r - dipartimento di fisica della materia e ingegneria elettronica

Laboratorio di didattica della Fisica (III modulo):
Metodologie di insegnamento del Laboratorio di Ottica
4 – Fondamenti di Ottica
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La natura della luce
Ottica geometrica
Velocità della luce
Riflessione e Rifrazione
Dispersione
Prisma
Fibre ottiche
PAS Lab3 Ottica
La natura della luce
 Teoria corpuscolare (Newton)
 Teoria ondulatoria: proposta già al tempo di Newton, ma scartata
perchè necessaria l’esistenza di un mezzo di “supporto” (etere !).
Solo nel XIX secolo dopo una lunga serie di esperimenti fu accettata.
 Teoria quantistica: comportamento corpuscolare nelle interazioni
con la materia a livello microscopico (XX secolo).
 La luce presenta una doppia natura:
• comportamento ondulatorio
• comportamento corpuscolare
PAS Lab3 Ottica
Velocità della luce
Maxwell: tutte le onde
elettromagnetiche (non solo la
luce) si propagano nel vuoto
con la stessa velocità
Metodo di Fizeau (1849)
Condizioni di buio:
2L 
2 L

 c
 3.133 108 m s
c 

8
• valore attuale: c  2.99792458 10 m s
PAS Lab3 Ottica
Velocità della luce nella materia
•Polarizzazione: Nei materiali dielettrici il campo il elettrico viene
alterato di un fattore εr, costante dielettrica relativa (orientamento
dipoli elettrici)
•Magnetizzazione: I materiali magnetici, caratterizzati da una
permeabilità magnetica relativa r, possono modificare il campo
dell’onda e.m.
Quindi
v
1


1
1
r  r
0 0

c
r  r
Nei materiali trasparenti (normalmente non ferro-magnetici) r1 e
v dipende solo da r.
Alle frequenze tipiche delle onde luminose 1015 Hz, il campo
elettrico oscilla troppo rapidamente perché i dipoli lo possano
seguire, per cui r dipende dalla frequenza, cioè v=v(f)=v(l), oltre
che dal materiale
PAS Lab3 Ottica
Ottica geometrica
Modello semplificato:
Approssimazione dei raggi luminosi l<<d
PAS Lab3 Ottica
Riflessione e
Rifrazione
PAS Lab3 Ottica
speculare
PAS Lab3 Ottica
Riflessione
diffusa
Principio di Huygens
Costruzione geometrica per determinare la posizione di un nuovo
fronte d’onda dalla conoscenza di un fronte d’onda anteriore.
Tutti i punti su un dato fronte d’onda si possono considerare come
sorgenti puntiformi di onde sferiche elementari: la superficie tangente
risultante è il nuovo fronte d’onda ad un istante successivo.
PAS Lab3 Ottica
Principio di Huygens
Costruzione di Huygens
Riflessione di un’onda piana su uno specchio
piano analizzata mediante la costruzione di
Huygens
PAS Lab3 Ottica
Principio di Fermat
(riflessione)
Un raggio di luce, propagandosi da
un punto fisso ad un altro, segue un
percorso tale che il tempo impiegato
a percorrerlo, confrontato con quello
dei percorsi vicini, è un minimo o un
massimo o è stazionario
L  a  x  b  d  x
2
2
2
2
Il punto P deve trovarsi in una posizione
tale che il tempo di percorrenza t=L/c sia
stazionario:

1 2
dt 1 dL 1 2
1 2
2
2

  a  x   2x  
b  d  x
dx c dx 2c
2c
x
a2  x2
ovvero
PAS Lab3 Ottica

dx
b  d  x
2
1  1
2

1 2
 2  d  x  1  0
equivalente a sin 1  sin 1
Riflessione
• Raggio incidente, raggio riflesso e
normale sono coplanari.
• L’angolo di incidenza è uguale
all’angolo di riflessione
 
