le equazioni irrazionali

L E EQUAZIONI IRRAZIONALI
8
Per ricordare
H
Data una qualsiasi equazione A…x † ˆ B…x †, sappiamo che ad essa si possono applicare i principi di
equivalenza che consentono di aggiungere o togliere espressioni ai due membri oppure moltiplicare o
dividere per un'espressione non nulla.
Questi principi peroÁ non ci dicono nulla sull'operazione di elevamento a potenza, vale a dire che non
n n
possiamo, in generale, dire che A…x † ˆ B…x † eÁ equivalente a A…x † ˆ B…x † .
Per esempio, nell'insieme dei numeri reali:
xˆ3
non eÁ equivalente a
x2 ˆ 9
ma
xˆ3
eÁ equivalente a
Possiamo peroÁ dire che:
xˆ3
eÁ equivalente a
x2 ˆ 9
se si pone la condizione che sia x > 0
eÁ equivalente a
x ˆ9
se si pone la condizione che sia x < 0
xˆ
3
2
x 3 ˆ 27
percheÁ in questo caso entrambe le equazioni hanno le stesse soluzioni.
Nell'elevamento a potenza occorre dunque precisare alcune condizioni che garantiscano l'equivalenza di due equazioni. In particolare possiamo dire che:
elevando i due membri di un'equazione a potenza dispari siamo sicuri di ottenere un'equazione
equivalente a quella data
elevando i due membri di un'equazione a potenza pari siamo sicuri di ottenere un'equazione equivalente a quella data solo se i due membri hanno lo stesso segno.
L'insieme dei valori di x per i quali due equazioni sono equivalenti si dice insieme di equivalenza.
Per esempio, l'insieme di equivalenza delle due equazioni x ˆ 3 e x 2 ˆ 9 eÁ l'insieme degli
x < 0.
H
Un'equazione si dice irrazionale se l'incognita compare nell'argomento di un radicale; essa assume
q
n
quindi la forma A…x † ˆ B…x †.
Le considerazioni fatte al punto precedente ci permettono di trovare dei metodi per risolvere questo tipo
di equazioni; distinguiamo il caso in cui l'indice della radice eÁ pari da quello in cui eÁ dispari.
Se n eÁ dispari l'equazione eÁ equivalente a quella che si ottiene elevando a potenza n :
q
n
n
eÁ equivalente a
A…x † ˆ B…x †
A … x † ˆ B… x †
Per risolvere un'equazione di questo tipo si segue quindi questa procedura:
152
8 - LE EQUAZIONI IRRAZIONALI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
si isola il radicale
si elevano a potenza n i due membri dell'equazione
si risolve l'equazione ottenuta.
Per esempio:
p

