Variabili casuali discrete e continue File

7 -9 maggio 2014
Lezione 15:
Variabili casuali discrete e continue
Dott.ssa Rita Allais PhD
Dipartimento di scienze economico-sociali e matematico-statistiche
Università degli Studi di Torino
PER USO DIDATTICO INTERNO
Variabili casuali (o aleatorie)
Esperimento E: lancio di una moneta per due volte consecutive.
Conteggiare, per ogni esito dell’esperimento, il numero di volte che appare testa
T
X (⋅)
T
Applicazione X che ad ogni
R
ω1
T
C
evento elementare dello spazio
degli eventi Ω associa uno ed un
solo numero reale aleatorio
2
ω2
C
T
ω3
1
0
C
ω4
Ω
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X(ω1)
=2
X(ω2)
=1
X(ω3)
=1
X(ω4)
=0
C
La variabile casuale è una grandezza che, a fronte di un
esperimento casuale, può assumere uno qualsiasi dei suoi
valori possibili in modo non prevedibile a priori
Variabili casuali
2
Variabili casuali (v.c.)
Il codominio dell’applicazione X costituisce un nuovo spazio dei possibili esiti
che riassume, mediante X , lo spazio Ω associato all’esperimento casuale E.
X −1 (⋅)
R
ω1
I valori distinti assunti dalla
2
ω2
v.c. X sono detti realizzazioni
o determinazioni della v. c.
1
ω3
0
ω4
Ω
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Variabili casuali
{ω1}
X-1 (2)
=
X-1 (1)
= {ω2 , ω3 }
X-1 (0)
=
{ω4}
3
Definire una nuova algebra…
Poiché il codominio R della v.c. X costituisce un nuovo spazio dei
possibili esiti, per definire su di esso una misura di probabilità
occorre associargli un’algebra degli eventi. L’algebra associata ad R
sarà l’algebra di Borel BR generata a partire dagli intervalli ]a,b].
In sostanza una variabile casuale permette di trasportare la
modellizzazione di un esperimento casuale E in un nuovo ambiente.
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Variabili casuali
4
Variabile casuale
Considerato un esperimento casuale E, lo spazio probabilizzato (Ω
Ω, A ,
P) ad esso associato e lo spazio probabilizzabile (R , BR), si definisce
variabile casuale l’applicazione X che ad ogni evento elementare ωα di
Ω
associa un numero reale X(ωα) = xα , detto realizzazione della
variabile casuale e che sia tale che valga la proprietà di misurabilità
∀ B ∈BR X −1 (B ) = {ωα : X (ωα )∈ B} = A ∈ A
Lo spazio probabilizzato generato dalla v.c. X è costituito dalla terna
(R, BR, PX) dove
(
)
∀ B ∈BR PX (B) = P X −1(B) = P ({ωα : X (ωα ) ∈ B})
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Variabili casuali
5
Funzione di ripartizione
Data la v.c. X e lo spazio (R , BR , PX ), la funzione di ripartizione
della variabile casuale X è l’applicazione FX : R → R , tale che
∀ x ∈ R FX (x ) = PX
(] − ∞ ; x]) = P ({ωα : X (ωα ) ≤ x})
Essa esprime per ogni x la massa di probabilità cumulata
nell’intervallo ] − ∞ ; x ]
Inoltre:
FX ( x) = 0
‫ ٭‬xlim
→ −∞
lim FX ( x ) =1
x → +∞
FX ( x + h ) = FX ( x )
‫ ٭‬continua a destra: hlim
→0
+
‫ ٭‬monotona non decrescente: F X (a ) ≤ F X (b )
se a < b
‫∀٭‬a, b∈R a < b P(]a, b]) = P(]− ∞, b]) − P(]− ∞ , a]) = F (b) − F (a)
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Variabili casuali
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Misura di probabilità indotta da X
E: {Lancio di 2 monete}. X = # di teste.
Calcolare PX (x) , ovvero P(X = x) , per tutti i valori di x:
Distribuzione di Probabilità
Probabilità
0
1/4 = 0.25
1
2/4 = 0.50
2
1/4 = 0.25
Probabilità
Valori di x
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0.50
0.25
Variabili casuali
0
1
2
x
7
Funzione di ripartizione
E: {Lancio di 2 monete}
X(ωα) = # di teste.