1
1
Il cammino del raggio di luce è reversibile
Riflessione della luce su una strada. Quale riflessione è speculare e quale è
diffusa ?
PAS Lab3 Ottica
Rifrazione
Variazione di direzione del raggio di luce al
confine tra due mezzi
vi = velocità di propagazione nel mezzo i
L’angolo 2 dipende dalle proprietà dei
due mezzi secondo la relazione:
PAS Lab3 Ottica
sin 1 v1
  cost
sin  2 v2
Legge di
Snell
Principio di Fermat
(rifrazione)
L1 L2 n1 L1  n2 L2 L
t 


v1 v2
c
c
L = cammino ottico (somma lunghezze
percorse nei mezzi per indice di rifrazione
di ciascun mezzo)
L  n1L1  n2 L2  n1 a  x  n2 b   d  x 
2
2
2

2
1 2
n2 2
dt 1 dL n1 2
2
2

  a  x   2x  
b  d  x
dx c dx 2c
2c
n1
x
a x
2
2
 n2
equivalente a n1 sin 1  n2 sin  2
PAS Lab3 Ottica

1 2
 2  d  x  1  0
dx
b  d  x
2
2
Legge della rifrazione
Rifrazione
vluce in aria 3.0 × 108 m/s, vluce in vetro 2.0 × 108 m/s → perchè ?
La luce nel vetro incontra un atomo in A e viene assorbita.
L’atomo si mette in oscillazione ed irradia la luce verso un altro
atomo B che la assorbe, ed il processo continua (come una
staffetta). I processi di emissione ed assorbimento causano un
ritardo nella velocità di propagazione media della luce.
PAS Lab3 Ottica
Rifrazione
La luce passando da un mezzo ad un altro viene rifratta perchè
la sua velocità media è diversa nei due mezzi.
indice di rifrazione
ogni sostanza
ha il suo indice
di rifrazione
PAS Lab3 Ottica
vel. luce vuoto c
n

vel. luce mezzo v
Rifrazione (aspetto ondulatario)
Quando un’onda passa da un mezzo a un altro
la sua frequenza non varia !
I fronti d’onda superano un osservatore in A nel
mezzo 1 con una certa frequenza ed incidono
all’interfaccia (mezzo 1)/(mezzo 2). La
frequenza con la quale i fronti d’onda superano
un osservatore in B deve essere identica.
Altrimenti si creerebbe un accumulo o una
riduzione di onde al confine.
Poichè la relazione v  f l rimane valida
e deve anche essere f1  f 2  f
si vede che v1  f l1 e v 2  f l2 , da cui v1  v 2 e l1  l2
l1 v1 c n1 n2
dividendo membro a membro



 l1n1  l2 n2
l2 v 2 c n2 n1
in generale n 
PAS Lab3 Ottica
l0
l
Legge di Snell
(teoria ondulatoria)
Esempio di rifrazione
Raggio di luce che attraversa una lastra di vetro
I raggi incidente ed emergente sono paralleli ma “disassati” di una distanza d.
PAS Lab3 Ottica
Dispersione
Variazione della velocità della luce v=c/n in un
mezzo materiale, al variare della lunghezza d’onda.
Effetti della dispersione (es. prisma)
PAS Lab3 Ottica
Dispersione di un prisma
Quando un raggio attraversa un prisma la variazione di direzione in
funzione della lunghezza d’onda è detta dispersione angolare.
Due fattori:
geometrico
d d dn

d l dn d l
specifico del
materiale
Consideriamo la legge di rifrazione sulla seconda superficie del prisma,
sin  
d sin f 
differenziando
con
sin(
f
)=cost
n

sin f 
dn cos  
PAS Lab3 Ottica
Dispersione di un prisma - 2
Tenendo conto che, nella configurazione di deviazione minima, la
rifrazione sulla prima faccia produce un analogo effetto:
sin f  2sin  2 
d
2

dn
cos  
cos  
con  angolo di rifrazione del
prisma.
In termini di dimensioni
fisiche del prisma si ha:
In definitiva
PAS Lab3 Ottica
d 2 s sin  2  B


