1 Cenni di logica matematica
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Cenni di logica matematica
Una delle discipline chiave della matematica (e non solo, visto che è fondamentale anche per comprendere la lingua parlata) è la logica matematica,
il cui scopo è analizzare e formalizzare i metodi corretti di ragionamento.
Gli elementi costitutivi in matematica (cosı̀ come nella lingua parlata) sono
le proposizioni, dette anche enunciati, la cui caratteristica è che possiamo
attribuire loro un valore di verità (Vero o Falso). Indicheremo gli enunciati
con lettere minuscole (ad esempio, p, q, ecc.).
Esempio 1.1. p: 3 è un numero naturale, q: 2 + 2 ≥ 5 sono enunciati. p è
vero, q è falso.
Dato un enunciato p, la sua negazione è l’enunciato ¬p (si legge: non p
oppure p negato).
Esempio 1.2. La negazione degli enunciati dell’esempio precedente è: ¬p:
3 non è un numero naturale e ¬q: 2 + 2 < 5.
Come si può notare, se un enunciato è vero, la sua negazione è falsa.
Analogamente a come avviene nella lingua parlata, le proposizioni possono
essere legate tra loro dando luogo a vere e proprie frasi matematiche. Se nel
parlato il collegamento tra le frasi avviene grazie alle congiunzioni, in logica
matematica ciò avviene tramite i connettivi logici. Elenchiamoli qui di
seguito:
• negazione ¬p (non)
• congiunzione p ∧ q (e)
• disgiunzione p ∨ q (o) nel senso del vel latino
• implicazione p =⇒ q (se... allora, p implica q)
• doppia implicazione p ⇐⇒ q (p se e solo se q, p equivale a q)
I connettivi, come le operazioni aritmetiche (in una espressione senza parentesi HANNO LA PRECEDENZA divisioni e moltiplicazioni su addizioni
e sottrazioni) e le parentesi matematiche (in una espressione con parentesi
prima si risolvono le operazioni dentro le parentesi tonde, poi quelle dentro
le parentesi quadre e SOLO ALLA FINE quelle dentro le parentesi graffe),
hanno una loro gerarchia; partendo dal connettivo con maggiore precedenza
e in ordine decrescente abbiamo:
¬
∧
∨
=⇒ ⇐⇒
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.
1 Cenni di logica matematica
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Quando due proposizioni p e q (ciascuna con il suo valore di verità) vengono
legate con i connettivi logici la proposizione risultante avrà un valore di verità
che dipende da quello di p e q, secondo le seguenti tavole di verità:
p q
V V
F V
V F
F F
¬p (¬q)
F (F)
V (F)
p∧q
V
F
F
F
p∨q
V
V
V
F
p =⇒ q
V
V
F
V
p ⇐⇒ q
V
F
F
V
Osservazione 1.3. L’implicazione semplice p =⇒ q richiede qualche chiarimento. Infatti spesso si trova difficoltà ad accettare che p =⇒ q debba
considerarsi vera se p è falsa (tanto più quando q è vera. Sebbene questa sia
una situazione poco comune nei linguaggi ordinari, non lo è in matematica.
Riflettiamo sull’enunciato Se T è un triangolo allora la somma degli angoli
interni di T è 4π radianti. Se non l’aveste riconosciuto, questo è un teorema
della geometria euclidea elementare e non si ha difficoltà a convenire che si
tratta di un enunciato vero. Se T fosse un quadrato, l’enunciato resterà ancora vero, anche se non possiamo affermare che la somma degli angoli interni
di T è π radianti (e quest’ultima affermazione è valida soltanto se è vero che
T è un triangolo).
Gli enunciati dei teoremi della matematica sono tipicamente della forma
p =⇒ q. Quando (non importa come) si riconosca la verità di p, si può
applicare la regola d’inferenza detta Modus ponens e dedure q.
Una logica basata sugli enunciati è insufficiente per costruire ragionamenti
generali. Introducendo in una proposizione una o più variabili si ottengono i
predicati. Se è presente una sola variabile il predicato si dice unario se ne
contiene due si dice binario e cosı̀ via. Ovviamente fissando tutte le variabili
(ossia attribuendo un preciso valore alle variabili), il predicato diventa una
proposizione che può essere vera o falsa. Due o più predicati insieme possono
produrre nuovi predicati mediante l’uso dei quantificatori. Ne esistono di
due tipi: quantificatore universale ∀ e quantificatore esistenziale ∃.
Esempio 1.4. Sia p (x, y): un uomo x osserva la stella y:
∃x : p (x, y) significa: esiste un uomo che osserva la stella y
∀x : p (x, y) significa: tutti gli uomini osservano la stella y
∀y, ∃x : p (x, y) significa: per ogni stella esiste un uomo che la osserva
∃x, ∀y : p (x, y) significa: esiste un uomo che osserva ogni stella
∃y, ∀x : p (x, y) significa: esiste una stella osservata da tutti gli uomini.