Calcolare la funzione di ripartizione FX (x)
P(x)
0.25
0.50
0.25
x <0
 0
0.25 0≤ x <1

FX = 
0.75 1≤ x < 2
 1
x ≥2
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Variabili casuali
Funzione di ripartizione
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
F(X)
X
0
1
2
-2
-1
0
1
2
3
4
X
8
Introduzione alle Distribuzioni di
Probabilità
Variabili
Aleatorie
Variabili Aleatorie
Discrete
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Variabili Aleatorie
Continue
Variabili casuali
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Variabili casuali discrete
Una v.c. si dice discreta se la sua funzione di ripartizione è
continua eccetto che nell’insieme discreto delle sue determinazioni
{x1, x2, . . .} per le quali si ha F(xi) - F(xi-h) = p(xi) >0 con h→0+
Le coppie {xi ; p(xi) } definiscono allora la funzione di
distribuzione di probabilità della v. c. discreta X, p: R → [0,1]
con la seguente interpretazione:
p(xi) = P(X = xi)
per i = 1, 2, . . .
FX ( x ) = PX (] − ∞ ; x ]) =
∑ p (x ) = 1
∑ p (x )
xi ≤ x
i
i
i
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Variabili casuali
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Valore medio di una v.c. discreta
Valore medio o media
µ X = E[ X ] = ∑ xi p( xi )
i
Esempio: Lancio 2 monete, X = # di teste,
calcoliamo il valore atteso di X:
x
E[ X ] = 0 ⋅ 0,25 +1⋅ 0,50 + 2 ⋅ 0,25 = 1
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Variabili casuali
P(x)
0
0.25
1
0.50
2
0.25
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Valore Atteso di una v.c. discreta
Funzione di variabile casuale:
Data la v.c. X: Ω → R e la funzione reale continua g(.): R → R ,
la trasformata Y = g(X): Ω → R è a sua volta una v.c. con una
propria misura di probabilità PY.
Valore atteso (o speranza matematica) di una v.c. discreta
Data una v.c. X ed una funzione continua g(.), si definisce valore
atteso della v.c. g(X) il numero reale, se esiste finito
E sta per
Expected value
E [g ( X )] =
∑ g (x ) p (x )
i
i
i
Se g(X) = X allora il valore atteso coincide con il valor medio
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Variabili casuali
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Varianza e Scarto Quadratico Medio
Varianza di una variabile aleatoria discreta X
Se si pone g(X) = (X – E (X) )2 allora E [g(X)]
[
]
Var [X ] = σ = E (X - µX ) = ∑ ( xi − µ X ) p ( xi )
2
X
2
2
i
Scarto Quadratico Medio di una v. c. discreta X
σ = σ = ∑ ( xi − µ X ) p ( xi )
2
2
i
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Variabili casuali
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Esempio Scarto Quadratico Medio
Esempio: Lancio 2 monete, X = # di teste
(E(x) = 1)
x
0
1
2
P(x)
0.25
0.50
0.25
σ = (0 −1)2 (0.25)+ (1−1)2 (0.50)+ (2 − 1)2 (0.25) = 0.50 = 0.707
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Variabili casuali
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Momenti di una v.c. discreta
Data la v.c. X e la trasformata g(X) = Xr , con r∈ N, si dicono
momenti di ordine r i corrispondenti valori attesi di g(X).
µXr = E [X r ]
Altro modo di calcolare la varianza:
[
] [
]
E ( X − E[X ]) = E X − 2 X E[X ] + E[X ] =
2
[ ]
= E[X ] − E[X ]
2
2
= E X − 2 E[X ] + E[ X ] =
2
2
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2
2
2
= µ − (µ X )
2
X
Variabili casuali
2
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Funzione lineare di v.c.
Sia X una variabile aleatoria con media µ x e varianza σ2x
Siano a e b due costanti.
La quantità Y = g(X) = a + b X è ancora una v.c. ; allora
la media e la varianza di Y sono:
µY = E (a + bX) = a + b µ X
σ 2 Y = Var(a + bX) = b 2 σ 2X
Lo scarto quadratico medio di Y è allora
σY = b σ X
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Variabili casuali
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Variabili casuali continue
In una gara di bocce, sia X la
variabile casuale che misura la
distanza in cm fra il boccino e la
boccia lanciata dal giocatore entro un
raggio di 4 cm.