3
x 1‡7ˆx
!
x3
!
21x 2 ‡ 146x
p

3
x 1ˆx
7
!
342 ˆ 0
!
xˆ9
x
3
1 ˆ …x
7†
!
Se n eÁ pari il radicale al primo membro esiste solo se eÁ A…x † 0; il primo membro dell'equazione eÁ
dunque positivo o nullo e, affinche vi sia concordanza di segno fra i due membri dell'equazione,
n
occorre che sia anche B…x † 0; in queste ipotesi, l'equazione A…x † ˆ B…x † eÁ equivalente a quella
data.
q
n
Riassumendo queste considerazioni, per risolvere l'equazione A…x † ˆ B…x † con n pari, si deve risolvere il sistema:
8
>
< A …x † 0
B… x † 0
n
>
:
A … x † ˆ B… x †
n
Tenendo poi presente che la condizione A…x † 0 eÁ superflua percheÁ l'equazione A…x † ˆ B…x †
implica giaÁ che A…x † sia positivo o nullo, per risolvere un'equazione irrazionale con un solo radicale
di indice n pari si segue allora questa procedura:
si isola il radicale
si pone la condizione di concordanza di segno
si elevano a potenza n i due membri dell'equazione
si risolve l'equazione ottenuta.
In sostanza si risolve il sistema
Per esempio:
p
1 3x ˆ 2x
(
B… x † 0
n
A…x † ˆ B…x †
eÁ equivalente al sistema
la sola soluzione accettabile eÁ
xˆ
2x 0
1 3x ˆ 4x 2
!
8
<x 0
:x ˆ
1
4
1 _ xˆ
1
4
In alternativa a questo metodo, sempre nel caso in cui sia n pari, si puoÁ seguire questa procedura
che non prevede di verificare a priori l'equivalenza delle equazioni:
si isola il radicale
si elevano a potenza n i due membri dell'equazione
si risolve l'equazione ottenuta
si procede alla verifica delle soluzioni.
Per esempio, per risolvere la precedente equazione si opera in questo modo:
p
1 3x ˆ 2x
!
1
3x ˆ 4x 2
!
xˆ
1
1
4
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
8 - LE EQUAZIONI IRRAZIONALI
Verifica delle soluzioni:
p
per x ˆ 1 :
1‡3ˆ
2ˆ
r
3
1
1
ˆ2
4
4
1
per x ˆ :
4
2
Falso
1
1
ˆ
2
2
Vero
1
.
4
La sola soluzione eÁ quindi
H
2
153
Se l'equazione irrazionale contiene piuÁ radicali, in genere eÁ necessario fare piuÁ operazioni di elevamento a potenza per poter risolvere l'equazione.
Se l'indice delle radici eÁ pari, si deve allora sempre operare in modo da essere certi di passare ad
un'equazione equivalente ponendo le opportune condizioni di concordanza di segno dei membri dell'equazione; in alternativa, basta effettuare una verifica finale delle soluzioni trovate.
E SERCIZI
DI
C ONSOLIDAMENTO
1 Stabilisci se le seguenti equazioni sono equivalenti:
…x 4†3 ˆ …2x 1†3
a. x 4 ˆ 2x 1
e
b. x
1 ˆ 3x ‡ 2
c. x ‡ 1 ˆ …3x
d. 4x ˆ x
…x
e
2†
2
2
2
5
…4x† ˆ …x
e
‰siŠ
1† ˆ …3x ‡ 2†
…x ‡ 1† ˆ …3x
e
2
2
‰noŠ
2†
‰siŠ
5
2†
‰siŠ
Determina l'insieme di equivalenza delle seguenti equazioni.
ESERCIZIO SVOLTO
2
x
3ˆ5
e
…x
2
3† ˆ 25
Le due equazioni sono equivalenti se vi eÁ concordanza di segno fra i due membri della prima
equazione; allora, poicheÁ il secondo membro eÁ positivo, l'insieme di equivalenza eÁ la soluzione dell'equazione
x 3>0
!
x>3
ESERCIZIO GUIDATO
3
2x
3ˆx
4
e
…2x
2
3† ˆ …x
2
4†
Analogamente all'esercizio precedente, i due membri della prima equazione devono avere lo
stesso segno; l'insieme di equivalenza eÁ allora la soluzione dei sistemi:
2x 3 > 0
2x 3 < 0
_
x 4>0
x 4<0
x< 3 _x>4
2
154
8 - LE EQUAZIONI IRRAZIONALI
4 x
5ˆx‡ 2
3
5 3x ‡ 6 ˆ x
6

p
3
2x 4 ˆ
7
p
x‡7ˆx
2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
2
5† ˆ
2
2
x‡
3
x<
2 _ x>5
3
e
…x
e
…3x ‡ 6†3 ˆ x3
‰RŠ
e
2x
‰RŠ
e
x ‡ 7 ˆ x2
4ˆ
8
‰x 0Š
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali contenenti un solo radicale.
8
ESERCIZIO GUIDATO
p
x 1ˆx
3
Il radicale eÁ di indice pari; la disequazione eÁ quindi risolta dal sistema
x
x
30
1 ˆ …x
3†
2
‰S ˆ f5gŠ
r
1
x 1ˆx 5
9
3
r
1…
1
x ‡ 1† ˆ …5 ‡ 3x†
10
2
3
3
11
p 3x
4 3x ˆ
12
p
2x2 1 ˆ x ‡ 2
13
p
x2 9 ˆ x
14
p
4x2 8x ‡ 4 ˆ x ‡ 4
15
p
x2 ‡ 3x ˆ x ‡ 1
16
2
Sˆ
‰S ˆ f 1; 5gŠ
1
x ‡ 1 p
ˆ x2 5x ‡ 4
3
1
3
Sˆ 4
3
4
2
17 p ˆ 3
2x 5
18
‰S ˆ f6gŠ
‰S ˆ f5gŠ
Sˆ
2 ;6
3
‰S ˆ f1gŠ
S ˆ 7 ;5
8
S ˆ 49
18
ESERCIZIO GUIDATO
p

