Esponenziale complesso

Esponenziale complesso
P.Rubbioni
1
Serie nel campo complesso
Per fornire il concetto di serie nel campo complesso abbiamo bisogno di introdurre la
definizione di limite per successioni di numeri complessi.
Definizione 1.1 Una successione di numeri complessi (zn )n∈N converge al numero
complesso l se
lim |zn − l|C = 0
n→∞
e si scrive limn→∞ zn = l oppure zn → l.
Poiché il modulo di un numero complesso è un numero reale, la nozione di limite nel
campo complesso è ricondotta a quella di limite nel campo reale. Da ora in poi, per
semplicità, indicheremo semplicemente con | · | il modulo nel campo complesso.
Siamo ora in grado di dare la definizione di serie complessa.
Definizione 1.2 Data una successione di numeri complessi (zn )n∈N , si P
dice serie nel
campo complesso la successione delle somme parziali (sn )n , ove sn = nk=0 zn , e si
indica con il simbolo
∞
X
zn .
n=0
P∞
Diremo dunque che la serie n=0 zn converge se esiste in C il limite di (sn )n∈N .
Si può dimostrare che vale un criterio di convergenza assoluta:
P
Teorema 1.1PSia ∞
n=0 zn una serie a termini complessi. Se la serie a termini reali
∞
non negativi n=0 |zn | converge (in R), allora la serie data converge (in C).
Esempio 1.1 (Serie geometrica in campo complesso) Consideriamo la serie geometrica
∞
X
zn , z ∈ C .
n=0
In virtù del precedente criterio, tale serie converge per |z| < 1.
1
Inoltre si può provare che
∞
X
zn =
n=0
1.1
1
, per ogni z ∈ C con |z| < 1 .
1−z
Serie di funzioni e serie di potenze in campo complesso
Data una successione (fn )n , con fn : Ω ⊆ C → C per ogni n ∈ N, resta definita la
serie di funzioni di variabile complessa
∞
X
fn (z) , z ∈ Ω .
n=0
Particolari serie di funzioni sono le serie di potenze:
∞
X
an (z − z0 )n , z ∈ C
n=0
ove an ∈ C, n ∈ N, sono i coefficienti della serie e z0 ∈ C è il centro della serie.
Ogni serie di potenze ha un suo raggio di convergenza ed il corrispondente insieme di
convergenza è il disco di tale raggio centrato in z0 (la frontiera del disco va studiata
caso per caso).
Esempio 1.2 Studiamo la serie
∞
X
zn
n=1
n2
, z ∈ C.
La serie di potenze in campo reale
∞
X
|z|n
n2
n=1
ha raggio di convergenza R = 1 e quindi converge per |z| < 1 mentre non converge
per |z| > 1; ne segue che la serie complessa converge all’interno del disco di centro
l’origine del piano di Gauss e raggio R, mentre non converge fuori.
|z| = 1,
P∞Se poi
1
allora la serie reale si riduce alla serie numerica reale convergente n=1 n2 ; pertanto
la serie data converge anche sulla frontiera del disco cosicché, riassumendo, l’insieme
di convergenza risulta essere
D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} .
Esempio 1.3 Studiamo la serie
∞
X
zn
n=1
n
, z ∈ C.
Anche in questo caso il raggio di convergenza è 1, ma sul bordo del disco si hanno
situazioni diverse. Ad esempio: per z = 1 la serie si riduce alla serie armonica, che
diverge; per z = −1 si riduce alla serie armonica a segni alterni, che converge.
2
1.2
Esponenziale complesso
Consideriamo ora la serie complessa
∞
X
zn
n=0
n!
, z∈C;
essa converge assolutamente per il Teorema 1.1 in quanto la serie reale
∞
X
|z|n
n!
n=0
converge. Si osservi che tale serie altri non è che la serie esponenziale, la cui somma è
e|z| . Allora definiamo l’esponenziale complesso come la somma della serie esponenziale
complessa, ovvero
∞
X
zn
z
, z∈C.
e :=
n!
n=0
Anche per l’esponenziale complesso si ha
ez1 +z2 = ez1 ez2 .
2
(1)
Formule di Eulero
Posto z = x + iy, dalla (1) si ha
ez = ex eiy .
