1 CIRCUITI CHE DANNO IN USCITA UNA TENSIONE CHE È LA

CIRCUITI CHE DANNO IN USCITA UNA TENSIONE CHE È LA MEDIA O LA MEDIA
PONDERATA DELLE TENSIONI D’INGRESSO
DEFINIZIONE DI MEDIA E DI MEDIA PONDERATA
VMed =
V1 + V2 + ..... + Vn
n
;
VMedPond =
a 1 V1 + a 2 V2 + ..... + a n Vn
a 1 + a 2 + ..... + a n
a1 , a2 , … , an sono i pesi.
Si utilizzano tre tensioni d’ingresso. I pesi, nella media ponderata, sono a1 = 3 ; a2 = 2 ; a3 = 1.
I circuiti che realizzano tali funzioni sono i circuiti sommatori, sia invertente sia non invertente.
Le funzioni da realizzare sono:
Sommatore invertente
VMed = Vo = −
Sommatore non invertente
V1 + V2 + V3
1
= − ⋅ (V1 + V2 + V3 )
3
3
VMedPond = Vo = −
1
VMed = Vo = ⋅ (V1 + V2 + V3 )
3
3V1 + 2V2 + V3
1
1 ⎞
⎛1
= −⎜ V1 + V2 + V3 ⎟
6
3
6 ⎠
⎝2
VMedPond = Vo =
1
1
1
V1 + V2 + V3
2
3
6
SOMMATORE INVERTENTE
Vo = −
R4
R
R
V1 − 4 V2 − 4 V3
R1
R2
R3
Vo = − A ⋅ (V1 + V2 + V3 ) = − AV1 − AV2 − AV3
Media:
R4 R4 R4
=
=
=A
R1 R 2 R 3
⇒
R1 = R 2 = R 3 =
⇒
R4
A
Media ponderata:
Vo = −
A 1 V1 + A 2 V2 + A 3 V3
A3
A1
A2
=−
V1 −
V2 −
V3
A1 + A 2 + A 3
A1 + A 2 + A 3
A1 + A 2 + A 3
A1 + A 2 + A 3
A3
R4
=
R 1 A1 + A 2 + A 3
;
A3
R4
=
R 2 A1 + A 2 + A 3
1
;
A3
R4
=
R 3 A1 + A 2 + A 3
⇒
Nel caso della media le resistenze d’ingresso sono tra loro uguali.
Media
Vo = −
Media:
⇒
Media ponderata
Vo = −
V1 + V2 + V3
1
= − ⋅ (V1 + V2 + V3 )
3
3
R2
(V1 + V2 + V3 ) = − 1 ⋅ (V1 + V2 + V3 )
3
R1
⇒
R2 1
=
R1 3
⇒
⇒
R 1 = 3R 2
Si fissa R2 = 33kΩ e si calcola R1 = 3R2 = 99kΩ , valore commerciale 100kΩ.
Media ponderata:
⇒
Vo = −
Vo = −
3V1 + 2V2 + V3
1
1
1
= − V1 − V2 − V3
6
2
3
6
R4
R
R
1
1
1
V1 − 4 V2 − 4 V3 = − V1 − V2 − V3
R1
R2
R3
2
3
6
⇒
⇒
⎧R 4 1
=
⇒ R 1 = 2R 4
⎪
⎪ R1 2
⎪R 4 1
=
⇒ R 2 = 3R 4
⎨
R
3
⎪ 2
⎪R 4 1
=
⇒ R 3 = 6R 4
⎪
⎩R3 6
Si fissa R4 = 27kΩ e si calcolano R1 , R2 , R3:
−
R 1 = 2R 4 = 2 ⋅ 27 ⋅ 10 3 = 54kΩ
valore commerciale 56kΩ.
−
R 2 = 3R 4 = 3 ⋅ 27 ⋅ 10 3 = 82kΩ
valore commerciale 82kΩ.
−
R 3 = 6R 4 = 6 ⋅ 27 ⋅ 10 3 = 162kΩ
valore commerciale 330kΩ//330kΩ = 165kΩ.