3
x2 ‡ 2x ˆ x
Il radicale eÁ di indice dispari e per risolvere l'equazione basta elevare entrambi i membri al
cubo:
x2 ‡ 2x ˆ x3
‰S ˆ f 1; 0; 2gŠ
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
19

p
3
6x…2 ‡ x† ˆ x ‡ 2
20
p

3
3ˆ
21
p
6 x x2 ˆ x ‡ 1
‰S ˆ f 2gŠ

p
3
2x x2
‰S ˆ f 1; 3gŠ
‰S ˆ f1gŠ
r
3 x ‡ 1
22
ˆx‡ 1
8
2
r
23 x ‡ 3 x ‡ 3…1 x† ˆ 7
2
8
‰S ˆ f0gŠ
30
31
Sˆ
(Suggerimento: isola dapprima il radicale)
p
24 1 …1 2x†…x 10† ‡ x ‡ 1 ˆ 0
2
2
r
25
x2 ‡ 3 …9 ‡ 7x† 1 …x ‡ 9† 3 ˆ 2x
2
2
q
1
…2x ‡ 1†2 ‡1 ˆ x
26
2
r
3
27 1 ‡ x3 ‡ 1 ˆ x ‡ 1
27
3
r
4x2 1 ˆ x
28 1
4
29 1
r
2x 1 ‡ x ˆ 2…x
3
11
8
‰S ˆ 1Š
S ˆ 0;
Sˆ
7;
6
2
3
1
2
‰S ˆ 1Š
Sˆ 5
8
Sˆ 1
3
Sˆ 1;5
3 3
p
3x2 ‡ 5x 2 ˆ 3x
 p
p
3
3
3x3 14 ˆ 3…x
155
8 - LE EQUAZIONI IRRAZIONALI
2†
1†
Sˆ
7‡
p 10
3
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali che contengono due o piuÁ radicali.
32
ESERCIZIO SVOLTO
p p
1 ‡ 4 x ˆ 1 2x
I metodo.
Poniamo le condizioni di esistenza dei radicali:
4
1
x0
2x 0
!
x 1
2
p
PoicheÁ entrambi i membri sono positivi (1 ‡ 4 x eÁ positivo perche somma di numeri
positivi), possiamo elevare al quadrato ottenendo l'equazione
p
p
1 ‡ 4 x ‡ 2 4 x ˆ 1 2x
!
2 4 xˆ x 4
Per un nuovo elevamento al quadrato dobbiamo porre la condizione di concordanza dei segni fra i due membri e rivalutare l'insieme di equivalenza:
156
8 - LE EQUAZIONI IRRAZIONALI
8
< x
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
40
!
:x 1
2
nuovo insieme di equivalenza x 4
Elevando al quadrato otteniamo l'equazione
4…4
x† ˆ … x
2
4†
!
x2 ‡ 12x ˆ 0
!
xˆ
0
12
PoicheÁ solo la seconda soluzione appartiene all'insieme di equivalenza, S ˆ f 12g.
II metodo.
Eleviamo al quadrato senza porci problemi di esistenza dei radicali o di concordanza di segni fra i due membri dell'equazione:
p
2 4 xˆ x 4
0
ed elevando di nuovo al quadrato x2 ‡ 12x ˆ 0
!
xˆ
12
Procediamo alla verifica delle soluzioni:
per x ˆ 0 :
p p
1‡ 4 0ˆ 1 0
per x ˆ 12 :
p p
1 ‡ 4 ‡ 12 ˆ 1 ‡ 24
33
!
1‡2ˆ1
!
5ˆ5
xˆ0
xˆ
non eÁ soluzione dell'equazione
12 eÁ soluzione dell'equazione.
ESERCIZIO GUIDATO
r
1 x
3
1ˆ
p
x‡2
Prima di elevare al quadrato, conviene portare il termine 1 al secondo membro in modo da
avere entrambi i membri positivi:
r
1 x ˆ p
x‡2‡1
3
Poni adesso le condizioni di esistenza dei radicali ed eleva al quadrato.
p p
x2 6x ‡ 8 ˆ 2x2 ‡ 1
p p
35
x2 x ‡ 1 ˆ x ‡ 4
34
p
36
3x 4
p
37 2 x ‡ 1
38
p
4x ‡ 1
2
r
x 2 ˆ2
3
p p
6
ˆ 2 x
2
r
1 ˆ 1 2x
4
‰S ˆ f 2gŠ
‰S ˆ f 7; 1gŠ
‰S ˆ f 1; 3gŠ
S ˆ 29
3
Sˆ 1
2
‰S ˆ 1Š
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
8 - LE EQUAZIONI IRRAZIONALI
r

