Rischio e il calcolo del VaR

IL RISCHIO
1
IL RISCHIO: INTRODUZIONE…………………………………………………………………………………….2
2
LA VOLATILITA’……………………………………………………………………………………………………….4
2.1
La volatilità storica ................................................................................................... 4
2.2
Altri metodi di calcolo................................................................................................ 5
3
LA CORRELAZIONE…………………………………………………………………………………………………..6
4
IL VALUE AT RISK.....................................................................…………………………………….8
4.1
I metodi analitici ...................................................................................................... 9
4.2
La simulazione storica ............................................................................................. 12
4.3
Il metodo Monte Carlo............................................................................................. 12
4.4
Esempio di calcolo del VaR....................................................................................... 13
1
1 IL Rischio: introduzione
Il rischio può essere definito come la possibilità che il rendimento di un investimento sia
differente dalle attese.
E' comune sostenere che l'investimento in titoli azionari o obbligazionari è rischioso: quando si
investe una certa somma di denaro in questi titoli non ci sono certezze sul loro valore futuro, dunque
sul rendimento che si otterrà dall’investimento.
Chi investe in azioni ha una visione rialzista e si attende una crescita rapida del valore
dell'investimento, mentre in realtà possono verificarsi forti oscillazioni dei prezzi che possono
compromettere la redditività qualora ci sia la necessità di liquidare la posizione (ad esempio per far
fronte a debiti e grossi pagamenti).
Anche i titoli obbligazionari sono rischiosi. Se si investono, ad esempio, 5000 euro in obbligazioni a
15 anni e si mantengono fino a scadenza, si è certi del loro valore finale. Se invece si rivende il titolo
sul mercato prima di tale scadenza non si può essere certi del prezzo a cui avverrà la vendita. Per un
individuo con un orizzonte temporale di poche settimane, un titolo obbligazionario con scadenza a 30
anni è dunque molto rischioso, mentre un titolo obbligazionario con scadenza più prossima è quasi
privo di rischio.
Per un fondo pensione, o un individuo con un orizzonte pluriennale, la situazione è esattamente
l'opposto: se si vuole investire oggi per costituire un capitale fra 30 anni, un titolo obbligazionario a
30 anni consente di avere con certezza la somma desiderata; l'investimento in un titolo
obbligazionario a breve scadenza implica invece un rischio di roll-over, cioè il rischio di dover
investire in futuro in titoli con tassi di rendimento minori di quelli attuali.
Come misurare il rischio
Come misurare il rischio insito nell'investimento finanziario? Nella pratica si utilizzano semplici
misure statistiche. Le misure le più comuni e facilmente interpretabili sono:
la volatilità, che sintetizza l’oscillazione del valore del rendimento di una certa attività
finanziaria; può essere definita come la variabilità del tasso di rendimento di un titolo su un
determinato arco temporale.
Esempio:
Consideriamo un titolo caratterizzato da un rendimento medio annuo del 10% e da una
volatilità annua del 12%: investendo in quel titolo, il rendimento ottenuto su base annua
molto probabilmente è compreso tra un minimo del (10%-12%)=-2% (investitore
"sfortunato") e un massimo del (10%+12%)=+22% (investitore "fortunato"). Ogni titolo è
contraddistinto da un diverso livello di volatilità, che può a sua volta variare nel tempo. Il
paragrafo seguente fornisce una descrizione più completa della volatilità.
la probabilità di perdita. non tutti concordano sull'utilizzo della volatilità come misura
sintetica del rischio. Alcuni affermano che tale indicatore sia poco utile, perché tiene conto
allo stesso modo delle situazioni in cui i rendimenti sono inferiori alla media e di quelle in cui i
rendimenti sono superiori alla media. D'altra parte, il rischio per l'investitore dovrebbe tenere
conto soltanto delle situazioni in cui i rendimenti sono inferiori al valore atteso. Il rischio
secondo tale visione è asimmetrico: le situazioni in cui i rendimenti sono superiori al valore
atteso sono piacevoli sorprese che non dovrebbero entrare nella misurazione del rischio. Un
modo per stimare la probabilità di perdita è quello di contare con quale frequenza si è
verificato tale evento nel passato.