Riassumendo:
R1 = 56kΩ ; R2 = 82kΩ ; R3 = 330kΩ//330kΩ = 165kΩ ; R4 = 27kΩ.
Con tali valori, si ha: Vo = −
R4
R
R
27 ⋅ 10 3
27 ⋅ 10 3
27 ⋅ 10 3
V1 − 4 V2 − 4 V3 = −
V
−
V
−
V3 =
1
2
R1
R2
R3
56 ⋅ 10 3
82 ⋅ 10 3
165 ⋅ 10 3
2
= −0,482V1 − 0,329V2 − 0,164V3 = −
2,892V1 + 1,974V2 + 0,982V3
3V + 2V2 + 1V3
≅− 1
6
6
SOMMATORE NON INVERTENTE
Il circuito base per la media e la
media ponderata è quello di figura.
La funzione d’uscita è la seguente:
⎛ R
Vo = ⎜⎜1 + 5
⎝ R4
⎞
⎞⎛ R 2 // R 3
R 1 // R 3
R 1 // R 2
⎟⎟⎜⎜
V3 ⎟⎟
V1 +
V2 +
R 3 + R 1 // R 2
R 2 + R 1 // R 3
⎠⎝ R 1 + R 2 // R 3
⎠
⎛ R
Vo = A⎜⎜1 + 5
⎝ R4
Nel caso della media la funzione d’uscita deve essere:
Media
⎞
⎟⎟(V1 + V2 + V3 ) ,
⎠
cosa che implica l’uguaglianza dei coefficienti di V1 , V2 , V3.
R 2 // R 3
R 1 // R 3
R 1 // R 2
=
=
R 1 + R 2 // R 3 R 2 + R 1 // R 3 R 3 + R 1 // R 2
⇒
⇒
⇒
R 2R 3
R 1R 3
R 1R 2
R2 + R3
R1 + R 3
R1 + R 2
=
=
R 2R 3
R 1R 3
R 1R 2
R3 +
R1 +
R2 +
R1 + R 2
R2 + R3
R1 + R 3
R 2R 3
R 1R 3
R 1R 2
=
=
R1 + R 2 + R 3 R1 + R 2 + R 3 R1 + R 2 + R 3
⇒
R 2 R 3 = R 1R 3 = R 1R 2
Si dividono tutti i termini per R1R2, e si ha:
R 2 R 3 R 1R 3 R 1R 2
=
=
=1
R 1R 2 R 1R 2 R 1R 2
Tali uguaglianze sono vere se
R1 = R 2 = R 3 .
3
⇒
⇒
R3 R3
=
=1
R1 R 2
Pertanto:
R 2 // R 3
R 1 // R 3
R 1 // R 2
=
=
=
R 1 + R 2 // R 3 R 2 + R 1 // R 3 R 3 + R 1 // R 2
R1
2
R1 +
R1
2
=
1
1⎛ R ⎞
⇒ Vo = ⎜⎜1 + 5 ⎟⎟(V1 + V2 + V3 )
3
3⎝ R4 ⎠
Per ottenere in uscita la media delle tensioni d’ingresso bisogna porre
R
1+ 5 = 1
R4
⇒
R5
=0
R4
⇒
⎧R 5 = 0
⎪
⎨
⎪R = ∞
⎩ 4
Il sommatore assume la configurazione di inseguitore.
Vo =
V1 + V2 + V3
3
R 1 = R 2 = R 3 = 33kΩ
Media ponderata
Nel caso della media la funzione d’uscita deve essere:
Vo =
3V1 + 2V2 + V3 1
1
1
= V1 + V2 + V3 .
