Soluzioni Foglio3

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CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1. A. A 2007/2008,
ING. ELETTRONICA
PROF: MARIO ROSATI, TUTOR: CRISTINA POCCI
SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI IL 26/10/07
Pagina 1
√
1. Verificare che la potenza sesta del numero complesso
√
3+i
2
vale −1.
3+i
2
Il numero complesso z =
ha modulo 1 ed argomento principale
π
ϕ = 6 dunque, dalla formula di De Moivre, segue:
z = 1 · (cos
π
π
+ isen ) ⇒ z 6 = 16 · (cosπ + isenπ) = −1.
6
6
2. Determinare la forma algebrica dei seguenti numeri complessi:
4 1+i 3
1
6
;
.
(1 − i) ;
i
i−1
Dalla formula di De Moivre, si ricava che: (1 − i)6 = 8i,
3
1+i
= i.
i−1
1 4
i
= 1,
3. Determinare le radici terze dei numeri complessi 8 e −8.
Calcoliamo le radici terze di 8. Poichè 8 > 0, le radici terze sono date
dalla formula:
1
2kπ
2kπ
3
+ isen
, k = 0, 1, 2;
|8| cos
3
3
√
√
quindi ζ0 = 2, ζ1 = −1 + i 3, ζ2 = −1 − i 3. Calcoliamo le radici
terze di −8. Poichè −8 < 0, le radici terze sono date dalla formula:
1
(2k + 1)π
(2k + 1)π
+ isen
, k = 0, 1, 2,
|−8| 3 cos
3
3
√
√
da cui ζ0 = 1 + i 3, ζ1 = −2, ζ2 = 1 − i 3.
4. Verificare che le radici quadrate di un numero reale negativo −a, a > 0,
√
sono date da ±i a.
Il numero complesso z = −a, a > 0, ha modulo a ed argomento
principale uguale a π. Dunque:
√
√
(2k + 1)π
(2k + 1)π
z = a cos
+ isen
, k = 0, 1.
2
2
√
√
√
3π
Dunque, ζ0 = a(cos π2 + isen π2 ) = ai, ζ1 = a(cos 3π
2 + isen 2 ) =
√
− ai.
2
5. Scrivere tutti i possibili valori delle potenze complesse 3i e 1i .
i
3i = elog3 = eilog3 = ei(log3+2kπi) = e−2kπ [cos(log3) + isen(log3)] , k ∈
Z;
1i = e−2kπ , k ∈ Z.
6. Risolvere le seguenti equazioni algebriche di primo grado:
(1 − i)z − 2 = 0;
iz + 1 = 0;
iz + 1 − i = 0.
La prima equazione ha soluzione z = − 1i = i, la seconda ha soluzione
2
z = 1−i
= 1 + i, la terza ha soluzione z = 1 + i.
7. Risolvere nel campo complesso le seguenti equazioni di secondo grado:
z 2 + 4 = 0;
z 2 − 4 = 0;
z 2 + 4z + 5 = 0.
La prima equazione ha soluzione z = ±2i, la seconda z = ±2, la terza
z = −2 ± i.
8. (Dall’esame del 19/09/07) Trovare tutte le soluzioni complesse della
seguente equazione:
z 2 − 2z − 2i + 1 = 0.
√
√
√ √
L’equazione ha soluzioni z1,2 = 1± 2i; osserviamo che 2i = 2 i =
±(1 + i), pertanto z1 = 2 + i, z2 = −i.
9. Risolvere, con la sostituzione z = x + iy, l’equazione z 2 − 2z = 0.
Si tratta di risolvere il sistema costituito dalle equazioni x2 −y 2 −2x =
0, 2xy − 2y = 0, le cui soluzioni sono le coppie (0, 0) e (2, 0). Dunque,
z1 = 0, z2 = 2 sono le due soluzioni cercate.
10. Risolvere l’equazione biquadratica z 4 + 1 = 0.
Si risolve attraverso la sostituzione z 2 = w. Si trovano le soluzioni
√ , z3,4 = ± 1−i
√ .
z1,2 = ± 1+i
2
2
SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI IL 26/10/07
Pagina 2
1. Studiare la convergenza delle seguenti serie:
+∞ 2
X
k +7
k=1
k4
;
+∞
X
k=1
sen
k
3
k +1
;
+∞
X
k!
kk
k=1
+∞ k
X
k
k=1
k!
.
Le prime tre serie assegnate convergono.