dn
s cos  
b
d B dn

dl b dl
Dispersione normale
Le curve riportate in figura sono rappresentative di andamenti tipici
della dispersione normale, e presentano la seguente fenomenologia:
• L’indice di rifrazione cresce al diminuire della lunghezza d’onda.
• La rapidità di crescita aumenta per lunghezze d’onda più corte.
• Per differenti sostanze, ad una
fissata l, le curve sono più ripide
tanto più grande è l’indice di
rifrazione.
• La curva per una sostanza non può
essere ottenuta da un’altra per
semplice «traslazione» lungo l’asse
delle ordinate.
PAS Lab3 Ottica
Dispersione normale - 2
• Tutte le sostanze trasparenti che non sono colorate mostrano una
dispersione normale nella regione del visibile.
• In generale maggiore è la densità della sostanza maggiore sarà
l’indice di rifrazione e la sua dispersione.
Equazione di Cauchy
n  A
B
l
2

C
l4
Relazione empirica per approssimare l’andamento delle curve n vs. l,
con A, B e C costanti da determinare per ciascun materiale.
In molti casi è sufficiente considerare solo i primi due termini per cui:
n  A
PAS Lab3 Ottica
B
l2
e la dispersione
dn
2B
 3
dl
l
Dispersione anomala
Se le misure di indice di rifrazione per una sostanza trasparente come
il quarzo vengono estese nella regione infrarossa dello spettro, la
curva mostra delle evidenti deviazioni dalla forma di Cauchy.
E’ la presenza di fenomeni di assorbimento che determina la presenza
delle anomalie, in forma di discontinuità.
In realtà tutte le sostanze presentano un qualche assorbimento in un
certo intervallo spettrale, quindi il termine anomalo è un po’ fuorviante.
PAS Lab3 Ottica
Prisma: Angolo di deviazione della luce

Raggio di luce incidente (PQ)
sulla faccia AB del prisma
(con i angolo di incidenza)
Raggio emergente (RS) dalla
faccia AC (con e angolo di
emergenza)
ˆ  i  r ; KRQ
ˆ er
KQR
1
2
r1  r2  QOR  180
A  QOR  180
(teorema angolo esterno)
 r1  r2  A
d e  i
PAS Lab3 Ottica
i  r1  e  r2  d


Prisma: Angolo di deviazione minima -1
Dalla legge di Snell e dalle relazioni
i  r1  e  r2  d
r1  r2  A
e  sin 1  n sin r2   sin 1  n sin    r1    sin 1  sin   n 2  sin 2 i  sin i cos  


1
essendo sin 2 i  n 2 sin 2 r1  n 2 1  cos 2 r1   cos r1 
n 2  sin 2 i
n
d  i  sin 1  sin   n 2  sin 2 i  sin i cos    


Si ricava l’andamento d vs. i
L’andamento riportato in grafico mostra la
presenza di un minimo per d. Il valore di d=dmin
può essere ricavato differenziando, rispetto ad i,
l’espressione sopra riportata ed eguagliando a
zero il risultato.
PAS Lab3 Ottica
Prisma: Angolo di deviazione minima -2
d  i  e  r1  r2  i  e  
Imponendo la stazionarietà rispetto ad i della relazione
d
e
e
Differenziando r1+r2= e le relazioni di Snell alle interfacce:
 1  0 
 1
i
i
i
cos  i  di  n cos  r1  dr1
dr1  dr2
cos  e  di  n cos  r2  dr2
dividendo membro a membro:
cos  i  cos  r1 
1  sin 2  i  n 2  sin 2  i 


 2
2
Snell
cos  e  cos  r2 
1  sin  e  n  sin 2  e 
purchè n≠0 deve essere
i=e e r1=r2=r per d=dmin
Quindi, d=dmin se il prisma è collocato simmetricamente rispetto ai raggi incidente
ed emergente, cioè gli angoli i ed e risultano eguali e il percorso del raggio rifratto
risulta parallelo alla base del prisma.
i
1
 d min   
2
con r 

