5 – Lenti e Specchi

Laboratorio di didattica della Fisica (III modulo):
Metodologie di insegnamento del Laboratorio di Ottica
5 – Lenti e Specchi
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Formazione immagini
Specchi
Superfici rifrangenti
Lenti sottili
Lenti spessi
Punti cardinali
PAS Lab3 Ottica
Ottica geometrica
 In ottica geometrica si analizza la formazione di immagini
assumendo che la luce si propaghi in modo rettilineo
(raggio: maniera comoda di descrivere il cammino seguito dall'onda luminosa e
cioè ortogonali ai fronti d'onda e diretti nel verso di propagazione)
 Quando, invece, gli effetti della diffrazione sono rilevanti, siamo
nel dominio dell'ottica fisica (ondulatoria): interferenza e
diffrazione.
PAS Lab3 Ottica
Formazione immagini
 Usando uno specchio o una lente per guardare un oggetto,
osserviamo un’immagine non l’oggetto reale !
 Formazione immagini: determinare il percorso di un raggio
luminoso che incontra specchi e/o lenti, ricorrendo alle leggi di
riflessione e rifrazione.
• Il cervello elabora l’informazione luminosa, ambiente circostante, memoria e costruisce
una «plausibile» immagine dell’oggetto e del contorno: talvolta SBAGLIA!
Esempio
PAS Lab3 Ottica
Miraggio
Formazione immagini
 specchio piano forma immagini virtuali:
1) Attraverso la posizione apparente dell'oggetto
non passano i raggi di luce
2) L'immagine non può essere proiettata su uno
schermo (per vederla occorre guardare nello
specchio o nella lente)
3) L'immagine virtuale prodotta da un singolo
specchio (o lente) è sempre diritta.
 L’immagine reale invece:
1) dopo aver incontrato lo specchio o la lente, il raggio luminoso passa
effettivamente attraverso la posizione dell'immagine
2) l'immagine reale può essere proiettata su uno schermo.
3) l'immagine reale prodotta da un singolo specchio o lente è sempre
capovolta.
PAS Lab3 Ottica
Specchio piano
Dalla legge delle riflessione nel caso
riportato in figura deve essere:
i  o
Per un oggetto esteso:
E’ sufficiente trovare la posizione di un
punto dell’immagine per localizzarla
interamente
Ingrandimento trasversale
h
m
h
Se negativo  immagine capovolta
PAS Lab3 Ottica
Specchio piano (esercizio)
Trovare l’altezza minima h di uno
specchio che consenta ad una
persona alta H di vedersi
interamente riflessa nello specchio.
Dal grafico si vede che la lunghezza
dello specchio deve essere pari ad
ac. Essendo
1
ab  te
2
1
bc  ef
2
1
1
e
si ha ac  ab  bc   te  ef   tf
2
2
1
e ponendo h  ac e H  tf  h  H
2
Indipendente dalla distanza della persona dallo specchio !
PAS Lab3 Ottica
Manet: "Un bar aux Folies Bergère"
Dove sono gli "errori" ?
PAS Lab3 Ottica
Specchi sferici
raggio di curvatura r
Equazione dello specchio
sferico
PAS Lab3 Ottica
raggio di curvatura r
1 1 2
1 1 1
 
ovvero
 
o i r
o i f
r
essendo f 
lunghezza focale
2
Derivazione equazione specchio
triangolo: angolo esterno =
somma angoli interni opposti
     e     2
combinando
    2
s
s
se s  av si ha   ,   ,  
o
r
1 1 2
1 1
da cui  
ovvero  
o i r
o i
s
i
1
 specchi sferici 
f
ipotesi raggi parassiali ( piccolo)
PAS Lab3 Ottica
Superfici rifrangenti sferiche
La distanza dell’immagine i è
legata alla distanza
dell’oggetto o, al raggio di
curvatura r ed ai due indici
di rifrazione n1 e n2.
n1 n2 n2  n1
 
o i
r
Questa equazione, con
opportune convenzioni sui
segni, è in grado di
descrivere la traiettoria dei
raggi che attraversano i
mezzi rifrangenti (valida per
raggi parassiali).
PAS Lab3 Ottica
Derivazione equazione superfici
rifrangenti sferiche
Legge della rifrazione
n1 sin 1  n2 sin 2
Teorema dell’angolo esterno:
1     e   2  
Ipotesi raggi parassiali: n11  n2 2 da cui
PAS Lab3 Ottica
n1  n2   n2  n1  
s
s
s
in radianti   ,   ,  
o
r
i
n1 n2 n2  n1
 
o i
r
 s  arco av 
Convenzioni sui segni
Se la luce convergente che proviene dalla
superficie di separazione deve formare una
immagine reale, questa deve trovarsi dalla
parte opposta rispetto a quella da cui
proviene la luce (regione R). Le immagini
virtuali sono invece prodotte sullo stesso lato
(regione V).
Il raggio di curvatura è considerato positivo se il centro di curvatura C
è situato nella regione R (negativo se è in V). La distanza dall’oggetto
è positiva per oggetti reali (nella regione V) mentre la distanza
immagine è positiva per immagini reali (nella regione R).
Per gli specchi la situazione è diversa:
PAS Lab3 Ottica
Esercizio (dov’e’ il pesce ?)
Si consideri che il pesce, posto in una vasca di
raggio 15 cm, si trova sul piano equatoriale a 10
cm dalla superficie esterna. Essendo l’indice di
rifrazione dell’acqua n1=1.33, si determini la
posizione del pesce per un osservatore esterno
alla vasca (trascurare l’effetto di rifrazione del
vetro, supposto sottile).
Con riferimento alla figura, per la convenzione sui segni o è positivo,
(oggetto nella regione V rispetto alla superficie sferica), r è negativo
(perché C è nella stessa regione di V) quindi dalla relazione:
n2 n2  n1 n1 1  1.33 1.33 0.66  3.99