Esempio:
Se la serie storica dei rendimenti in una certa settimana è 5%, -2%, 1%,
-10%, 3%,
avremo una probabilità di perdita (in alcuni casi denominata probabilità di shortfall) del 40%,
ottenuta dividendo i casi in cui il rendimento è stato negativo per i casi totali. Ovviamente
nella pratica i calcoli devono essere effettuati su serie storiche più lunghe che consentono di
stimare tale probabilità con maggiore affidabilità.
2
la perdita massima e la perdita media. La probabilità di perdita ignora l'ammontare delle
possibili perdite, ma considera unicamente la frequenza con la quale queste avvengono. E' allora
possibile considerare anche la quantità delle perdite. La perdita media (perdita attesa), ad
esempio, misura la media delle perdite subite in un certo periodo. La perdita massima invece è
l'ammontare della perdita di importo più elevato nel medesimo periodo.
Esempio:
Nell'esempio relativo alla probabilità di perdita, se il rendimento di -2%, ottenuto il secondo
giorno della settimana, viene sostituito da -50%, la probabilità di perdita resta del 40%;
ovviamente un investitore sarebbe molto meno attratto dall'acquisto di un titolo che potrebbe
fare perdere il 50% dell'investimento iniziale. Nell'esempio, ciò equivale a considerare gli scenari
di perdita del 2% e del 12%; assegnando ad essi uguale probabilità si ottiene una perdita attesa
del 7% (12%*0.5+2%*0.5) e una perdita massima del 12%. Se al posto di -2% si considera 50%, il rendimento atteso in caso di perdita diventa pari a -31% e la perdita massima del 50%.
Altre misure di rischio, più complesse, consentono di valutare quanto è possibile perdere su un
determinato arco temporale con una determinata probabilità. Nel paragrafo 4 sarà analizzato il
“Valore a rischio” (Value at risk) di un investimento, una misura che consente di analizzare il
rischio di un intero portafoglio di strumenti finanziari.
Quando si valuta il rischio di un portafoglio di strumenti è inoltre importante conoscere come
l’andamento di un’attività finanziaria è legato a quello delle altre attività in portafoglio, in quanto più
attività finanziarie insieme possono amplificare notevolmente il rischio a cui l’investitore è esposto.
Questo aspetto è colto dal coefficiente di correlazione (Cfr. paragrafo 3), che indica se le attività
finanziarie analizzate si “muovono” insieme, oppure no.
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2 La Volatilità
2.1 LA VOLATILITA’ STORICA
Il modo più semplice per calcolare il rischio di uno strumento finanziario è determinare la sua
“volatilità” sulla base dei rendimenti storici (che possono essere settimanali, mensili, giornalieri, a
scelta dell’investitore).
Analiticamente, si utilizza la seguente formula (tecnicamente chiamata “deviazione standard
campionaria”):
s indica la volatilità
è il rendimento del periodo t
è il valore medio del rendimento, calcolato come media aritmetica, cioè sommando tutti i
rendimenti osservati e dividendo il risultato per il numero di rendimenti. In simboli:
Esempio: se i rendimenti negli ultimi 5 giorni sono -6%, -3%, 0%, +4% e +10%, il valore medio è
1%, pari a (-0,06-0,03+0+0,04+0,1)/5, mentre lo scarto quadratico medio é pari a:
La formula della volatilità analizzata (“deviazione standard campionaria”) non è tuttavia l’unica ad
essere utilizzata dagli analisti. Essa è infatti utilizzata dagli analisti quando i rendimenti
rappresentano un “campione” di tutti i rendimenti potenzialmente osservabili e quando il loro
numero è inferiore a 30.
Quando invece i rendimenti sono in numero superiore a 30 si utilizza una misura di volatilità
chiamata “deviazione standard della popolazione”, che differisce dalla prima formulazione in quanto
a denominatore si ha “T” al posto di “T-1”.
T
s=
∑ (r
t =1
t
− r)
T
In genere il dato di volatilità viene riportato dopo avere effettuato l'annualizzazione, in modo da
renderlo coerente con dati di rendimento medi espressi in termini annualizzati. Ad esempio, se si
calcola la volatilità utilizzando dati mensili, il risultato sarà su base mensile e per ottenere il dato
annuale è necessario effettuare alcuni aggiustamenti.