Consideriamo due giocatori:
Esperto
Non sbaglia mai un lancio
Neofita
Dove va, va!
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Come possiamo rappresentare i
loro rispettivi lanci delle bocce?
Variabili casuali
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Esempi di v.c. continue
Neofita
Densità d i pro babilità
Giocatore neofita
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
4
5
Distanza in cm dal boccino
Giocatore esperto
1,2
d e n s i tà d i p r o b a b i l i tà
Esperto
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
Distanza in cm dal boccino
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Variabili casuali
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Variabili casuali continue
Una v. c. X si dice continua se la sua funzione di ripartizione FX(x)
non presenta punti di discontinuità, al variare di x da − ∞ a + ∞
e se esiste la funzione di densità di probabilità fX(x): R → R per
cui vale la relazione
FX (x ) = PX (] − ∞ ; x ]) =
∫
x
−∞
f X (t ) dt
La funzione di densità di probabilità fX(x) è la derivata della
funzione di ripartizione FX(x)
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Variabili casuali
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Funzione di Densità di Probabilità
La funzione di densità di probabilità f(x), di una v.c. X
continua, possiede le seguenti proprietà:
1.
f(x) ≥ 0 per qualunque valore di x
2.
L’area sottesa alla funzione di densità di probabilità f(x) su
tutto l’intervallo dei valori ammissibili di X , vale 1
3.
La probabilità che X assuma valori in un intervallo (a,b] è
l’area sottesa alla funzione di densità sull’intervallo (a,b]
b
P (a < X ≤ b ) = ∫ f ( x ) dx = F X (b ) − F X (a )
a
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Variabili casuali
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Valore medio di una v.c. continua
La media della v.c. X (simbolo µX) è:
+∞
µ
X
= ∫ x f X ( x ) dx
−∞
La varianza della v.c. X (simbolo σX2 ) , è definita come
il valore medio del quadrato degli scarti della variabile
dalla propria media
σ
2
X
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+∞
= E[(X − µ X ) ] = ∫ (x - µ x ) f X ( x ) dx
2
2
−∞
Variabili casuali
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Valore Atteso di una v.c. continua
Funzione di variabile casuale:
Data la v.c. X: Ω → R e la funzione reale continua g(.): R → R ,
la trasformata Y = g(X): Ω → R è a sua volta una v.c. con una
propria misura di probabilità.
Valore atteso (o speranza matematica) di una v.c. discreta
Data una v.c. X ed una funzione continua g(.), si definisce valore
atteso della v.c. g(X) il numero reale, se esiste finito
E sta per
Expected value
E [g ( X )] =
∫
+∞
−∞
g ( x ) f X ( x ) dx
Se g(X) = X allora il valore atteso coincide con il valor medio
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Variabili casuali
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Momenti di una v.c. continua
Data la v.c. X e la trasformata g(X) = Xr , con r∈ N, si dicono
momenti di ordine r i corrispondenti valori attesi di g(X).
µXr = E [X r ]
Altro modo di calcolare la varianza:
[
] [
]
E ( X − E[X ]) = E X − 2 X E[X ] + E[X ] =
2
[ ]
= E[X ] − E[X ]
2
2
= E X − 2 E[X ] + E[ X ] =
2
2
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2
2
2
= µ − (µ X )
2
X
Variabili casuali
2
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Funzione lineare di v.c.
Sia Y = a + bX , dove X ha media µX e
varianza σX2 , e a e b sono costanti
Allora la media di Y è
µ Y = E(a + bX) = a + bµ X
la varianza di Y è
σ
2
Y
= Var(a + bX) = b σ
2
2
X
lo scarto quadratico medio di Y è
σY = b σX
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Variabili casuali
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Variabili standardizzate
Un importante caso speciale dei precedenti risultati è la
variabile aleatoria standardizzata
X − µX
Z=
σX
la quale ha media 0 e varianza 1
Z =
E [Z
V
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X − µ
σ
]=
[Z ] =
−
= −
X
µ
σ
1
σ
X
2
X
X
+
X
σ
2
X
µ
σ
µ
σ
X
+
X
X
1
σ
X
X
= 0
X
= 1
Variabili casuali
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Momenti di una v.c.
