-70
-75
-85
-120
130
140
Assoluti
ordinati
Rango
20
30
40
50
60
65
65
70
75
85
120
130
140
1
2
3
4
5
6
6
8
9
10
11
12
13
Rango
1
2
3
4
5
6,5
6,5
8
9
10
11
12
13
20
Rango con
segno
-1
2
-3
-4
-5
-6,5
-6,5
-8
-9
-10
-11
12
13
4 - Sommare i ranghi (i R) dello stesso segno per calcolare T
Ricorda: ai fini del test,
è indifferente scegliere
il valore minore o
maggiore tra somma dei
ranghi positivi o la
somma dei negativi. Si
sceglie il valore
ottenuto con il
numero minore di
dati, per il semplice
motivo che
meno lavoro.
richiede
Campione
X ordinate
5
E
6
F
9
I
4
D
11
M
1
A
12
N
2
B
10
L
13
O
3
C
8
H
7
G
mediana
media
T
T
somma
media ranghi
media ranghi
180
215
225
230
235
235
240
250
260
280
330
430
440
240
273,0769
-20
30
-40
-50
-60
-65
-65
-70
-75
-85
-120
130
140
Assoluti
ordinati
Rango
20
30
40
50
60
65
65
70
75
85
120
130
140
1
2
3
4
5
6
6
8
9
10
11
12
13
Rango
1
2
3
4
5
6,5
6,5
8
9
10
11
12
13
Rango con
segno
-1
2
-3
-4
-5
-6,5
-6,5
-8
-9
-10
-11
12
13
27
-64
91
45,5
45,5000
21
5 - Stimo il valore medio, al quale dovrebbe tendere la somma dei
ranghi T, nella condizione che l’ipotesi nulla H0 sia vera: i ranghi
positivi e quelli negativi dovrebbero essere casualmente distribuiti e
dare quindi la stessa somma, in funzione del numero di dati;
La somma di N ranghi
N * ( N  1)
può essere anche calcolata come:
2
La media dei ranghi (media dei valori positivi o negativi µT) può
essere anche calcolata come la metà della somma di tutti i ranghi e
dovrebbe essere:
N * ( N  1)
T 
4
Calcolo quindi la media (µT) attesa nella condizione che l’ipotesi
Rivedi anche: Statistica05-probabilità.pdf
nulla sia vera:
22
Campione
5
E
6
F
9
I
4
D
11
M
1
A
12
N
2
B
10
L
13
O
3
C
8
H
7
G
mediana
media
T
T
somma
X ordinate
180
215
225
230
235
235
240
250
260
280
330
430
440
240
273,07692
-20
30
-40
-50
-60
-65
-65
-70
-75
-85
-120
130
140
13*14 = 91 = somma
2
Assoluti
ordinati
Rango
Rango
Rango con
segno
20
30
40
50
60
65
65
70
75
85
120
130
140
1
2
3
4
5
6
6
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6,5
6,5
8
9
10
11
12
13
-1
2
-3
-4
-5
-6,5
-6,5
-8
-9
-10
-11
12
13
|27|+
|64|=
91
27
-64
91
13*14 = 45,5 = media =somma diviso 2
4
23
1
2
3
4
5
6,5
6,5
8
9
10
11
12
13
91
91/2=45,5
1
2
3
4
5
6,5
6,5
8
9
10
11
12
13
N * ( N  1)
2
13(13+1)= 182
182/2=91
N * ( N  1)
T 
4
13(13+1)= 182
182/4=45,5
24
6 - Se il valore espresso nell'ipotesi nulla fosse la vera tendenza
centrale della popolazione, la somma dei ranghi di segno positivo
non dovrebbe essere significativamente differente dalla media dei
ranghi,
cioè: (T = 27 oppure T= |-64|) non dovrebbe essere
significativamente differente dalla media dei ranghi (µT = 45,5).
45,5 - |27| = 18,5; 45,5 - |-64| = 18,5
25
Nel caso di grandi campioni (ricordate per gli statistici n>20),
sempre nella condizione che H0 sia vera, la somma dei ranghi dello
stesso segno segue (approssimativamente) la distribuzione normale e
si può quindi applicare tale analisi, cioè:
t
Vedi: Statistica05-probabilità.pdf
e addendum
Statistica03-distribuzione normale.pdf
T 
Z
T
dove
T- µT è calcolata con la formula precedente (cioè 27 o 64 meno 45,5)
- σT è la deviazione standard di T, determinata solamente da n
secondo la relazione:
T 
N * ( N  1)(2 N  1)
2426
Nei lavori di Biologia (Medicina Veterinaria
Produzioni Animali ecc.) la formula di
approssimazione per grandi campioni è accettata
già quando N è maggiore di 10-12 osservazioni!