Per fare ciò si usa la convenzione della "radice quadrata": si parte da una stima di volatilità con dati
di una certa frequenza e si moltiplica per la radice quadrata del numero che rappresenta quante
volte tale frequenza di misurazione compare in un anno. Se si parte da rendimenti giornalieri, quindi,
occorre moltiplicare lo scarto quadratico medio applicando le formule precedenti e poi moltiplicando
per la radice quadrata di 250 (dato che ci sono circa 250 giorni commerciali in un anno). Se si parte
da dati mensili si moltiplica per radice di 12 per tenere conto di 12 mesi in un anno e così via.
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Ad esempio, se si è interessati alla volatilità sull'orizzonte di un anno e se si usano dati trimestrali
per stimare uno scarto quadratico medio pari a 0,1, occorre moltiplicare tale stima per la radice
quadrata di 4 (4 trimestri in un anno) per ottenere 0,2. Se si è interessati all'orizzonte di 5 anni si
moltiplica per la radice di 20 e così via.
2.2 ALTRI METODI DI CALCOLO
E’ importante tuttavia tenere presente che in finanza l’analisi del passato ha scarso potere
revisionale per il futuro.
Anche la volatilità calcolata su base storica può dunque rivelarsi inefficace nella valutazione del
rischio futuro di un’attività finanziaria. Inoltre le formulazioni analizzate nel paragrafo precedente
considerano in egual misura i rendimenti molto lontani e quelli più vicini, dunque danno molto peso
agli eventi passati.
Per ovviare a questi inconvenienti spesso vengono utilizzati metodi più complessi di calcolo, ad
esempio “pesando” di più i rendimenti più vicini all’epoca di valutazione.
Una metodologia di calcolo comunemente utilizzata, è quella creata da JP Morgan, chiamata EWMA,
Exponentially Weighted Moving Average.
Le caratteristiche dinamiche delle volatilità secondo la metodologia JP Morgan sono catturate
attraverso un coefficiente chiamato fattore di decadimento (decay factor) che consente di pesare
maggiormente i dati delle serie storiche più recenti, mentre ai dati più lontani è assegnato un peso
minore.
La formula utilizzata per stimare la deviazione standard è la seguente:
T
)
σ = (1 − λ )∑ λt −1 (rt − r ) 2
t =1
dove λ rappresenta il decay factor. Il decay factor è stimato con una metodologia complessa,
dunque per semplificare i processi di calcolo gli analisti utilizzano convenzionalmente un valore pari a
0,94.
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3 La Correlazione
La definizione di rischio come volatilità è intuitiva ma non è sufficiente. Tipicamente un certo titolo è
detenuto nell'ambito di un portafoglio composto da altre attività finanziarie rischiose, rappresentate
da fondi comuni di investimento o da singoli titoli azionari o obbligazionari. In questo caso occorre
considerare le interazioni fra la variabilità del prezzo del titolo in questione e la variabilità
del valore del resto del portafoglio.
Si immagini che il fondo comune Y abbia un indice di Sharpe1 di 0,5 ma tenda ad aumentare di
valore ogni volta che il resto del portafoglio del detentore tende a scendere, mentre X, che ha un
indice di Sharpe pari ad 1, tenda a perdere di valore negli stessi momenti in cui anche il resto del
portafoglio si deprezza. L'investitore che guarda all'insieme del portafoglio potrebbe quindi preferire
il fondo Y che, pur presentando un rendimento per unità di volatilità inferiore ad X, consente di
stabilizzare il portafoglio nel suo complesso. La volatilità di un portafoglio dipende non solo dalle
volatilità dei singoli titoli, ma anche dalla correlazione degli stessi.
Mentre il rendimento di un portafoglio è pari alla media ponderata (con pesi pari alla quantità dei
singoli titoli) dei rendimenti di questi, la volatilità è inferiore alla media ponderata delle volatilità dei
singoli titoli, a meno che i singoli titoli non siano perfettamente correlati.
Nel caso di due titoli perfettamente correlati, cioè due titoli che si muovono sempre nella stessa
direzione, la diversificazione non produce effetti di riduzione del rischio (il rischio del portafoglio è
una media ponderata delle volatilità dei due titoli), mentre se la correlazione è perfettamente
negativa, cioè se i titoli si muovono nella direzione opposta, i benefici della diversificazione sono
massimi.
Nel caso dei titoli azionari i coefficienti di correlazione variano da una coppia all'altra di titoli e
assumono tipicamente valori positivi. Purtroppo è difficile trovare coppie di titoli azionari che abbiano
un coefficiente di correlazione negativo. In genere i prezzi delle attività finanziarie tendono a
muoversi assieme e quindi a salire o scendere simultaneamente
Tutti i titoli di imprese appartenenti ad un certo settore industriale tendono a muoversi nella stessa
direzione mentre quelli appartenenti a settori diversi possono presentare legami meno forti tra loro.