Data la v.c. X e la trasformata g(X) = Xr , con r∈ N, si dicono
momenti di ordine r i corrispondenti valori attesi di g(X).
µXr = E [X r ]
Ovvero per le v.c. discrete:
EX r  =
 
∑
( )
xir p xi
i
Per le v.c. continue:
r
EX =
 
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∫
+∞
−∞
()
x r f X x dx
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Variabile casuale di Bernoulli
Esperimento con due soli esiti possibili (prove
dicotomiche):
s = insuccesso
s = successo e
cui associamo i valori
X = 1 se successo
X = 0 se insuccesso
Le probabilità associate agli eventi elementari
P(s) = π
P( s ) = 1-π
Allora la Funzione di Probabilità di Bernoulli è
1
X ≡
π
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0 

1−π 
Variabili casuali
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Media e Varianza di una v.c. di Bernoulli
La media è µ = π
µ = E(X) = ∑ x i p(x i ) = (0)(1 − π ) + (1)π = π
i
La varianza è σ2 = π (1 – π)
σ 2 = E[(X − µ) 2 ] = ∑ (x i − µ) 2 p(x i )
i
= (0 − π ) 2 (1 − π ) + (1 − π ) 2 π
[
]
= (1 − π ) π 2 + π (1 - π ) = π (1 − π )
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Variabili casuali
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Esempio v.c. Bernoulli
Da indagini precedenti è noto che la percentuale dei clienti
soddisfatti, utenti di un certo servizio, è pari al 70%.
Per descrivere la soddisfazione X di un qualsiasi abbonato al
suddetto servizio, possiamo far ricorso alla v.c. di Bernoulli:
E[X] = 0.7
V[X] = 0.21
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0 
 1
X ≡ 

 0 .7 0 .3 
percentuale clienti soddisfatti = 70%
σ = 0.46
Variabili casuali
29
Prove ripetute indipendenti e non
Può capitare di dover affrontare situazioni nelle quali l’interesse è rivolto all’esito di ripetizioni
successive di uno stesso esperimento casuale. Per descrivere esperimenti che consistono in prove
ripetute ci serviamo degli esempi semplici ed intuitivi di estrazioni casuali di palline da un’urna.
Molti casi reali di prove ripetute sono riconducibili a modelli di estrazione dall’urna, si pensi ad
esempio al sorteggio di nominativi da un database, all’estrazione casuale di pezzi prodotti da un
processo produttivo o a quella di fatture emesse da un ufficio contabile. Consideriamo dunque
un’urna composta da m = 4 palline indistinguibili al tatto e numerate da 1 a 4 e definiamo due
esperimenti casuali:
E1 : estrazione successiva di due palline rimettendo la prima nell’urna prima di estrarre la
seconda, estrazione con rimessa PROVE RIPETUTE INDIPENDENTI
E2 : estrazione successiva di due palline senza rimettere la prima nell’urna prima di estrarre
la seconda, estrazione senza rimessa PROVE RIPETUTE DIPENDENTI
Si tratta in entrambi i casi dell’esperimento E = estrazione di una pallina da un’urna ripetuto due
volte. Tuttavia se nel caso di estrazione con rimessa l’esperimento E viene ripetuto due volte
nelle stesse condizioni, nel caso di estrazione senza rimessa, essendo il contenuto dell’urna
modificato alla seconda estrazione, l’esperimento E alla seconda ripetizione è soggetto a
condizioni differenti.
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Variabili casuali
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Lo spazio dei possibili esiti nel caso di prove ripetute
La prima sostanziale differenza tra prove ripetute indipendenti e dipendenti si
ha nei loro rispettivi insiemi dei possibili esiti i cui elementi, pur essendo per
entrambi coppie di possibili esiti dell’esperimento E, differiranno in
numerosità. Se S={e1, e2, e3, e4} è l’insieme dei possibili esiti
dell’esperimento E, gli insiemi dei possibili esiti degli esperimenti E1 ed E2
sono rispettivamente:
Schematicamente possiamo visualizzare gli elementi dei due insiemi: i puntini
indicano la presenza della coppia nell’insieme.