 


 0.111 cm 1
i
r
o 15 cm 10 cm
30 cm
i  9 cm
si ha:
Vale a dire che il pesce appare più vicino alla parete della vasca di
quanto non lo sia in realtà.
PAS Lab3 Ottica
Lenti sottili
Lente sottile: lo spessore della lente è piccolo se paragonato alla distanza
dell’oggetto o, a quella dell’immagine i e ai raggi di curvatura r1 e r2 delle
due superfici rifrangenti.
Tipi di lenti
P
Equazione delle lenti sottili (o del fabbricante di lenti)
1 1
1
con
  n  1   
f
 r1 r2 
i
ingrandimento m  
o
1 1 1
 
o i f
PAS Lab3 Ottica
Lenti sottili: convenzioni sui segni
•(a)
1. r1 e r2 > 0 : se i corrispondenti centri
di curvatura si trovano nella regione
R (fig. a, r1 > 0 e r2 < 0). Lunghezza
focale f positiva (lente convergente).
2. o > 0 : se l’oggetto è reale e giace
nella regione V della lente (fig. a e
b).
3. i > 0 se l’immagine (reale) giace
nella regione R (fig. a e c).
4. m < 0 : se i ed o > 0 (fig. a immagine
capovolta)
PAS Lab3 Ottica
•(b)
•(c)
Lenti sottili
raggi paralleli
come tracciare i raggi
PAS Lab3 Ottica
Lenti Convergenti e Divergenti
Lenti Convergenti
PAS Lab3 Ottica
Lenti Divergenti
Equazione di Newton per lenti sottili
R1
xx'  f 2
R2
f
x'
m 
x
f
O
x
f
n
f‘
x’
n’
s
s’
PAS Lab3 Ottica
Sistemi ottici complessi
Lenti spesse, combinazioni di lenti, ...
Consideriamo il caso in cui t non sia trascurabile.
Vorremmo comunque mantenere la
relazione di Gauss tra oggetto e immagine.
n
n n ' nL  n nL  n ' n n '
P  

 
f f'
R1
R2
s s'
n’
t
nL
• Da dove misurare s, s’, f e f’ ?
• Come determinare la posizione di P ?
• Sviluppare un formalismo che può essere usato per tutti i sistemi
PAS Lab3 Ottica
Punti e Piani Principali
• I raggi incidenti ed emergenti si
incontrano in punti che definiscono
una superficie curva che può anche
non risiedere all’interno della lente.
• Il piano che approssima tale superficie
nella regione parassiale, è detto piano
principale (ne esistono due).
• I punti in cui i due piani principali
intersecano l’asse ottico sono detti
punti principali.
PAS Lab3 Ottica
Punti e Piani Cardinali:
Punti Focali (F) & Piani Principali (PP) – spazio n’
n
n’
nL
F
H2
2
ƒ’
PP2
Obiettivo: mantenere la definizione di punto focale ƒ’
PAS Lab3 Ottica
Punti e Piani Cardinali:
Punti Focali (F) & Piani Principali (PP) – spazio n
n
nL
n’
F1
H1
ƒ
PP1
Obiettivo: mantenere la definizione di punto focale ƒ
PAS Lab3 Ottica
Piani e Punti Cardinali
• Per una lente spessa in aria si definiscono quattro punti cardinali:
due punti focali e due punti principali.
• Gli ulteriori due punti cardinali, i punti nodali, coincidono con i
punti principali nel caso in cui l’indice di rifrazione è identico da
entrambi i lati della lente.
Esempi di posizionamento dei piani
principali per vari tipi di lenti
considerate spesse
PAS Lab3 Ottica
Utilità dei piani principali
Supponiamo che s, s’, f, f’ siano tutti misurati da H1 ed H2 …
n
h
nL
n’
F1
F2
H1
H2
ƒ’
ƒ
s
s’
PP1 PP2
PAS Lab3 Ottica
h’
Per una lente spessa, in aria, si definiscono quattro punti cardinali:
due punti focali e due punti principali.
Combinazioni di lenti (sottili)
• Una combinazione di due o più lenti sottili può essere trattata
come una “lente spessa” (purchè spazio immagine e spazio
oggetto abbiano lo stesso indice di rifrazione).
• Cioè il suo comportamento sarà descritto in termini dei punti
focali e dei punti principali della “lente spessa”.
• Rammentare che, ovunque cadano i piani principali (dentro o fuori il sistema di
lenti), le lunghezze focali misurate da essi sono eguali.
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