Nello stesso modo, tutti i titoli di imprese appartenenti ad un certo paese tendono a muoversi
assieme mentre quelli appartenenti a paesi diversi hanno andamenti maggiormente indipendenti.
Tradizionalmente si pensava alla diversificazione fra paesi diversi mentre oggi si tende ad
interpretare il mercato sempre di più in termini di settori. Resta comunque vero che i rendimenti di
titoli azionari appartenenti a paesi diversi sono meno correlati dei rendimenti di titoli appartenenti a
settori diversi, anche se la correlazione media fra settori tende a scendere, specialmente in Europa.
Si noti comunque che anche un coefficiente di correlazione positivo ma inferiore ad 1 consente di
formare un portafoglio con un andamento più stabile del valore dei suoi componenti.
Nel caso dei titoli obbligazionari l'effetto paese è ancora più forte. In genere i prezzi di tutti i titoli
obbligazionari emessi all'interno di un certo paese tendono a muoversi assieme. Nel contesto
europeo tale effetto è stato reso ancora più forte dall'introduzione dell'euro che ha fatto sparire le
differenze fra le politiche monetarie, e quindi tra i livelli dei tassi di interesse, di diversi paesi.
Ciò non significa che sia impossibile diversificare fra titoli obbligazionari. Un primo elemento di
diversificazione è dato dall'acquisto di titoli obbligazionari emessi in paesi diversi. Le obbligazioni
europee non tenderanno a muoversi esattamente come quelle statunitensi o giapponesi a causa
delle diverse variazioni dei tassi di interesse da un blocco all'altro.
Un secondo elemento importante è dato dalle differenze negli emittenti. Le obbligazioni emesse da
imprese (obbligazioni corporate) tendono a manifestare movimenti in parte slegati da quelli delle
obbligazioni pubbliche (obbligazioni government). Ciò è dovuto alla presenza di un sostanziale
elemento di rischio di credito legato alle vicende di una certa impresa o di un certo settore.
1 Cfr. capitolo sui fondi comuni d’investimento per la spiegazione dell’indice di Sharpe.
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Purtroppo i coefficienti di correlazione fra rendimenti azionari ed obbligazionari di titoli appartenenti
a diversi paesi sono molto instabili.
Bruno Solnik, Cyrill Boucrelle e Yann Le Fur ("International market correlation and volatility",
Financial Analysts Journal, Settembre/ottobre 1996, pag, 17-34) mostrano, ad esempio, che nel
periodo 1961-1994 il coefficiente di correlazione fra i rendimenti azionari del mercato tedesco e di
quello statunitense hanno oscillato fra 0,6 e 0 e quello fra il mercato giapponese e quello
statunitense addirittura fra -0,35 e +0,6.
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4 Il Value at Risk
Il Value at Risk (VaR) è una misura statistica del rischio di mercato, cioè una misura che sintetizza il
rischio attraverso una distribuzione di probabilità dei potenziali profitti e delle perdite. Questa misura
è particolarmente utile agli investitori per analizzare il rischio di portafoglio, in quanto tiene in
considerazione la correlazione tra i diversi strumenti finanziari e la probabilità che si realizzino
determinati scenari di rendimento.
Il VaR è definito come la misura della massima perdita “potenziale” (cioè non certa) che un
portafoglio può subire con una certa probabilità su un determinato orizzonte temporale.
Esso dipende dunque da:
Orizzonte temporale. E’ a discrezione dell’investitore, è possibile utilizzare un giorno, dieci giorni
o altro.
Probabilità, solitamente si utilizza il 95% o il 99%, ma anch’essa viene definita dall’investitore.
Unità di misura, il VaR è espresso in valore assoluto nella valuta base scelta dall’investitore.
La figura seguente mostra come è possibile rappresentare Il VaR di un portafoglio:
Figura 1
E’ possibile visualizzare il VaR di un portafoglio attraverso la distribuzione di probabilità dei potenziali
profitti e delle perdite: sull’asse orizzontale (asse delle ascisse) è possibile leggere i valori di profitti
e perdite, sull’asse verticale (asse delle ordinate) la frequenza con cui i profitti e perdite si
osservano; la probabilità è data dall’area al sotto della curva. I valori estremi della distribuzione
sono chiamati code: sulla coda destra si trovano i valori positivi, cioè i profitti potenziali più elevati
che hanno una probabilità bassa di presentarsi, sulla coda sinistra le perdite più negative anch’esse
con una bassa probabilità.