6
2
3
6
Poiché i coefficienti delle tensioni d’ingresso sono tutte minori di 1, si può assumere
⎧R 5 = 0
R5
R5
⎪
1+
=1 ⇒
=0 ⇒ ⎨
, configurazione di inseguitore e la funzione d’uscita diventa:
R4
R4
⎪R = ∞
⎩ 4
Vo =
R 2 // R 3
R 1 // R 3
R 1 // R 2
V1 +
V2 +
V3 = A 1 V1 + A 2 V2 + A 3 V3
R 1 + R 2 // R 3
R 2 + R 1 // R 3
R 3 + R 1 // R 2
Si deve, quindi, porre
Vo =
R 2 // R 3
R 1 // R 3
R 1 // R 2
V1 +
V2 +
V3 = A 1 V1 + A 2 V2 + A 3 V3
R 1 + R 2 // R 3
R 2 + R 1 // R 3
R 3 + R 1 // R 2
4
⎧ R 2 // R 3
R 2R 3
1
1
=
⇒
=
⎪
R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3 2
⎪ R 1 + R 2 // R 3 2
⎪⎪ R 1 // R 3
R 1R 3
1
1
=
⇒
=
⎨
R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3 3
⎪ R 2 + R 1 // R 3 3
⎪ R 1 // R 2
R 1R 2
1
1
=
⇒
=
⎪
R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3 6
⎩⎪ R 3 + R 1 // R 2 6
⇒
⎧R 1 R 2 + R 1 R 3 − R 2 R 3 = 0
⎪
⎪⎪
⎨R 1 R 2 − 2 R 1 R 3 + R 2 R 3 = 0
⎪
⎪
⎪⎩5R 1 R 2 − R 1 R 3 − R 2 R 3 = 0
Si ottiene un sistema di tre equazioni in tre incognite. Alla prima si somma la seconda e alla
seconda si somma la terza, e si ottiene:
⎧2R 1 R 2 − R 1 R 3 = 0 ⇒ R 1 (2R 2 − R 3 ) = 0
⎪
⎨
⎪6R R − 3R R = 0 ⇒ R (2R − R ) = 0
1 3
1
2
3
⎩ 1 2
⇒
R 3 = 2R 2
Si ottiene, in entrambi i casi, la stessa equazione; quindi, le tre equazioni sono linearmente
dipendenti. Si avranno ∞1 soluzioni, cioè si deve fissare il valore di una delle resistenze e calcolare
le altre. Sostituendo nelle tre equazioni al posto di R3 la quantità 2R2, si ha:
⎧R 1 R 2 + 2R 1 R 2 − 2R 22 = 0
⎪
⎪
⎪
2
⎨R 1 R 2 − 4 R 1 R 2 + 2 R 2 = 0
⎪
⎪
⎪⎩5R 1 R 2 − 2R 1 R 2 − 2R 22 = 0
⇒
⎧3R 1 − 2R 2 = 0
⎪
⎪⎪
⎨− 3R 1 + 2R 2 = 0
⎪
⎪
⎪⎩3R 1 − 2R 2 = 0
⇒
R1 =
2
R2
3
Si fissa il valore di R2 = 33kΩ e si calcolano R1 e R3:
R1 =
2
2
R 2 = ⋅ 33 ⋅ 10 3 = 22kΩ
3
3
Riassumendo:
;
R 1 = 2R 2 = 2 ⋅ 33 ⋅ 10 3 = 66kΩ → R 1 = 68kΩ
R1 = 22kΩ ; R2 = 33kΩ ; R3 = 68kΩ ; VCC = ±12V.