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2 Insiemi
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Insiemi
Per insieme si intende una collezione di oggetti di qualunque natura:
esso è un concetto primitivo, ossia non è riconducibile a concetti più elementari. Un generico insieme viene solitamente denotato con una lettera latina
maiuscola (A, B, C, · · · ) mentre si usano lettere latine minuscole (a, b, c,
· · · ) per denotare gli elementi di un insieme. Il fatto che un elemento a
appartenga ad un insieme A si esprime con la notazione
a ∈ A (a appartiene ad A, oppure a è un elemento di A) .
Se invece non gli appartiene si scrive a ∈
/ A.
Il modo più semplice di definire un particolare insieme consiste nell’elencare gli elementi dell’insieme considerato, cioè nel darne una definizione
estensiva: in tal caso l’elenco degli elementi è racchiuso tra parentesi graffe.
Un modo, invece, più praticabile di definire un dato insieme consiste nel far
ricorso ad una proprietà P (x) che caratterizzi tutti e soli gli elementi di quell’insieme che vogliamo descrivere. In altre parole, ne diamo una definizione
di tipo intensivo.
Esempio 2.1. Scrivendo A := {1, 2, 3, 4} si indica che l’insieme A è definito
come quello i cui elementi sono i numeri 1, 2, 3, 4. Non ha alcuna importanza
l’ordine in cui gli elementi sono stati elencati e non bisogna ripetere più volte
lo stesso elemento. Osserviamo, inoltre, che A è un insieme finito.
Esempio 2.2. B := {x|xè un numero pari} indica che l’insieme B è definito
come quello i cui elementi sono tutti i numeri pari. Valgono le stesse osservazione fatte per l’insieme A dell’esempio precedente, tranne l’ultima: infatti,
B è un insieme infinito.
Un particolare insieme è l’insieme vuoto ∅, ossia l’unico insieme privo
di elementi, la cui definizione formale è:
∅ := {x|x 6= x} .
Un altro tipo di insiemi particolari sono quelli che contengono un solo elemento, cioè quelli della forma {a}, detti singoletti. Non bisogna confondere
il singoletto {a} con l’elemento che gli appartiene!!!
Si dice che un insieme A è un sottoinsieme dell’insieme B e si scrive A ⊆ B
quando ogni elemento di A è anche elemento di B. Se A ⊆ B e A 6= B
si parla di inclusione propria e si scrive A ⊂ B. Osserviamo che tra i
sottoinsieme di un dato insieme ci sono l’insieme vuoto e l’insieme stesso, e
sono detti sottoinsiemi impropri.
La relazione di inclusione è una relazione
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1. riflessiva: A ⊆ A (è intuitivo)
2. antisimmetrica: se A ⊆ B e B ⊆ A allora A = B (anche questo è
intuitivo)
3. transitiva: se A ⊆ B e B ⊆ C allora A ⊆ C
Esempio 2.3. Sia A := {triangoli isosceli}. Allora B := {triangoli equilateri}
è un sottoinsieme di A.
L’insieme formato con tutti i sottoinsiemi di un dato insieme A viene detto insieme delle parti di A e denotato con P (A). Se, ad esempio, A := {x, y, z}
allora P (A) = {∅, A, {x} , {y} , {z} , {x, y} , {y, z} , {x, z}}.
Le operazione tra insiemi che vogliamo definire sono cinque (escludiamo l’elevamento a potenza B A ): una unaria, che è il passaggio al complementare
CA, e quattro binarie, ossia l’unione A ∪ B, l’intersezione A ∩ B, il prodotto cartesiano A × B e la differenza insiemistica A \ B.
Sia B ⊆ A. Si definisce insieme complementare di B rispetto a A l’insieme
formato dagli elementi di A che non appartengono a B:
CB := {x ∈ A|x ∈
/ B} .
Ad esempio, siano A = {1, 3, 5, 2, 9} e B = {3, 5, 2}. Allora CB = {1, 9}.
Dati due insiemi A e B si definisce differenza insiemistica fra A e B
l’insieme formato dagli elementi di A che non appartengono a B:
A \ B := {x ∈ A|x ∈
/ B} .
Ad esempio, siano A = {0, 1, 3, 5, 2, 9} e B = {1, 2, 9}. Allora A \ B =
{0, 3, 5}.
Osservazione 2.4. Queste prime due definizioni sembrano identiche se non
fosse per il fatto che per la differenza insiemistica non è richiesto che B sia
sottoinsieme di A.
Siano A e B due insiemi.
- Definiamo intersezione fra A e B l’insieme formato dagli elementi che
appartengono sia ad A che a B:
A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} .
Se due insiemi non hanno elementi in comune, ossia la loro intersezione
è ∅, si dicono disgiunti.
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2 Insiemi
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- Definiamo unione fra A e B l’insieme formato dagli elementi che
appartengono ad A o a B:
A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B} .
- Definiamo prodotto cartesiano fra A e B l’insieme formato dalle
coppie ordinate (a, b), dove a ∈ A e b ∈ B:
A × B = {(a, b) |a ∈ A ∧ b ∈ B} .
Osservazione 2.5. (a, b) 6= (b, a).
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