Equazioni di II grado

Equazioni di II° grado
Equazione di II grado completa
Un’equazione di II° grado è un’equazione che, ridotta a forma normale, è del tipo + + = 0
con ≠ 0 .
Per risolverla occorre calcolare il discriminante dell’equazione ∆ = − 4 .
Se ∆> 0 l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte
, =
∓√∆
Se ∆< 0 l’equazione ammette due soluzioni complesse
, =
∓√∆
Se ∆= 0 l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti
Dimostrazione
Data l’equazione: + + = 0
∙ +
+
∙ + +
=0
−
raccogliamo a fattor comune il coefficiente :
+ =0
+ =
dividiamo per ≠ 0
effettuiamo i calcoli a secondo membro
poniamo ∆ = − 4
∆
! ∆> 0
⇒
! ∆= 0
⇒
! ∆< 0
⇒
raggruppiamo il quadrato di binomio
+ = − + =
aggiungiamo e sottraiamo
∙ + − + = 0
, = −
Distinguiamo i tre casi:
+
∆
= ±% ;
2
4
=−
∆
( =
;
2
4
∄ ∈ +
' +
' +
√∆
±
;
2 2
( = 0;
2
=
+
− ± √∆
2
=0
2
, = −
2
Formula ridotta
Quando nell’equazione + + = 0 il coefficiente è un numero pari, è utile applicare la formula ridotta:
∆
=' ( −
4
2
Dimostrazione
, =
Consideriamo la formula risolutiva , =
, =
, =
-
(
.
∓,'
∓, =
- ∓√ ∙ , ponendo
∆
=
∆
− 2 ∓ ,4
∓√∆
=
- ∓√ ∓, = − raccogliamo 4 sotto il segno di radice
dividiamo numeratore e denominatore per 2
si ottiene , =
∆
.
∓,
Formula ridottissima
Se è pari e = 1 si ottiene la formula ridottissima
Matematica
, = − ± ,
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∆
1
Equazione incompleta pura (0 = 1)
L’equazione incompleta pura è del tipo + = 0 .
Se e sono discordi, l’equazione ammette due soluzioni reali e opposte
, = ∓,−
Se e sono concordi, l’equazione ammette due soluzioni complesse
, = ∓2 , .
Equazione incompleta spuria (3 = 1)
L’equazione incompleta spuria è del tipo + = 0 .
Essa ammette sempre una soluzione = 0 .
Per risolverla occorre:
1. raccogliere a fattor comune l’incognita =0
= −
=0
+ = 0
2. applicare la legge dello annullamento del prodotto ∙ 4 + 5 = 0
Equazione incompleta monomia (0 = 1 ∧ 3 = 1)
L’equazione incompleta monomia è del tipo = 0
Essa ammette la soluzione doppia = 0 .
Esempi
8
, = ± , = ±
8
, = ± ,− = ±
1. 2 − 9 = 0 ;
2 = 9 ;
= + ;
2. 2 + 9 = 0 ;
2 = −9 ;
= − ;
3. 2 + 7 = 0 ;
4. 5 = 0 ;
5. 2 − 3 + 1 = 0 ;
,
=0
2 + 7 = 0
, = 0 .
= 0
8
9
√
=±
9
√
9
∙
√
√ √
=±
9
∙
=±
√
√ √
9√
=±
9√ ;
= − ∆ = 2 − 4 = 9 − 4 ∙ 2 = 1
3−1 1
=
=
− ∓ √∆
3 ∓ √1
4
2
=
=
=
3
+
1
2
2∙2
=
=1
4
6. 4 x 2 − 12 x + 9 = 0 ;
x1,2 =
∙ 42 + 75 = 0
= 0 ;
8
−b
12
3
=
=
2⋅a
2⋅4
2
Matematica
∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = ( −12 )2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 9 = 144 − 144 = 0 ;
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2
Relazioni fra le radici e i coefficienti di un’equazione di II grado
Data l’equazione + + = 0 , con ∆≥ 0 ,
+ =
la somma delle radici è:
il prodotto delle radici è:
∙ =
√∆
+
A√∆
√∆ A√∆
∙
=
=
√∆A√∆
45 B√∆C
=
=
∆
=−
=
B C
Relazioni fra la somma e il prodotto delle radici e l’equazione di II grado
Data l’equazione + + = 0
dividiamo tutti i termini per ≠ 0 ,
+ + = 0 ;
− − + = 0
− 4 + 5 + ∙ = 0
− D + E = 0
ricordando che
+ = −
ponendo + = D
e
e
= = ∙ =
∙ = E
Costruzione dell’equazione di II grado che ammette radici assegnate
Se si vuole determinare un’equazione di II grado che abbia come soluzioni i due numeri reali e , basta
porre:
4 − 5 ∙ 4 − 5 = 0 .