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Variabili casuali
31
La probabilità nel caso di prove ripetute
La seconda differenza è nel modo di attribuire la probabilità ai loro rispettivi
eventi elementari
Se P(ei ) = pi (i = 1,...,4) sono le probabilità degli eventi elementari
dell’esperimento E
Nel caso E1 di prove ripetute indipendenti: per ciascuna coppia dell’insieme dei
possibili esiti definiamo la probabilità degli eventi elementari come il prodotto
delle probabilità degli elementi che la compongono:
)
(
P (( ei , e j )) = P ei ∩ e j = P ( ei ) ⋅ P ( e j ) = pi ⋅ p j
Nel caso E2 di prove ripetute dipendenti: per ciascuna coppia dell’insieme dei
possibili esiti definiamo la probabilità degli eventi elementari come:
(
)
P (( e i , e j )) = P e i ∩ e j = P ( e i ) P ( e j | e i )
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Esempio prove ripetute
P(rosso) = 3/10
P(giallo) = 2/10
P(blu) = 5/10
Estrazione dall’urna di due palline con reimmissione.
Qual è la probabilità di estrarre due palline rosse?
P(1° estratta rossa, 2° estratta rossa) = 3/10 * 3/10 = 9/100 = 0,09
Estrazione dall’urna di due palline senza reimmissione.
Qual è la probabilità di estrarre due palline rosse?
P(1° estratta rossa, 2° estratta rossa) = 3/10 * 2/9= 1/15 = 0,067
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Prove ripetute indipendenti di tipo Benoulliano
Quando le prove consistono nel ripetere in condizioni identiche un esperimento che ha solo due
possibili esiti si parla di prove ripetute bernoulliane. Molti dei casi reali di prove ripetute
bernoulliane sono paragonabili all’esperimento del lancio ripetuto di una moneta che ha come
eventi elementari le sequenze dei due possibili esiti Testa e Croce.
Esempio: un esperimento casuale consiste nel ripetere m = 3 volte il lancio di una moneta. Si
vuole conoscere la probabilità di ottenere due teste nelle due situazioni di:
1.“moneta regolare”
2. “moneta truccata” in modo che la Testa abbia probabilità pari al doppio di quella croce.
diagramma ad albero che fornisce in modo
schematico le 8 sequenze dell’insieme dei
possibili esiti S.
L’evento
di
interesse
consiste
nel
sottoinsieme A = {TTC,TCT,CTT}
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Variabili casuali
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Esempio: determinazione della probabilità per le prove Bernoulliane
Nel caso di “moneta regolare”:P(T) = P(C) = 1/2
P(A) = P(TTC) + P(TCT) + P(CTT) =
= P(T)⋅ P(T)⋅ P(C) + P(T)⋅ P(C)⋅ P(T) + P(C)⋅ P(T)⋅ P(T) =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 3
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 3 3 = = 0.375
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 8
Nel caso di “moneta truccata”, sapendo che P(T) = 2 · P(C ) = 2 · p, imponendo il terzo
assioma abbiamo:
1=P(T)+P(C)=2·p+p → p=1/3 → P(T)=2/3, P(C)=1/3
P( A) = P(TTC ) + P(TCT ) + P(CTT ) =
= P(T)⋅ P(T)⋅ P(C) + P(T)⋅ P(C)⋅ P(T) + P(C)⋅ P(T)⋅ P(T) =
 2 2 1 4
2 2 1 2 1 2 1 2 2
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 3  = = 0.44
 3 3 9
3 3 3 3 3 3 3 3 3
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Variabili casuali
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Introduzione alla binomiale: prove ripetute Bernoulliane
Posto che la percentuale dei clienti soddisfatti abbonati ad un dato servizio è
pari al 70%, se si contattano a caso 5 di questi clienti, qual è la probabilità che:
siano tutti soddisfatti
(0.7)5
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.7
0.7
0.3
0.3
0.3
siano tutti insoddisfatti
(0.3)5
i primi due siano soddisfatti
(0.7)2 (0.3)3
due clienti su cinque siano soddisfatti
10 (0.7)2 (0.3)3
 5  5!
  =
= 10
 2 2! 3!
7/05/2014
… ...
Variabili casuali
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Sequenze di x Successi in n Prove
Il numero di sequenze con x successi in n prove ripetute
indipendenti è:
C nx
n
n!
=   =
 x  x!(n − x)!