Il VaR è il valore sull’asse delle ascisse tale per cui l’area di probabilità è quella scelta
dall’investitore. Calcolare il VaR con il 95% di probabilità significa lasciare il 5% di probabilità sulla
coda sinistra della distribuzione, che implica che la massima perdita potenziale non sarà maggiore di
quella che si legge sull’asse delle ascisse nel 95% dei casi sull’orizzonte temporale selezionato. Ad
esempio è possibile affermare che, con il 95% di probabilità, nell’arco di un giorno non si perderanno
più di 500 euro sul valore totale del portafoglio.
I vantaggi e la popolarità del VaR sono legati al fatto che si tratta di una misura che aggrega in un
solo numero diverse componenti di rischio di mercato: l’analisi del Value at Risk viene infatti
effettuata sulla base dei diversi fattori di rischio a cui può essere esposto un portafoglio, ad esempio
il rischio di tasso d’interesse (a breve o lungo termine), il rischio prezzo dei titoli azionari e il rischio
cambio.
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Nella pratica quotidiana esistono diverse metodologie per il calcolo del VaR, ognuna con i suoi punti
di forza e di debolezza. Le più utilizzate sono:
le metodologia analitiche (o parametriche), come RiskMetrics di JP Morgan
la simulazione storica
il metodo di Monte Carlo.
I tre gruppi di metodologie sono basati su ipotesi molto diverse tra loro e per tale motivo i risultati
che si ottengono possono differire sensibilmente.
Di seguito viene proposta una breve analisi delle diverse metodologie.
4.1 I METODI ANALITICI
I metodi analitici sono basati su una serie di ipotesi, la più importante delle quali vuole che la
distribuzione empirica dei profitti e delle perdite (la distribuzione dei rendimenti) abbia una
determinata forma, cioè sia una distribuzione normale. Il grafico seguente mostra un esempio di
distribuzione normale:
Figura 2
Tale ipotesi (chiamata anche “ipotesi di normalità dei rendimenti”) è fortemente contestata dalla
dottrina, e costituisce uno dei principali motivi per cui ai metodi analitici si sostituiscono spesso i
metodi basati sulle simulazioni.
I metodi analitici sono tuttavia largamente diffusi per la loro semplicità e immediatezza di calcolo:
descrivere infatti la distribuzione di probabilità dei profitti e delle perdite (i rendimenti) come una
distribuzione normale standard implica poterla sintetizzare attraverso due soli parametri di comune
utilizzo, il valore medio e la variabilità intorno alla media (varianza), evitando dunque calcoli
complessi.
Il più conosciuto tra i metodi parametrici è quello di JP Morgan, RiskMetrics, di cui si vuole fornire
una breve descrizione.
Nell’ambito della metodologia RiskMetrics è necessario, per calcolare il VaR, ricondurre gli strumenti
finanziari appartenenti al portafoglio ai fattori di rischio, e successivamente applicare l’algoritmo di
calcolo utilizzando la volatilità dei fattori e la correlazione forniti direttamente da JP Morgan.
Il calcolo del Value at Risk può essere sintetizzato attraverso i passaggi descritti nel seguito.
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Identificazione dell’esposizione al rischio
L’identificazione dell’esposizione del portafoglio alle diverse tipologie di rischio di mercato avviene
mediante la scomposizione degli strumenti finanziari del portafoglio in flussi di cassa elementari.
E’ importante identificare i flussi di cassa per ogni strumento in quanto essi sono soggetti al rischio,
dunque analizzando la loro natura e valutando il momento in cui si manifesteranno si avrà una
descrizione completa dei fattori di rischio a cui è esposto il portafoglio.
I flussi di cassa degli strumenti finanziari devono essere attualizzati, cioè il loro valore nominale
futuro deve essere moltiplicato per un fattore di sconto al fine di determinarne il valore corrente.
La scomposizione delle attività finanziarie in flussi di cassa elementari avviene per tutte le tipologie
di strumento. I titoli a tasso fisso, ad esempio, sono rappresentati come una successione di
pagamenti in corrispondenza delle cedole alle date future e del rimborso del capitale a scadenza,
mentre i titoli azionari sono costituiti da un flusso di cassa positivo alla data odierna espresso nella
valuta di bilancio.