Nel nostro caso quindi si può applicare:
13 * (13  1)(2 *13  1)
T 
 14,31
24
18,5
64  45,5
Z
 1,29
14,31
27  45,5
Z
 1,29
14,31
27
0
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4987
0,4990
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,5000
0,01
0,0040
0,0438
0,0832
0,1217
0,1591
0,1950
0,2291
0,2611
0,2910
0,3186
0,3438
0,3665
0,3869
0,4049
0,4207
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,4778
0,4826
0,4864
0,4896
0,4920
0,4940
0,4955
0,4966
0,4975
0,4982
0,4987
0,4991
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,5000
0,02
0,0080
0,0478
0,0871
0,1255
0,1628
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,3461
0,3686
0,3888
0,4066
0,4222
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,4783
0,4830
0,4868
0,4898
0,4922
0,4941
0,4956
0,4967
0,4976
0,4982
0,4987
0,4991
0,4994
0,4995
0,4997
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
0,03
0,0120
0,0517
0,0910
0,1293
0,1664
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,3485
0,3708
0,3907
0,4082
0,4236
0,4370
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,4788
0,4834
0,4871
0,4901
0,4925
0,4943
0,4957
0,4968
0,4977
0,4983
0,4988
0,4991
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
0,04
0,0160
0,0557
0,0948
0,1331
0,1700
0,2054
0,2389
0,2704
0,2995
0,3264
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,4793
0,4838
0,4875
0,4904
0,4927
0,4945
0,4959
0,4969
0,4977
0,4984
0,4988
0,4992
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
0,05
0,0199
0,0596
0,0987
0,1368
0,1736
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,3531
0,3749
0,3944
0,4115
0,4265
0,4394
0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,4798
0,4842
0,4878
0,4906
0,4929
0,4946
0,4960
0,4970
0,4978
0,4984
0,4989
0,4992
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
0,06
0,0239
0,0636
0,1026
0,1406
0,1772
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,3554
0,3770
0,3962
0,4131
0,4279
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,4803
0,4846
0,4881
0,4909
0,4931
0,4948
0,4961
0,4971
0,4979
0,4985
0,4989
0,4992
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
0,07
0,0279
0,0675
0,1064
0,1443
0,1808
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,3577
0,3790
0,3980
0,4147
0,4292
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4756
0,4808
0,4850
0,4884
0,4911
0,4932
0,4949
0,4962
0,4972
0,4979
0,4985
0,4989
0,4992
0,4995
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
0,08
0,0319
0,0714
0,1103
0,1480
0,1844
0,2190
0,2517
0,2823
0,3106
0,3365
0,3599
0,3810
0,3997
0,4162
0,4306
0,4429
0,4535
0,4625
0,4699
0,4761
0,4812
0,4854
0,4887
0,4913
0,4934
0,4951
0,4963
0,4973
0,4980
0,4986
0,4990
0,4993
0,4995
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
0,09
0,0359
0,0753
0,1141
0,1517
0,1879
0,2224
0,2549
0,2852
0,3133
0,3389
0,3621
0,3830
0,4015
0,4177
0,4319
0,4441
0,4545
0,4633
0,4706
0,4767
0,4817
0,4857
0,4890
0,4916
0,4936
0,4952
0,4964
0,4974
0,4981
0,4986
0,4990
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
28
Tabella generata con la funzione distrib.norm.st di excel
Z
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
Come è possibile verificare sulla tabella della distribuzione normale
standardizzata, Z = 1,29
corrisponde ad una probabilità uguale a 0.0985 (o 9,85%)
in una coda:
1.0000 0,500+0,4015= 0,9015 =
0,0985 cioè non minore di 0,05= ns
Se il test fosse stato bilaterale, se la domanda fosse stata impostata
più correttamente “se la cortisolemia della specie in studio differisce o
meno (potrebbe cioè essere sia superiore che inferiore) da 300”
corrisponde ad una probabilità uguale a 0.1970 (o 19,70%)
in due code:
1.0000 0,4015+0,4015= 0,8030 =
0,1970 cioè non minore29di 0,05 = ns
Nella pratica della ricerca ambientale, in cui la
distribuzione dei dati è spesso lontana dalla
normalità, il test T di Wilcoxon (o anche della
mediana) deve sostituire i test parametrici (es. t
di Student o l’analisi della varianza).
Il suo impiego assicura condizioni di validità più
generali,
senza
perdere
molto
in
potenza/efficienza! (meglio del test della mediana)
Nel caso di “non certa distribuzione non
normalità dei dati” La tendenza è quella di
riportare i risultati dei test non parametrici ma
anche di quelli parametrici, soprattutto nei casi
significativi al limite.
