Appello del 10-febbraio 2015. Scritto di logica

Appello del 10-febbraio 2015. Scritto di logica
1. Nella logica aristotelica le proposizioni erano di 4 tipi: universali affermative (<tutti gli
ateniesi sono greci>), universali negative (<nessun ateniese è greco>), particolari
affermative (<alcuni ateniesi sono greci>), particolari negative (<alcuni ateniesi non
sono greci>).
Scrivere ciascuno dei 4 tipi come formula della logica dei predicati e come formula
della teoria degli insiemi.
i)
ii)
<tutti gli ateniesi sono greci>: x ateniese(x)  greco(x).
AG
<nessun ateniese è greco>: x ateniese(x)greco(x) equivalente a
x ateniese(x)  greco(x).
AG =  oppure AG
iii)
<alcuni ateniesi sono greci>: x ateniese(x)greco(x)
AG  
iv)
<alcuni ateniesi non sono greci>: x ateniese(x) greco(x)
AG  
2. Scrivere come formula della logica dei predicati la frase <Giovanni rade coloro che
non si radono da soli e non rade coloro che si radono da soli>, usando, oltre le costanti
logiche, il predicato binario rade(_,_) e la costante Giovanni.
- verificare con le tavole semantiche se la formula ammette qualche modello:
Giovanni si rade da solo?
x (rade(x,x)  rade(G,x))  (rade(x,x)  rade(G,x))
x rade(x,x)  rade(G,x)
x rade(x,x)  rade(G,x)
rade(G,G)  rade(G,G)
rade(G,G)  rade(G,G)
x ……………
rade(G,G)
rade(G,G)  rade(G,G)
rade(G,G)
rade(G,G)
rade(G,G)
rade(G,G)  rade(G,G)
rade(G,G)
rade(G,G)
(sviluppo
identico)
Tutte le tavole si chiudono e quindi la formula non ammette alcun modello. Infatti se
Giovanni rade se stesso allora non rade se stesso e se non rade se stesso allora rade se stesso:
assurdo.
3. Sia A: <non esistono corvi bianchi> e B:<tutti i corvi sono non bianchi>. Tramite
regole di trasformazione mostra che esse sono equivalenti.
Dimostra poi che AB e che BA
(a) Con la deduzione naturale (senza regole di trasformazione o regole derivate)
(b) Con le tavole semantiche
A: x (corvo(x)bianco(x)).
B: x corvo(x)  bianco(x).
x (corvo(x)bianco(x))
x (corvo(x) bianco(x))
equivalente a
equivalente a
x (corvo(x)bianco(x))
premessa
corvo(t)
assunz. per -intro
bianco(t)
assunz per -intro
corvo(t)
import
bianco(t)  corvo(t)
-intro
x (corvo(x)bianco(x))
-intro
x (corvo(x)bianco(x))
assurdo
bianco(t)
corvo(t)  bianco(t)
x corvo(x)  bianco(x)
import
export da -intro
export da -intro
-intro
x  (corvo(x)bianco(x))
equivalente a
x corvo(x)  bianco(x)
x corvo(x)  bianco(x)
premessa
x (corvo(x)bianco(x)) assunz.per -intro
corvo(c)bianco(c)
assunz.per -elim.
corvo(c)
-elim.
bianco(c)
x corvo(x)  bianco(x). import
corvo(c)  bianco(c)
-elim.
bianco(c)
-elim.
bianco(c)  bianco(c)
-intro
x bianco(x) bianco(x) -intro
x bianco(x)bianco(x) export da -elim.
assurdo
x (corvo(x)bianco(x))
export da -intro
x (corvo(x)bianco(x))
x corvo(x)  bianco(x)
(x corvo(x)  bianco(x))
x (corvo(x)bianco(x))
x (corvo(x)bianco(x))
x corvo(x)  bianco(x)
(corvo(c)  bianco(c))
corvo(c)bianco(c)
x (corvo(x)bianco(x))
corvo(c)
bianco(c))
corvo(c)  bianco(c)
corvo(c)bianco(c)
bianco(c))
corvo(c)
 (corvo(c)bianco(c))
corvo(c)
bianco(c)
 corvo(c)
corvo(c)
bianco(c)
bianco(c))
corvo(c)
bianco(c)
corvo(c)
corvo(c)
bianco(c)
bianco(c)
4. Descrivi le idee fondamentali della semantica estensionale (ovvero insiemistica) della
logica dei predicati.
L’idea fondamentale della semantica estensionale è quella di interpretare una formula logica come
una espressione nella teoria degli insiemi. Per la logica delle proposizioni questo si ottiene facendo
corrispondere ai connettivi logici operazioni e relazioni insiemistiche. Per la logica dei predicati
occorre aggiungere la corrispondenza tra applicazione di un predicato ad n argomenti con
l’appartenenza di una n-upla alla relazione che rappresenta estensionalmente il predicato. Nel caso
n=1:
p(x)  xP e P ={x | p(x)}