Rimappatura dei flussi di cassa
Dal momento che i flussi di cassa possono essere potenzialmente infiniti, JP Morgan applica una
metodologia (chiamata mapping) che consente di ridurne il numero e di ricondurli tutti a scadenze
predefinite chiamate “vertici”. In tal modo gli elementi necessari per calcolare il VaR, la volatilità e la
correlazione, sono calcolati per un numero finito e relativamente contenuto di vertici, ovvero per un
numero limitato di fattori di rischio.
La rimappatura dei flussi di cassa viene applicata agli strumenti finanziari soggetti a rischio tasso in
quanto questi possono generare numerosi cash flows elementari. Se i cash flow individuati hanno
dunque una data valuta diversa dalle date corrispondenti ai risk factors gestiti da JP Morgan,
vengono rimappati sui vertici RiskMetrics, cioè viene redistribuito il loro valore attuale sui vertici di
risk factor tra i quali il flusso originario è compreso.
Si ipotizzi ad esempio di avere un’obbligazione con una cedola, cioè un flusso di cassa, all’anno 8.
Esso viene ripartito come una combinazione di flussi di cassa negli anni 7 e 9 in quanto l’anno 8 non
è un vertice di risk factor RiskMetrics:
Figura 3
Le due frazioni di flussi di cassa che si originano dal flusso originale devono essere pesate in modo
che sia preservato il valore attuale di mercato e il segno del cash flow.
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Applicazione dell’algoritmo di calcolo
Il VaR di tutto il portafoglio viene calcolato sulla base dei VaR delle singole posizioni, tenendo però
conto del fatto che esso non corrisponde alla somma dei VaR delle posizioni a meno che non ci sia
una perfetta correlazione positiva tra le attività finanziarie.
Il VaR della singola posizione è calcolato come il prodotto tra il valore attuale della posizione con
segno e la volatilità, cioè:
VaR = Valore attuale posizione * 1.65σ
σ rappresenta la volatilità, che viene moltiplicata per 1.65 nel caso in cui si voglia avere un intervallo
di confidenza del 95%1.
Il VaR dell’intero portafoglio si ottiene applicando una formula che tiene conto dei VaR delle singole
posizioni (calcolate sulle rispettive volatilità) e delle correlazioni.
Le volatilità dei fattori di rischio e le correlazioni sono fornite da JP Morgan in termini di USD. Se la
valuta base dell’investitore è diversa dallo USD è necessario applicare alcune formule per convertire
nella valuta base le volatilità e le correlazione dei fattori soggetti a rischio tasso espressi in termini di
USD.
Per i titoli azionari JP Morgan non fornisce la volatilità, che fornisce invece per gli indici azionari
locali. Per ricavare dunque volatilità e correlazioni viene in questo caso utilizzato il beta (β) del titolo
ricavato sulla base dell’equazione che definisce il Capital Asset Pricing Model.
Limiti dei metodi analitici
I modelli analitici, come la metodologia RiskMetrics, soffrono di parecchie limitazioni e sono soggetti
a critiche a causa delle ipotesi su cui sono fondati.
L’ipotesi più criticata è quella di normalità dei rendimenti, in quanto è dimostrato che in realtà i
rendimenti, in particolare quelli giornalieri, non hanno una distribuzione normale.
La conseguenza nell’ipotizzare una distribuzione normale è che i modelli parametrici non si
comportano bene nelle situazioni estreme di mercato quando si hanno ampi movimenti nei prezzi,
cioè perdite elevate più frequenti. Il problema è dovuto al fatto che nella realtà infatti le code delle
distribuzioni di rendimenti sono più grosse di quanto prevede la distribuzione normale, cioè i valori
elevati di perdite (e profitti) sono più frequenti, per cui applicando un modello fondato sulla
normalità dei rendimenti di tende a sottostimare il VaR.
Un’ulteriore problema è quello legato al concetto di stazionarietà, che implica che la media, la
varianza e la correlazione di una distribuzione sono costanti nel tempo. I modelli parametrici sono
fondati su questa ipotesi non realistica, in quanto per calcolare il VaR su un orizzonte temporale
superiore al giorno, è sufficiente moltiplicare per la radice quadrata del numero di giorni.