Dove n! = n·(n – 1)·(n – 2)· . . . ·1
e
0! = 1
Queste sequenze sono mutuamente esclusive, poichè non se
ne possono verificare due contemporaneamente
7/05/2014
Variabili casuali
37
Caratteristiche della v.c. Binomiale
Consideriamo una sequenza di n prove aleatorie, del tipo:
lancio di un dado ....., estrazione di una carta…,
ispezione di un prodotto industriale …,
spedizione di un preventivo ad un cliente,
………….
che supponiamo possano dare solo uno dei due possibili esiti
S = Successo o S = Insuccesso
con probabilità, costanti, di verificarsi
P(S) = π
e
P( S ) = 1 - π
Si tratta di prove (dicotomiche) ripetute e indipendenti, con le quali è
possibile definire una nuova grandezza X :
X = ( N° di volte che appare l’evento S su n prove)
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Variabili casuali
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Variabile casuale Binomiale
Funzione di probabilità Binomiale
n!
x
n−x
PX (x) =
π (1- π)
x ! (n − x )!
X è la v.c. che esprime il numero di successi in una serie di n prove
bernoulliane indipendenti:
p(x) = probabilità di x successi in n prove, con probabilità di
successo π in ogni singola prova
x = numero di ‘successi’ nella serie di n prove, (x = 0, 1, 2, ..., n)
n
= numero complessivo della serie di prove o di osservazioni
π
= probabilità di “successo” in ogni singola prova
7/05/2014
Variabili casuali
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Media e Varianza della v.c. Binomiale
Media
µ = E(X) = nπ
Varianza e Scarto Quadratico Medio
σ = nπ (1 - π )
2
σ=
7/05/2014
n π (1 - π )
Variabili casuali
40
Variabile casualeNormale (di Gauss)
2
‘Forma campanulare’
X ~ N(µ,σ )
Simmetrica rispetto a x=µ
µ
Funzione di densità di probabilità
Presenta un massimo assoluto in
corrispondenza di x=µ
µ
f(x)
Media, Mediana e Moda coincidono
Presenta due flessi in corrispondenza
a x=µ
µ−σ e x=µ+σ
µ+σ
La tendenza centrale è determinata
dal valor medio µ
La variabilità è determinata dallo
scarto quadratico medio σ
µ e σ sono i due parametri che
individuano completamente una v.c.
Normale
7/05/2014
Variabili casuali
σ
µ
x
Media
= Mediana
= Moda
41
Densità di Probabilità Normale
La formula per la funzione di densità di
probabilità normale è
1
− (x − µ)
f(x) =
e
σ 2π
Dove
2
/2σ 2
e = la costante matematica approssimata da 2.71828
π = la costante matematica approssimata da 3.14159
µ = la media della v.c. X
σ = lo scarto quadratico medio della v.c. X
x = qualunque valore assunto dalla variabile continua, −∞ < x < ∞
7/05/2014
Variabili casuali
42
La Forma della Distribuzione Normale
f(x)
Cambiando µ la
distribuzione si sposta
verso sinistra o destra
σ
Cambiando σ aumenta o
diminuisce la dispersione.
x
µ
Date la media µ e la varianza σ identifichiamo la
distribuzione normale con la notazione
X ~ N(µ,σ 2 )
7/05/2014
Variabili casuali
43
Distribuzioni Normali
Variando i parametri µ e σ, otteniamo diverse
distribuzioni normali
7/05/2014
Variabili casuali
44
Funzione di Ripartizione Normale
Per una v.c. normale X~N(µ, σ2), la funzione di
ripartizione è
x
1
FX ( x ) = P( X ≤ x ) = ∫
e
− ∞ σ 2π
f(x)
1 (x− µ )
−
2 σ2
2
dx
( )
FX x0 = P(X ≤ x0 )
0
7/05/2014
Variabili casuali
x0
x
45
Calcolo delle Probabilità per la v.c. Normale
La probabilità relativa ad un intervallo di valori
(a,b) è misurata dall’area sottesa alla curva
P(a < X < b) = F(b) − F(a)
Infatti…
a
7/05/2014
µ
b
Variabili casuali
x
46
Calcolo delle Probabilità per la
Distribuzione Normale
F(b) = P(X < b)
a
µ
b
a
µ
b
a
µ
x
F(a) = P(X < a)
x
P(a < X < b) = F(b) − F(a)
7/05/2014
Variabili casuali
b
x
47
La v.c. Normale Standard
Qualunque distribuzione normale (con qualunque
combinazione di media e varianza) può essere
trasformata nella distribuzione normale standard (Z), con
media 0 e varianza 1
Z ~ N(0,1)
Dobbiamo trasformare la variabile X nella variabile Z sottraendo la
media di X e dividendo per il suo scarto quadratico medio
φ ( z)
X − µ
Z =
σ
Φ (z)
1
0,75
0,5
0,25
0
z
0
z
7/05/2014
Variabili casuali
48
Esempio
Se X ha una distribuzione normale con media
100 e scarto quadratico medio 50, il valore di
Z corrispondente a X = 200 è
X − µ 200 − 100
Z=
=
= 2.0
σ
50
Ciò significa che X = 200 è due scarti
quadratici medi (2 incrementi di 50 unità) al di
sopra del valore medio 100.
