1 CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1. A. A 2007/2008, ING. ELETTRONICA PROF: MARIO ROSATI, TUTOR: CRISTINA POCCI SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI IL 26/10/07 Pagina 1 √ 1. Verificare che la potenza sesta del numero complesso √ 3+i 2 vale −1. 3+i 2 Il numero complesso z = ha modulo 1 ed argomento principale π ϕ = 6 dunque, dalla formula di De Moivre, segue: z = 1 · (cos π π + isen ) ⇒ z 6 = 16 · (cosπ + isenπ) = −1. 6 6 2. Determinare la forma algebrica dei seguenti numeri complessi: 4 1+i 3 1 6 ; . (1 − i) ; i i−1 Dalla formula di De Moivre, si ricava che: (1 − i)6 = 8i, 3 1+i = i. i−1 1 4 i = 1, 3. Determinare le radici terze dei numeri complessi 8 e −8. Calcoliamo le radici terze di 8. Poichè 8 > 0, le radici terze sono date dalla formula: 1 2kπ 2kπ 3 + isen , k = 0, 1, 2; |8| cos 3 3 √ √ quindi ζ0 = 2, ζ1 = −1 + i 3, ζ2 = −1 − i 3. Calcoliamo le radici terze di −8. Poichè −8 < 0, le radici terze sono date dalla formula: 1 (2k + 1)π (2k + 1)π + isen , k = 0, 1, 2, |−8| 3 cos 3 3 √ √ da cui ζ0 = 1 + i 3, ζ1 = −2, ζ2 = 1 − i 3. 4. Verificare che le radici quadrate di un numero reale negativo −a, a > 0, √ sono date da ±i a. Il numero complesso z = −a, a > 0, ha modulo a ed argomento principale uguale a π. Dunque: √ √ (2k + 1)π (2k + 1)π z = a cos + isen , k = 0, 1. 2 2 √ √ √ 3π Dunque, ζ0 = a(cos π2 + isen π2 ) = ai, ζ1 = a(cos 3π 2 + isen 2 ) = √ − ai. 2 5. Scrivere tutti i possibili valori delle potenze complesse 3i e 1i . i 3i = elog3 = eilog3 = ei(log3+2kπi) = e−2kπ [cos(log3) + isen(log3)] , k ∈ Z; 1i = e−2kπ , k ∈ Z. 6. Risolvere le seguenti equazioni algebriche di primo grado: (1 − i)z − 2 = 0; iz + 1 = 0; iz + 1 − i = 0. La prima equazione ha soluzione z = − 1i = i, la seconda ha soluzione 2 z = 1−i = 1 + i, la terza ha soluzione z = 1 + i. 7. Risolvere nel campo complesso le seguenti equazioni di secondo grado: z 2 + 4 = 0; z 2 − 4 = 0; z 2 + 4z + 5 = 0. La prima equazione ha soluzione z = ±2i, la seconda z = ±2, la terza z = −2 ± i. 8. (Dall’esame del 19/09/07) Trovare tutte le soluzioni complesse della seguente equazione: z 2 − 2z − 2i + 1 = 0. √ √ √ √ L’equazione ha soluzioni z1,2 = 1± 2i; osserviamo che 2i = 2 i = ±(1 + i), pertanto z1 = 2 + i, z2 = −i. 9. Risolvere, con la sostituzione z = x + iy, l’equazione z 2 − 2z = 0. Si tratta di risolvere il sistema costituito dalle equazioni x2 −y 2 −2x = 0, 2xy − 2y = 0, le cui soluzioni sono le coppie (0, 0) e (2, 0). Dunque, z1 = 0, z2 = 2 sono le due soluzioni cercate. 10. Risolvere l’equazione biquadratica z 4 + 1 = 0. Si risolve attraverso la sostituzione z 2 = w. Si trovano le soluzioni √ , z3,4 = ± 1−i √ . z1,2 = ± 1+i 2 2 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI IL 26/10/07 Pagina 2 1. Studiare la convergenza delle seguenti serie: +∞ 2 X k +7 k=1 k4 ; +∞ X k=1 sen k 3 k +1 ; +∞ X k! kk k=1 +∞ k X k k=1 k! . Le prime tre serie assegnate convergono. Per la prima, basta appliP care il confronto asintotico con k k12 , la quale converge essendo una 3 serie armonica generalizzata. Per la seconda, si utilizza la seguente proprietà: k k ≤ 3 , 0 ≤ sen 3 k +1 k +1 dunque si