Ora, essendo iy un numero complesso, dalla definizione di esponenziale complesso si
ha
∞
X
y2
y3 y4
y5 y6
y7
zn
= 1 + iy −
−i +
+i −
− i + ... =
eiy =
n!
2
3!
4!
5!
6!
7!
n=0
∞
X
∞
X
y 2n
y 2n+1
=
(−1)
+i
(−1)n
= cos y + i sin y .
(2n)!
(2n + 1)!
n=0
n=0
n
Analogamente si poò provare che
e−iy = cos y − i sin y .
dunque le funzioni trigonometriche reali sono legate, nel campo complesso, all’esponenziale
secondo quelle che sono chiamate formule di Eulero:
eix + e−ix
2
ix
e − e−ix
sin x =
2i
eix = cos x + i sin x
cos x =
e−ix = cos x − i sin x
per ogni x ∈ R.
3
3
Forma esponenziale dei numeri complessi
La prima formula di Eulero consente di formulare in termini esponenziali la forma
trigonometrica dei numeri complessi, ovvero
z = ρ(cos θ + i sin θ) = ρeiθ
con ρ ≥ 1 modulo e θ ∈ R argomento del numero complesso z.
Tale forma esponenziale agevola il calcolo, come nel caso delle potenze ove si può
scrivere
z n = ρn einθ
invece di z n = ρn (cos nθ + i sin nθ).
3.1
Radici nel campo complesso
Assegnato un numero z ∈ C, cerchiamo w ∈ C tale che
√
w = n z ⇔ wn = z ;
se w = |w|eiϕ e z = |z|eiθ , allora l’equivalenza soprastante si riscrive
√
w = n z ⇔ |w|n einϕ = |z|eiθ ⇔
p
θ + 2kπ
, k = 0, . . . , n − 1
⇔ |w| = n |z| ∧ ϕ =
n
(perché eiθ è periodico di periodo 2π, come si deduce dalle formule di Eulero); dunque
o
n
p
√
θ+2kπ
n
z = wk = n |z|ei n : k = 0, . . . , n − 1 ,
che nella forma trigonometrica si rilegge
p
√
θ
+
2kπ
θ
+
2kπ
n
n
z = wk = |z| cos
+ i sin
: k = 0, . . . , n − 1 .
n
n
Quindi la radice n-esima di un numero complesso è un insieme di n numeri complessi
disposti
sui vertici del poligono regolare di n lati inscritto alla circonferenza di raggio
p
n
|z|.
√
Esempio 3.1 Calcoliamo 3 −1. Essendo −1 = cosπ + i sin π = eiπ , risulta
√
π
π
5π
5π
3
−1 = w0 = cos + i sin ; w1 = cos π + i sin π ; w2 = cos
+ i sin
=
3
3
3
3
√
√
1
1
= w0 = (1 + i 3) ; w1 = −1 ; w2 = (1 − i 3) .
2
2
√ π
√
Esempio 3.2 Calcoliamo 5 1 + i. Chiaramente 1 + i = 2ei 4 , quindi
π
π
√
√
+ 2kπ
+ 2kπ
10
5
4
4
1 + i = wk = 2 cos
+ i sin
: k = 0, 1, 2, 3, 4 .
5
5
4
3.2
Logaritmi nel campo complesso
Assegnato un numero z ∈ C, cerchiamo w ∈ C tale che
w = log z ⇔ ew = z ;
se w = x + iy e z = |z|eiθ , allora l’equivalenza soprastante si riscrive
w = log z ⇔ ex+iy = |z|eiθ ⇔
⇔ ex eiy = |z|eiθ ⇔ x = log |z| ∧ y = θ + 2kπ
(ancora per la periodicità di eiθ conseguenza delle formule di Eulero); dunque
log z = log |z| + i(θ + 2kπ) , k ∈ Z .
Quindi in C il logaritmo non è univocamente determinato; addirittura ogni numero
complesso (non nullo) ha infiniti logaritmi.
Si dice valore principale del logaritmo quello che si ottiene per k = 0 e θ ∈ [0, 2π[.
√ π
Esempio 3.3 Calcoliamo log (1 + i). Abbiamo già visto che 1 + i = 2ei 4 . Allora
π
√
+ 2kπ , k ∈ Z
log (1 + i) = log 2 + i
4
ed il suo valore principale è
log
√
π
2+i .
4
5