7/05/2014
Variabili casuali
49
Tavola della normale standard
La tavola della Normale Standard fornisce i
valori della funzione di ripartizione della
distribuzione normale con media 0 e varianza 1.
Per un dato valore a di Z, la tavola fornisce Φ(a)
(ovvero l’area sottesa alla curva da meno infinito
al valore a)
Z ~ N (0,1)
Φ(a) = P(Z ≤ a)
0
7/05/2014
a
Variabili casuali
Z
50
Calcolo delle Probabilità Normali
 a −µ
b − µ 

P(a < X < b) = P
<Z<


σ 
 σ
 a −µ 
 b−µ 



=Φ
− Φ




σ
σ




f(x)
a
a −µ
σ
7/05/2014
µ
b
x
0
b −µ
σ
Z
Variabili casuali
51
La Tavola della Normale Standard
Per valori negativi di Z, usiamo il fatto che la
distribuzione è simmetrica per trovare la
probabilità desiderata:
.9772
Esempio:
P(Z < -2.00) = Φ (-2) =
= 1 - Φ (2) = 1 – 0.9772 =
= 0.0228
.0228
0
Z
.9772
.0228
-2.00
7/05/2014
2.00
Variabili casuali
0
Z
52
La regola del 3 σ
P (-1 ≤ Z ≤ 1) = 0,6827
P (-2 ≤ Z ≤ 2) = 0,9545
P (-3 ≤ Z ≤ 3) = 0,9973
7/05/2014
Variabili casuali
53
Trovare il Valore di X Corrispondente ad
una Nota Probabilità
I passi per trovare il valore di X
corrispondente ad una nota probabilità:
1. Trovare il valore di Z corrispondente alla
probabilità nota α, ovvero il quantile zα
2. Convertire nelle unità di X usando la
formula:
X = µ + Zσ
7/05/2014
Variabili casuali
54
Trovare il valore di X corrispondente ad
un preassegnato quantile
Esempio:
Assumiamo che X abbia una distribuzione normale
con media 8 e scarto quadratico medio 5.
Adesso troviamo il valore di X tale che solo il 20%
dei valori siano al di sotto di tale X
0.200
P (X ≤ x) = 0,2
7/05/2014
?
Variabili casuali
8.0
X
55
Trovare il valore di Z corrispondente a un
noto percentile, ad esempio il 20-mo
Tavola della Funzione di
Ripartizione Normale
(Porzione)
z
Φ(z)
.82
.7939
Il valore del quantile z0,20 che lascia il
20% di area nella coda di sinistra
corrisponde al valore cambiato di segno
del quantile z0,80 che lascia nella coda di
destra il 20% dell’area
Φ(z) = 0.80 ⇒ z = 0.84 ⇒ z0,20 = -0.84
.80
.83
.20
.7967
.20
.84
.85
7/05/2014
.7995
?
8.0
-0.84 0
.8023
Variabili casuali
X
Z
0.84
56
Trovare il valore percentile di X
2. Convertire in unità di X usando la formula:
X = µ + Zσ
= 8 + (−0.84)5
= 3 .8
Ne consegue che una v.c. Normale con µ = 8 e
σ = 5 3.8 ,
possiede una probabilità del 20% di non superare il valore 3.8,
ovvero possiede una probabilità dell’ 80% di superare il valore 3.8
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Variabili casuali
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