applica il criterio del confronto. Per la terza, dal criterio a 1 del rapporto ricaviamo limk→+∞ k+1 ak = e < 1, da cui la convergenza della serie. La quarta serie non converge in quanto il termine ak = non tende a zero. kk k! 2. P Studiare, al variare di x ≥ 0, la convergenza della seguente serie: +∞ xk k=1 k . Applichiamo il criterio del rapporto: limk→+∞ ak+1 xk+1 k = limk→+∞ = x, ak k + 1 xk pertanto, se 0 ≤ x < 1 la serie converge, se x > 1 non converge e se x = 1 sostituendo ricaviamo la serie armonica, la quale diverge. Quindi si ha convergenza per x ∈ [0, 1). P+∞ xk 3. Calcolare l’insieme di convergenza della seguente serie: k=2 k2 −k . a Applicando il criterio del rapporto, ricaviamo che limk→+∞ k+1 ak = x. Per |x| < 1, la serie converge assolutamente e quindi semplicemente. P 1 Per |x| > 1, la serie non converge. Se x = 1, si ottiene +∞ k=2 k2 −k , che converge (confronto asintotico con la serie di termine ak = k12 ). P (−1)k Se x = −1, si ottiene +∞ k=2 k2 −k , convergente semplicemente ma non assolutamente per il criterio di Leibnitz. 4. Studiare, al variare di α > 0, la convergenza della seguente serie: +∞ X sen k1α . 1 + k2 k=1 La serie converge per α < 1. 5. È vero che P+∞ k=1 (−1)k−1 k2 k−1 Si, in quanto (−1) = 2 k è assolutamente convergente? 1 . k2 6. Studiare, attraverso il criterio della radice, il carattere delle seguenti serie: k k +∞ +∞ X X 2k 2 k ; . 2k + 1 k+1 k=1 k=1 4 La prima serie converge essendo: " limk→+∞ k 2k + 1 k # k1 = limk→+∞ k 1 = < 1. 2k + 1 2 La seconda serie non converge, essendo: " limk→+∞ 2k 2 k+1 k # k1 = limk→+∞ 2k 2 = +∞. k+1 7. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: P 6 k 1 converge; (a) la serie +∞ k=1 5 k5 P+∞ (k+1)! (b) la serie k=1 2k k! converge; P+∞ (−1)k (c) la serie converge semplicemente, ma non assolutak=1 k7 mente. 6 k 1 5 k5 (a) Falsa, in quanto limk→+∞ 6= 0. a (b) Vero, infatti dal criterio del rapporto ricaviamo limk→+∞ k+1 ak = 1 2 < 1. k (c) Falso, perchè (−1) = k17 , dunque la serie assegnata converge 7 k assolutamente (e quindi anche semplicemente). P 1 8. Dimostrare la convergenza della serie +∞ k=2 (log k)k . La serie assegnata è a termini positivi; la convergenza si ottiene dal criterio della radice: " limk→+∞ #1 k 1 k (log k) = limk→+∞ 1 = 0. log k 9. Calcolare l’insieme di convergenza della seguente serie: +∞ X kxk , 2k + 1 k=1 al variare di x ∈ R. Per x = 0, la serie è evidentemente convergente; per x 6= 0, dal cria terio del rapporto troviamo limk→+∞ k+1 ak = x, pertanto se |x| < 1 la serie converge assolutamente e quindi semplicemente, se |x| > 1 non converge; per |x| = 1, la serie non converge essendo limk→+∞ ak 6= 0. 5 10. Siano an e bn due successioni a termini positivi. (a) Provare che, se bn è convergente, vale la seguente implicazione: X X an bn < +∞. an < +∞ implica n n (b) Trovare due successioni an e bn , non negative, tali che: P P a < +∞ e a b n n n n n = +∞. (a) Per ipotesi, bn è convergente, dunque è limitata, per cui P esiste M > 0 tale che bn ≤ M ⇒ 0 ≤ a b ≤ a M . Se vale n n n n an < P +∞, allora anche a M < +∞, pertanto dal teorema di n n confronto segue la tesi. (b) an = 1 , n2 bn = n2 .