Con tali valori si ha:
5
R 2 // R 3 =
R 2R 3
33 ⋅ 10 3 ⋅ 68 ⋅ 10 3
=
= 22,22kΩ
R 2 + R 3 33 ⋅ 10 3 + 68 ⋅ 10 3
⇒
R 1 // R 3 =
R 1R 3
22 ⋅ 10 3 ⋅ 68 ⋅ 10 3
=
= 16,62kΩ
R 1 + R 3 22 ⋅ 10 3 + 68 ⋅ 10 3
⇒
R 1 // R 2 =
R 1R 2
22 ⋅ 10 3 ⋅ 33 ⋅ 10 3
=
= 13,2kΩ
R 1 + R 2 22 ⋅ 10 3 + 33 ⋅ 10 3
R 2 // R 3
22,22 ⋅ 10 3
=
= 0,503
R 1 + R 2 // R 3 22 ⋅ 10 3 + 22,22 ⋅ 10 3
⇒
R 1 // R 3
16,62 ⋅ 10 3
=
= 0,335
R 2 + R 1 // R 3 33 ⋅ 10 3 + 16,62 ⋅ 10 3
⇒
⇒
Vo = 0,503V1 + 0,335V2 + 0,163V3 =
⇒
R 1 // R 2
13,2 ⋅ 10 3
=
= 0,163
R 3 + R 1 // R 2 68 ⋅ 10 3 + 13,2 ⋅ 10 3
3,015V1 + 2,01V2 + 0,975V3 3V1 + 2V2 + 1V3
≅
6
6
Condizioni di dimensionabilità del circuito
⎧
R 2R 3
= A1
⎪
R
R
R
R
R
R
+
+
1
2
1
3
2
3
⎪
R 1R 3
⎪⎪
= A2
⎨
R
R
R
R
R
R
+
+
1
2
1
3
2
3
⎪
⎪
R 1R 2
= A3
⎪
⎪⎩ R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3
⇒
⎧ R 2 A1
⎪R = A
2
⎪⎪ 1
⎨
⎪R
A
⎪ 3 = 2
⎪⎩ R 2 A 3
⇒ R1 =
A2
R2
A1
⇒ R3 =
A2
R2
A1
Le seconde relazioni si ottengono dividendo membro a membro la prima con la seconda e la
seconda con la terza. Tali relazioni esistono e sono positive per qualunque valore di A1 , A2 , A3
maggiore di zero e minore di uno: 0 < A1 , A2 , A3 < 1. poiché nella media ponderata i coefficienti
delle tensioni sono sempre maggiori di zero e minori di uno, il circuito risulta sempre
dimensionabile.
Tensioni continue variabili d’ingresso. Per inserire le tensioni d’ingresso si utilizzano due
generatori di tensione continua variabile da -10V a +10V, realizzati con l’amplificatore
operazionale TL081 e due potenziometri 10 giri, come mostrato in figura.
6
Valori:
R = 1kΩ ; RP = 10kΩ 10 giri ; VCC = ±12V.
Procedimento di verifica
1. Si monta il circuito invertente per ottenere la media e i due circuiti generatori di tensione
continua variabile. Si alimentano i circuiti.
2. Si tarano le tensioni V1 , V2 , V3 secondo la successione dei valori riportati nella tabella I e, per
ogni terna di valori, si misura la tensione d’uscita Vo.
3. Si modifica il circuito invertente per ottenere la media ponderata e si ripete il punto 2.
4. Si monta il circuito non invertente per ottenere la media.
5. Si tarano le tensioni V1 , V2 , V3 secondo la successione dei valori riportati nella tabella II e, per
ogni terna di valori, si misura la tensione d’uscita Vo.
6. Si modifica il circuito non invertente per ottenere la media ponderata e si ripete il punto 5.
7. Si tabulano i dati e si confrontano con i valori calcolati.
Tabulazione dei dati
Tabella I
V1
1
2
-3
4
3
Volt
V2
-5
-1
1
-4
-6
V3
1
2
-3
4
3
Circuito invertente
V + V2 + V3
3V + 2V2 + V3
Vo = − 1
Vo = − 1
3
6
Volt
Volt
VoMIS
VoCALC
VoMIS
VoCALC
0,98
1
0,98
1
-096
-1
-0,96
-1
1,63
1,67
1,64
1,67
-1,28
-1,33
1,29
-1,33
0,01
0
0,01
0
Tabella II
Vo =
V1
1
2
-3
4
3
Volt
V2
-5
-1
1
-4
-6
V3
1
2
-3
4
3
VoMIS
-0,99
1
-1,66
1,33
0
Circuito non invertente
V1 + V2 + V3
3V + 2V2 + V3
Vo = 1
3
6
Volt
Volt
VoCALC
VoMIS
VoCALC
-1
-1
-1
1
0.99
1
-1,67
-1,65
-1,67
1,33
1,31
1,33
0
-0,01
0
I valori misurati sono in ottimo accordo con i valori calcolati.
7