2 Nella metodologia RiskMetrics il VaR è calcolato sulla base dell’ipotesi che i rendimenti standardizzati sono normalmente
distribuiti, cioè distribuiti principalmente intorno alla media secondo la caratteristica forma a campana. Sulla base di questa
ipotesi, il 95% di probabilità viene rappresentato sulla distribuzione con un coefficiente pari a 1.65, mentre il 99% corrisponde
ad un valore di 2.33.
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4.2 LA SIMULAZIONE STORICA
La simulazione storica è una metodologia di calcolo del VaR che consente di superare alcune delle
limitazioni descritte.
Tale metodologia tenta di predire come i prezzi si muoveranno in futuro sulla base dell’analisi degli
eventi di mercato passati. I rendimenti storici sono esplorati in modo tale da generare un gran
numero di scenari di mercato realistici per le varie tipologie di strumenti finanziari, da cui ricavare
successivamente un numero elevato di potenziali profitti e perdite. Il VaR viene in questo caso
stimato sulla base della distribuzione empirica dei profitti e delle perdite potenziali costruiti sugli
scenari simulati, cioè non viene ipotizzata a priori una forma particolare della distribuzione di
probabilità.
Analiticamente il calcolo del VaR avviene attraverso i seguenti passi:
Si raccolgono i dati di mercato per i fattori di rischio individuati su un arco di tempo passato, ad
esempio N giorni. Successivamente, si determina la variazione percentuale dei prezzi degli
strumenti finanziari che compongono il portafoglio (l’eventuale profitto o perdita) tra un periodo
e quello seguente. In questo modo viene prodotto un numero elevato di scenari di mercato, nel
nostro esempio N.
Si rivaluta il portafoglio corrente sulla base degli scenari di mercato dei fattori di rischio,
determinando per ognuno di essi quale sarebbe stato il profitto o la perdita del portafoglio se lo
scenario si fosse realizzato nelle 24 ore successive.
I risultati degli N profitti e perdite di portafoglio estrapolati dall’analisi storica dell’andamento dei
fattori di rischio sono raccolti su un istogramma, cioè viene ricavata la distribuzione empirica dei
profitti e delle perdite. La distribuzione è empirica, cioè estrapolata dall’osservazione della realtà,
e non forzata ad avere una determinata forma come nei modelli analitici.
Dalla distribuzione empirica si ricava il VaR associato alla probabilità desiderata.
Uno dei limiti della metodologia è che il passato non predice il futuro dunque può non essere
attendibile effettuare una previsione osservando un arco di tempo passato.
4.3 IL METODO MONTE CARLO
Il metodo di Monte Carlo presenta alcune similitudini con la simulazione storica, in quanto anch’esso
simula una serie di scenari sulla base di dati storici. A differenza della simulazione storica tuttavia è
necessario presupporre una precisa distribuzione di probabilità per i fattori di rischio, e questo
costituisce un punto di contatto con le metodologie analitiche (RiskMetrics presuppone che i
rendimenti sono normalmente distribuiti).
Il punto di forza del metodo Monte Carlo è che consente di generale un numero molto elevato di
scenari.
I dati storici sono utilizzati per determinare i parametri (ad esempio la media, la volatilità e le
correlazioni) con cui descrivere la distribuzione di probabilità scelta.
Il calcolo del VaR con la metodologia della simulazione Monte Carlo può essere riassunto attraverso i
seguenti passi:
Scomposizione degli strumenti finanziari presenti in portafoglio in fattori rischio elementari.
Raccolta dei dati di mercato relativi ai fattori di rischio su un arco di tempo passato.
Simulazione degli scenari relativi ai fattori di rischio. Gli scenari sono definiti sulla base della
distribuzione di probabilità scelta e dei parametri che descrivono la distribuzione. I parametri
sono calcolati sulla base dei dati storici raccolti. Questa fase è caratterizzata da un’elevata
intensità di calcolo in quanto con il metodo Monte Carlo è possibile generare un numero molto
elevato di scenari.
Ribaltamento degli scenari simulati sul portafoglio. In questo modo si ottengono tanti valori del
portafoglio quanti sono gli scenari simulati.
Confronto dei valori di portafoglio ottenuti sulla base degli scenari simulati con il valore corrente
del portafoglio. Ciò consente di ottenere tanti valori di potenziali profitti e perdite quanti sono gli
scenari simulati.