30
Nel caso di piccoli campioni (N ≤ 20), la significatività del valore
di T è fornita direttamente dalla tavola che riporta il valore
critico inferiore
Valori critici per il test dei ranghi con segno di Wilcoxon
(per campioni con N da 6 a 20)
N
6
7
8
1 p=0,05
2
3
5
coda p=0,01
*
0
1
9
8
3
10
10
5
11
13
7
12
17
9
13
21
12
14
23
15
15
30
20
16
35
23
17
41
27
18
47
32
19
53
37
20
60
43
2 p=0,05
0
2
3
5
8
10
13
17
21
25
29
34
40
46
52
code p=0,01
*
*
0
1
3
5
7
9
12
15
19
23
27
32
37
* campione troppo piccolo, per un test statistico valido (test unilaterali e bilaterali, alle probabilità di 0.05 e
0.01)
31
Con i dati dell’esempio, per N=13 nella colonna p= 0,05 per un test
unilaterale il valore di T è 21, al quale corrisponde una probabilità
(calcolata in modo più preciso nella tabella della pagina seguente) di
α = 0.0471.
Il valore T calcolato (T=27) con i dati dell’esempio è superiore a
quello riportato nella tabella (T=21). Di conseguenza, nell’ipotesi
che H0 sia vera, la probabilità di trovare un valore uguale o inferiore
a 27 è superiore a 0,05. Non si può quindi rifiutare l'ipotesi nulla,
quindi:
Conclusione: la tendenza centrale dei dati raccolti non è
significativamente minore di 300.
32
Tavola dei valori critici di T nel test di Wilcoxon per un campione e per due campioni
dipendenti.
Le probabilità sono riferite ad un test unilaterale. Per un test bilaterale occorre moltiplicare per
2 il valore di α.
Si può rifiutare l’ipotesi nulla alla probabilità α se il valore di T calcolato sui dati è minore o
uguale a quello riportato in grassetto alla colonna corrispondente.
Per i valori critici di T intorno al valore α è riportata la probabilità esatta.
N
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
T
0
1
2
3
3
4
5
6
8
9
10
11
13
14
17
18
21
22
25
26
30
31
35
36
41
42
47
48
53
54
60
61
a=0,05
0,0313
0,0625
0,0469
0,0781
0,0391
0,0547
0,0391
0,0547
0,0488
0,0645
0,042
0,0527
0,0415
0,0508
0,0461
0,0549
0,0471
0,0549
0,0453
0,052
0,0473
0,0535
0,0467
0,0523
0,0492
0,0544
0,0494
0,0542
0,0478
0,0521
0,0487
0,0527
T
a=0,025
T
a=0,01
T
a=0,005
0
1
2
3
3
4
5
6
8
9
10
11
13
14
17
18
21
22
25
26
29
30
34
35
40
41
46
47
52
53
0,0156
0,0313
0,0234
0,0391
0,0195
0,0273
0,0195
0,0273
0,0244
0,0322
0,021
0,0269
0,0212
0,0261
0,0239
0,0287
0,0247
0,029
0,024
0,0277
0,0222
0,0253
0,0224
0,0253
0,0241
0,0269
0,0247
0,0273
0,0242
0,0266
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
15
16
19
20
23
24
27
28
32
33
37
38
43
44
0,0078
0,0156
0,0078
0,0117
0,0098
0,0137
0,0098
0,0137
0,0093
0,0122
0,0081
0,0105
0,0085
0,0107
0,0083
0,0101
0,009
0,0108
0,0091
0,0107
0,0087
0,0101
0,0091
0,0104
0,009
0,0102
0,0096
0,0107
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
15
16
19
20
23
24
27
28
32
33
37
38
0,0039
0,0078
0,0039
0,0059
0,0049
0,0068
0,0049
0,0068
0,0046
0,0061
0,004
0,0052
0,0043
0,0054
0,0042
0,0051
0,0046
0,0055
0,0047
0,0055
0,0045
0,0052
0,0047
0,0054
0,0047
0,0053
33
Se il test fosse stato bilaterale, quindi se la domanda fosse stata
impostata più correttamente “se la cortisolemia della specie in studio
differisce o meno (potrebbe cioè essere sia superiore che inferiore)
da 300”
i valori critici di confronto per il T (con N = 13) sarebbero stati
- T = 17 per una probabilità α = 0.05
- T = 9 per una probabilità α = 0.01.
Valori critici per il test dei ranghi con segno di Wilcoxon
(per campioni con N da 6 a 20)
N
6
7
8
1 p=0,05
2
3
5
coda p=0,01
*
0
1
9
8
3
10
10
5
11
13
7
12
17
9
13
21
12
14
23
15
15
30
20
16
35
23
17
41
27
18
47
32
19
53
37
20
60
43
2 p=0,05
0
2
3
5
8
10
13
17
21
25
29
34
40
46
52
code p=0,01
*
*
0
1
3
5
7
9
12
15
19
23
27
32
37
* campione troppo piccolo, per un test statistico valido (test unilaterali e bilaterali, alle probabilità di 0.05 e
0.01)
34