Esempio
Determinare l’equazione di II grado che ha come radici i numeri 3 e 5
Soluzione 1
L’equazione si ottiene scrivendo: 4 − 5 ∙ 4 − 5 = 0
4 − 35 ∙ 4 − 55 = 0
− 8 + 15 = 0
⟹
− 5 − 3 + 15 = 0
Soluzione 2
Applicando la formula − 4 + 5 + ∙ = 0 si ha:
− 43 + 55 + 3 ∙ 5 = 0
⟹
− 8 + 15 = 0
Fattorizzazione del trinomio di II grado
Dato il trinomio + + Se ∆> 0 raccogliendo a fattor comune a ≠ 0
+ + = ' + + ( = ∙ − '− ( + I
4
5
J
4
= ∙
− + + ∙ = ∙
− − + ∙ 5 = ∙ I ∙ 4 − 5 − ∙ 4 − 5J =
= ∙ 4 − 5 ∙ 4 − 5 .
Pertanto:
Se ∆> 0 si ha: + + = 4 − 54 − 5
Se ∆= 0 si ha: + + = 4 − 54 − 5 = 4 − 5
Se ∆< 0 il trinomio è irriducibile.
Matematica
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3
Esempio 1
3 − 5 + 2
3 − 5 + 2 = 0 ;
∆= − 4 = 4−55 − 4 ∙ 3 ∙ 2 = 1
5−1 2
=
− ∓ √∆ 5 ∓ √1 5 ∓ 1
6
3
, =
=
=
=
5
+
1
6
2
2∙3
=1
6
Pertanto:
2
3 − 5 + 2 = 3 ' − ( 4 − 15 = 43 − 254 − 15
3
Esempio 2
4 − 3 − 2
4 − 3 − 2 = 0 ;
∆= − 4 = 4−35 − 4 ∙ 4 ∙ 4−25 = 41
3 − √41
− ∓ √∆ 3 ∓ √41
8
, =
=
=
2
2∙4
3 + √41
8
Pertanto:
4 − 3 − 2 = 4 K −
3 − √41
3 + √41
L K −
L
8
8
Esempio 3
4 − 12 + 9
4 − 12 + 9 = 0 ;
−
12
3
, =
=
=
2 2 ∙ 4 2
Pertanto:
∆= − 4 = 4−125 − 4 ∙ 4 ∙ 9 = 0
3 4 − 12 + 9 = 4 ' − ( = 42 − 35
2
Matematica
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4
La regola dei segni di Cartesio
Se un'equazione di secondo grado + + = 0
soluzioni senza risolvere l'equazione.
ha soluzioni reali, è possibile determinare i segni di tali
È sufficiente analizzare i segni dei coefficienti a, b, c dell’equazione, come nel procedimento sotto illustrato:
Conclusioni
∙ =
∆> 0
+ = −
+
+
+
+
Le due soluzioni sono negative
+
+
+
+
Le due soluzioni sono positive
Una soluzione positiva e una soluzione negativa
+
+
la soluzione negativa ha valore assoluto maggiore
Una soluzione positiva e una soluzione negativa
+
+
la soluzione positiva ha valore assoluto maggiore
Si dice che c’è una permanenza fra due segni consecutivi dei coefficienti a, b e c se essi sono concordi.
Si dice che c’è una variazione fra due segni consecutivi dei coefficienti a, b e c se essi sono discordi.
Dall’esame della tabella si conclude che:
In un'equazione di secondo grado, che ha soluzioni reali, ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa e ad
ogni variazione una soluzione positiva. Il valore assoluto della positiva è maggiore del valore assoluto della negativa
se la variazione precede la permanenza, in caso contrario il valore assoluto della negativa è maggiore del valore
assoluto della positiva.
Se ∆= 0 il trinomio ax + bx + c è un quadrato di binomio e le due soluzioni coincidono. I loro segni sono o entrambi
positivi o entrambi negativi.
Esempio 1
L’equazione 3 − 5 + 2 = 0 ha:
−
−
il discriminante ∆= − 4 = 4−55 − 4 ∙ 3 ∙ 2 = 1 > 0
presenta due variazioni (+3, −5, +2).
Pertanto l’equazione ha due soluzioni positive.
Esempio 2
L’equazione 5 − 3 − 2 = 0 ha:
−
−
il discriminante ∆= − 4 = 4−35 − 4 ∙ 5 ∙ 4−25 = 49 > 0
presenta una variazione e una permanenza (+5, −3, −2).
Pertanto l’equazione ha una soluzione positiva e una soluzione negativa. Il valore assoluto della positiva è maggiore
del valore assoluto della negativa
Esempio 3
L’equazione 2 + 5 + 2 = 0 ha:
−
−
il discriminante ∆= − 4 = 5 − 4 ∙ 2 ∙ 2 = 9 > 0
presenta due permanenze (+2, +5, +2).
Pertanto l’equazione ha due soluzioni negative.
Esempio 4
L’equazione 2 + 3 − 5 = 0 ha:
−
−
il discriminante ∆= − 4 = 3 − 4 ∙ 2 ∙ 4−55 = 49 > 0
presenta una permanenza e una variazione (+2, +3, −5).
Pertanto l’equazione ha una soluzione positiva e una soluzione negativa. Il valore assoluto della negativa è maggiore
del valore assoluto della positiva.
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5