Raccolta dei profitti e delle perdite su un istogramma per visualizzarne la distribuzione, e
individuazione del VaR sulla base della probabilità scelta dall’investitore.
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A causa delle ipotesi descritte su cui è fondata la metodologia Monte Carlo, la distribuzione dei
potenziali profitti e delle perdite da cui si ricava il VaR è fortemente influenzata dalla distribuzione di
probabilità che si è scelta per “modellare” i fattori di rischio e dai parametri cui essa viene descritta.
4.4 ESEMPIO DI CALCOLO DEL VAR
Di seguito viene riportato un esempio di calcolo del VaR con uno e due fattori di rischio, effettuato
con la metodologia RiskMetrics.
Esempio con un fattore di rischio
Si ipotizzi di detenere valuta americana per un ammontare di 1000 dollari. Si vuole sapere, poiché la
valuta base è l’euro, quale sarà la massima perdita potenziale in euro entro il giorno successivo con
una probabilità del 95%, cioè si vuole determinare il VaR.
Il primo passo verso il calcolo del VaR è calcolare l’esposizione al rischio. Un investitore la cui valuta
base è l’euro, con un tasso di cambio USD/euro pari a 1.1776, ha un’esposizione al rischio cambio
pari a 1177.6 Euro.
Per determinare il VaR della posizione è necessario stimare quanto il tasso di cambio USD/euro può
potenzialmente muoversi entro la giornata successiva. Per far ciò si utilizza la volatilità del tasso di
cambio fornita da JP Morgan. Se la volatilità stimata giornaliera è, ad esempio, 0.545% il valore a
rischio della posizione con il 95% di probabilità è:
Valore a rischio totale (VaR) = 1177.6 euro × 0.545% × 1.65 = 10.58 euro
Non si perderanno dunque entro il giorno successivo, con il 95% di probabilità, più di 10.58 euro.
Esempio con due fattori di rischio
S’ipotizzi ora di detenere i medesimi 1000 dollari americani non più in valuta ma in Treasury Bills,
cioè in titoli di Stato americani. Si vuole anche in questo caso determinare quale sarà la massima
perdita potenziale in euro entro il giorno successivo con una probabilità del 95%.
In questo caso non si ha solamente il rischio cambio ma anche il rischio tasso in quanto il valore del
titolo varia in base all’andamento dei tassi d’interesse, per cui il rischio totale dei 1000 dollari in
Treasury Bills dovrà essere calcolato sulla base delle due componenti di rischio.
Supponendo che il tasso d’interesse abbia una volatilità dello 0.602% si ha:
Valore a rischio del tasso d’interesse = 1177.6 euro × 0.602% × 1.65 = 11.69 euro
Valore a rischio del tasso di cambio = 1177.6 euro × 0.545% × 1.65 = 10.58 euro
Il VaR totale della posizione non è dato dalla somma dei due valori a rischio, in quanto la
correlazione tra il tasso di cambio e il tasso d’interesse è rilevante. Supponendo una correlazione
negativa pari a –0.25% si ha:
VaR totale =
2
2
VaRRF
1 + VaR RF 2 + 2 ρVaR RF 1VaR RF 2
I valori VaRRF1 e VaRRF2 sono i Value at Risk dei due risk factor e ρ è il coefficiente di correlazione. La
formula evidenzia il fatto che il VaR totale non è dato dalla somma dei VaR delle singole posizioni,
ma tiene conto della correlazione tra i diversi fattori di rischio. In questo caso il VaR è inferiore alla
somma dei due VaR in quanto la correlazione è negativa tra i due fattori di rischio è negativa.
Sostituendo nella formula i valori dell’esempio numerico si ottiene il VaR totale di portafoglio:
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VaR totale =
((11.692^2) + (10.582^2) - (2 * 0.0025 * 11.69 * 10.58)) = 15.75 euro
Il valore a rischio totale stimato mette in evidenza che entro il giorno successivo non si perderanno,
con una probabilità del 95%, più di 15.75 euro.
Bibliografia:
JP Morgan/Reuters, “RiskMetricsTM - Technical Document”, Fourth Edition, New York, December
17, 1996.
Philip Jorion, “Value at Risk, the New Benchmark for Managing Financial Risk”, 1996.
Nota bibliografica: un'affascinante storia del rischio è stata scritta da Peter Bernstein, "Against
the Gods: The remarkable story of risk", John Wiley&Sons, New York, 1996.
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