Per la prima, basta appliP
care il confronto asintotico con k k12 , la quale converge essendo una
3
serie armonica generalizzata. Per la seconda, si utilizza la seguente
proprietà:
k
k
≤ 3
,
0 ≤ sen
3
k +1
k +1
dunque si applica il criterio del confronto. Per la terza, dal criterio
a
1
del rapporto ricaviamo limk→+∞ k+1
ak = e < 1, da cui la convergenza
della serie. La quarta serie non converge in quanto il termine ak =
non tende a zero.
kk
k!
2. P
Studiare, al variare di x ≥ 0, la convergenza della seguente serie:
+∞ xk
k=1 k .
Applichiamo il criterio del rapporto:
limk→+∞
ak+1
xk+1 k
= limk→+∞
= x,
ak
k + 1 xk
pertanto, se 0 ≤ x < 1 la serie converge, se x > 1 non converge e
se x = 1 sostituendo ricaviamo la serie armonica, la quale diverge.
Quindi si ha convergenza per x ∈ [0, 1).
P+∞ xk
3. Calcolare l’insieme di convergenza della seguente serie:
k=2 k2 −k .
a
Applicando il criterio del rapporto, ricaviamo che limk→+∞ k+1
ak = x.
Per |x| < 1, la serie converge assolutamente e quindi semplicemente.
P
1
Per |x| > 1, la serie non converge. Se x = 1, si ottiene +∞
k=2 k2 −k ,
che converge (confronto asintotico con la serie di termine ak = k12 ).
P
(−1)k
Se x = −1, si ottiene +∞
k=2 k2 −k , convergente semplicemente ma non
assolutamente per il criterio di Leibnitz.
4. Studiare, al variare di α > 0, la convergenza della seguente serie:
+∞
X
sen k1α
.
1 + k2
k=1
La serie converge per α < 1.
5. È vero che
P+∞
k=1
(−1)k−1
k2
k−1 Si, in quanto (−1)
=
2
k
è assolutamente convergente?
1
.
k2
6. Studiare, attraverso il criterio della radice, il carattere delle seguenti
serie:
k
k
+∞ +∞ X
X
2k 2
k
;
.
2k + 1
k+1
k=1
k=1
4
La prima serie converge essendo:
"
limk→+∞
k
2k + 1
k # k1
= limk→+∞
k
1
= < 1.
2k + 1
2
La seconda serie non converge, essendo:
"
limk→+∞
2k 2
k+1
k # k1
= limk→+∞
2k 2
= +∞.
k+1
7. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:
P
6 k 1
converge;
(a) la serie +∞
k=1 5
k5
P+∞ (k+1)!
(b) la serie k=1 2k k! converge;
P+∞ (−1)k
(c) la serie
converge semplicemente, ma non assolutak=1 k7
mente.
6 k 1
5
k5
(a) Falsa, in quanto limk→+∞
6= 0.
a
(b) Vero, infatti dal criterio del rapporto ricaviamo limk→+∞ k+1
ak =
1
2 < 1.
k
(c) Falso, perchè (−1)
= k17 , dunque la serie assegnata converge
7
k
assolutamente (e quindi anche semplicemente).
P
1
8. Dimostrare la convergenza della serie +∞
k=2 (log k)k .
La serie assegnata è a termini positivi; la convergenza si ottiene dal
criterio della radice:
"
limk→+∞
#1
k
1
k
(log k)
= limk→+∞
1
= 0.
log k
9. Calcolare l’insieme di convergenza della seguente serie:
+∞
X
kxk
,
2k + 1
k=1
al variare di x ∈ R.
Per x = 0, la serie è evidentemente convergente; per x 6= 0, dal cria
terio del rapporto troviamo limk→+∞ k+1
ak = x, pertanto se |x| < 1 la
serie converge assolutamente e quindi semplicemente, se |x| > 1 non
converge; per |x| = 1, la serie non converge essendo limk→+∞ ak 6= 0.
5
10. Siano an e bn due successioni a termini positivi.
(a) Provare che, se bn è convergente, vale la seguente implicazione:
X
X
an bn < +∞.
an < +∞ implica
n
n
(b) Trovare
due successioni
an e bn , non negative, tali che:
P
P
a
<
+∞
e
a
b
n n
n n n = +∞.
(a) Per ipotesi, bn è convergente, dunque è limitata, per cui
P esiste
M > 0 tale che bn ≤
M
⇒
0
≤
a
b
≤
a
M
.
Se
vale
n
n
n
n an <
P
+∞, allora anche
a
M
<
+∞,
pertanto
dal
teorema
di
n n
confronto segue la tesi.
(b) an =
1
,
n2
bn = n2 .