x 1 ‡ x ˆ 1 ‡ p
x x2
39
4
r r
p
40
1 x‡ 3 ˆ x‡ 1
2
2
p p
41
2x 8 ‡ x ‡ 1 ˆ 0
157
‰S ˆ f1gŠ
‰S ˆ f1gŠ
‰S ˆ 1Š
(Suggerimento: la somma di due numeri positivi eÁ nulla solo se sono nulli contemporaneamente i
due addendi)
p p
‰S ˆ f3gŠ
42
x2 9 ‡ x2 2x 3 ˆ 0
p p p
p
43
x ‡ 1 ˆ x 1 ‡ 2x 1
Sˆ 1 5
44
p p p
x‡2ˆ x‡ x 3
45
p p p
2x ‡ 2x 3 ˆ 6x ‡ 2
46
p p p
x 1‡ x 3ˆ x‡1
E SERCIZI
DI
A PPROFONDIMENTO
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali di vario genere.
q
3
3
1
2x3 …x ‡ 1† ‡1 ˆ x

p
3
5x† x 2 ˆ 0
r
2
3 …x 3† ˆ 4 ‡ x
3 x
r
x
1
9x2
4
ˆ 3x
3x
x2 2x ‡ 1
r
3
1
ˆ1
5 2x 8x3 ‡ 5x2 25
2 …x2
6
p
1 ‡ 2x
2
p
S ˆ 1 2 19 ‡ 1
3
S ˆ 25
6
p
Sˆ 4 3‡1
3
p p
3x ‡ 1 ˆ x
7 2x
1 ˆ 2xp 1
2
x
p
p
8 3 x‡1ˆ1 3 x
p p
5
9 3 x ‡ 2 ˆ 5x ‡ p
x‡2
p
p
10
x 2 1 ˆ 1 x2
‰S ˆ f 1; 0gŠ
‰S ˆ f0; 2; 5gŠ
‰S ˆ 1Š
‰S ˆ 1Š
p Sˆ 5
‰S ˆ f0gŠ
S ˆ 1 ;4
2
‰S ˆ f0gŠ
Sˆ 1
2
‰S ˆ 1Š
158
8 - LE EQUAZIONI IRRAZIONALI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
1
S ˆ 4;
2
p
p
11
x ‡ p2 ˆ 13 x
x
p
3x
10
ˆ p
12 p
3x 1
3 3x 1
p
1 ‡ 2x ‡ 3
1
3
13 p ˆ
2
1 ‡ 2x
2 1 ‡ 2x
4  8x2 ˆ 4 1
14 p
2x ‡ 1
px
ˆ
x 4
x‡1  ˆ1‡
18 2 p
12x 2x2
19
Sˆ 3
2
p 2x
‰S ˆ f0; 1gŠ
r
1 4x ˆ 1 ‡ p
1
15
4
2 3‡x
p p p
16
4x ‡ 3x2 4 ˆ x ‡ 2 ‡ 3x 2
p
x‡9
p
17
x
S ˆ 4 ; 25
3 27
‰S ˆ f 2gŠ
x
‰S ˆ f1gŠ
p
p
x‡2
x‡1
p
4
x
S ˆ 81
16
r
x
12 2x
S ˆ 2; 2
3
p
3 x
x
9
p
p
‡ p
ˆ px ‡ 4
p
x‡1
x‡2 x
x‡1
x 2
x‡3
r
p 1
20 2
1 x
4
S ˆ 1; 1
16
Sˆ 3
4
1ˆ0
p p
21 2 …3x ‡ 1† ˆ 10 6x
3
Sˆ
3x
‡7 
p
3 3x ‡ 1
r
q p
22
x ‡ 4 ‡ …x ‡ 1†…x 2† ˆ 3x
S ˆ 3; 1; 1
S ˆ 20
3
s
r

3 x ‡ p
2x ‡ 7 ˆ 3
26
2
q
p
2x 1 ‡ 3
p
x
 ˆ2
2 q
p
2x 1
p
p 5; 1 ‡ 5
Sˆ 8
25
p
2x
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