2
Applicando la legge della rifrazione di Snell agli angoli i ed r :
sin  i 
  d min    

n
 sin 
 sin  
2
sin  r 
2


PAS Lab3 Ottica
Ottimo metodo per la misura
dell’indice di rifrazione vs. l (con
prismi cavi anche per liquidi)
Prisma: Angolo di deviazione minima - 3
Dimostrazione per assurdo: Se un raggio subisse una deviazione minima con i ≠ e
allora invertendo il percorso del raggio sarebbe sempre d=dmin (reversibibilità), ma
l’otterremmo per angoli di incidenza diversi (assurdo).
Per determinare l’angolo al vertice  del prisma si invia un fascio
parallelo di luce e si misurano gli angoli dei raggi riflessi dalle due
superfici adiacenti.
Da semplici considerazioni
geometriche (vedi figura):
  360  180  21  180  2 2  
 2  1   2   2 
In definitiva


2
PAS Lab3 Ottica

Dispersione – prisma Pellin-Broca - 1
Un prisma di Pellin–Broca è un tipo di prisma dispersivo a deviazione
costante. Benchè sia unico, si può pensare costituito da due prismi
30-60-90 e uno 45-45-90.
La luce entra nel prisma attraverso la faccia AB, (direzione parallela ad
AC) subisce una riflessione interna totale (45°) sulla
faccia BC, prosegue parallelo a CD ed esce attraverso la faccia AD.
E’ come se il raggio, per una certa l, avesse attraversato un prisma
equilatero (AHB+CDA) in condizioni di deviazione minima (i=e).
Le altre l emergeranno ad altri angoli. La
rifrazione è tale che una particolare
lunghezza d'onda della luce viene deviata
con un angolo esatto di 90°. Se il prisma
H
viene ruotato intorno ad un asse
perpendicolare in O, il fascio incidente avrà
un nuovo angolo di incidenza e una nuova l
sarà in condizioni di deviazione minima (cioè
uscirà con una deviazione totale di 90°).
PAS Lab3 Ottica
Dispersione – prisma Pellin-Broca - 2
Con un prisma di Pellin–Broca si fa in modo che la sorgente di luce sia posta a 90°
rispetto alla direzione di osservazione e basta ruotare il prisma per selezionare una
specifica l. Il dispositivo viene calibrato per stabilire una corrispondenza tra
l’angolo di rotazione e la lunghezza d’onda selezionata.
PAS Lab3 Ottica
Riflessione interna totale
In condizioni di riflessione interna totale la luce non si propaga nel secondo
mezzo.
La riflessione interna totale si verifica solo quando la luce si propaga
da un mezzo di un dato indice di rifrazione ad un mezzo di indice di
rifrazione minore. Dalla legge di Snell:
n2
n1 sen  n2 sen  90   n2  sen 
 per n1  n2    angolo limite
n1
PAS Lab3 Ottica
Riflessione interna totale:
esempi
PAS Lab3 Ottica
Fibre ottiche
PAS Lab3 Ottica
Fibre ottiche
Applicazione del fenomeno della riflessione
interna totale: confinamento della luce.
PAS Lab3 Ottica
Fibre ottiche
Cono di accettazione della luce: necessità di un ottimo
accoppiamento tra fibre laddove esistono delle giunzioni !!!
PAS Lab3 Ottica
Fibre ottiche: applicazioni
Spettroscopia: invece di portare lo spettrometro e/o la sorgente verso
l’oggetto indagato, le fibre confinano e guidano la luce verso di esso.
Riflessione totale  minimo angolo di incidenza
Apertura del cono di
accettanza esterna
Apertura numerica
Tipi di fibre:
•fibra singola mono-modo
•insieme di fibre orientate
casualmente (bundle)
•bundle coerente per
imaging (tipicamente 10000
punti luminosi per mm2)
PAS Lab3 Ottica