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Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Triangoli 1. La somma degli angoli interni di un triangolo è pari ad un angolo piatto (180◦ ). 2. In un triangolo la lunghezza di un lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza. 3. Il perimetro di un triangolo è la somma delle lunghezze dei lati. 1 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Triangoli: criteri di uguaglianza • I CRITERIO: Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l’angolo tra essi compreso congruenti. • II CRITERIO: Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e gli angoli adiacenti congruenti. • III CRITERIO: Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati congruenti. 2 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Triangoli rettangoli: teorema di Pitagora Teorema di Pitagora. Il quadrato della lunghezza dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze dei cateti: 2 2 2 BC = AC + AB . 3 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Triangoli rettangoli: teoremi di Euclide I Teorema di Euclide. In ogni triangolo rettangolo, il quadrato della lunghezza di un cateto è uguale al prodotto delle lunghezze della proiezione del cateto sull’ipotenusa e dell’ipotenusa stessa: 2 AB = BH · BC. II Teorema di Euclide. In ogni triangolo rettangolo, il quadrato della lunghezza dell’altezza relativa all’ipotenusa è uguale al prodotto delle lunghezze della proiezioni dei cateti sull’ipotenusa: 2 AH = BH · HC. 4 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Area di un triangolo A=area b=base h=altezza A= b·h 2 5 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Parallelogrammi • Ciascuna diagonale divide il parallelogramma in due triangoli uguali • I lati opposti e gli angoli interni opposti di un parallelogramma sono uguali • Le due diagonali si tagliano scambievolmente a metà • La somma degli angoli interni è 360◦ 6 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Area di un parallelogramma A=area b=base h=altezza A=b·h 7 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Parallellogrammi particolari Rettangolo A=a·b Rombo A= D·d 2 Quadrato A = L2 8 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Trapezio A= (b1 + b2 ) · h 2 9 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Poligoni regolari Consideriamo un poligono regolare a n lati (n > 2). Il termine regolare indica che i lati e gli angoli interni del poligoni sono uguali. Valgono le seguenti proprietà. 1. Nei poligoni con n lati (n ≥ 4) i segmenti congiungenti due vertici non consecutivi sono detti diagonali del poligono; il numero delle diagonali è pari a n · (n − 3) . 2 2. La poligonale che delimita il poligono si dice contorno del poligono e la sua lunghezza si dice perimetro P del poligono (somma dei lati) P =n·l n = numero di lati l = lato. 3. La somma degli angoli interni di un poligono a n lati è pari a n − 2 angoli piatti (n > 2), cioè: (n − 2) · 180◦ . 4. Il poligono regolare a n = 3 lati è il triangolo equilatero; il poligono regolare a n = 4 lati è il quadrato; analoghe definizioni valgono per pentagoni regolari (n = 5), esagoni regolari (n = 6), ecc. 10 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Area di un poligono regolare Tutti i poligoni regolari sono inscrittibili e circoscrittibili ad una circonferenza. Il raggio della circonferenza inscritta si chiama apotema del poligono e si denota con la lettera a. n=numero di lati l=lato a=apotema A=area P =perimetro A= P ·a n·l·a = 2 2 11 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Lunghezza della circonferenza e area del cerchio r=raggio L=lunghezza della circonferenza A=area del cerchio L = 2πr A = πr2 12 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Esercizi di ricapitolazione Esercizio Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo • A) sono complementari (somma 90◦ ) • B) sono supplementari (somma 180◦ ) • C) la loro somma è 120◦ • D) la loro somma è maggiore di 120◦ • E) nessuna delle precedenti La risposta è alla pagina successiva. 13 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Esercizi di ricapitolazione Esercizio Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo • A) sono complementari (somma 90◦ ) • B) sono supplementari (somma 180◦ ) • C) la loro somma è 120◦ • D) la loro somma è maggiore di 120◦ • E) nessuna delle precedenti RISULTATO A) 14 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Esercizi di ricapitolazione Esercizio Due triangoli sono necessariamente uguali quando • A) sono uguali i tre angoli • B) sono uguali un angolo e il lato opposto • C) sono uguali due lati e l’angolo opposto ad uno di essi • D) sono uguali due lati e l’angolo compreso fra essi • E) sono uguali due lati e la somma degli angoli interni La risposta è alla pagina successiva. 15 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Esercizi di ricapitolazione Esercizio Due triangoli sono necessariamente uguali quando • A) sono uguali i tre angoli • B) sono uguali un angolo e il lato opposto • C) sono uguali due lati e l’angolo opposto ad uno di essi • D) sono uguali due lati e l’angolo compreso fra essi • E) sono uguali due lati e la somma degli angoli interni RISULTATO D) (Per il primo Criterio di uguaglianza ) 16 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Esercizi di ricapitolazione Esercizio Due triangoli rettangoli sono uguali se, oltre all’angolo retto, hanno uguali • A) le ipotenuse • B) un cateto • C) i due angoli acuti • D) un lato qualsiasi • E) i due cateti La risposta è alla pagina successiva. 17 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Esercizi di ricapitolazione Esercizio Due triangoli rettangoli sono uguali se, oltre all’angolo retto, hanno uguali • A) le ipotenuse • B) un cateto • C) i due angoli acuti • D) un lato qualsiasi • E) i due cateti RISULTATO E) (Per il primo Criterio di uguaglianza ) 18 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Esercizi di ricapitolazione Esercizio Quale delle seguenti terne di numeri può rappresentare le misure dei lati di un triangolo? • A) 3 4 6 • B) 1 2 4 • C) 1 2 5 • D) 2 4 7 • E) 1 2 6 La risposta è alla pagina successiva. 19 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Esercizi di ricapitolazione Esercizio Quale delle seguenti terne di numeri può rappresentare le misure dei lati di un triangolo? • A) 3 4 6 • B) 1 2 4 • C) 1 2 5 • D) 2 4 7 • E) 1 2 6 RISULTATO A) La somma delle misure di due lati è sempre maggiore di quella del terzo 20 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Esercizi di ricapitolazione Esercizio La somma degli angoli interni di un esagono regolare • A) è pari a 720◦ • B) è pari a 600◦ • C) dipende dalla lunghezza dei lati • D) dipende dalla forma del poligono • E) è pari a 360◦ La risposta è alla pagina successiva. 21 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Esercizi di ricapitolazione Esercizio La somma degli angoli interni di un esagono regolare • A) è pari a 720◦ • B) è pari a 600◦ • C) dipende dalla lunghezza dei lati • D) dipende dalla forma del poligono • E) è pari a 360◦ RISULTATO A) La somma degli angoli interni di un poligono è uguale a (n − 2) · 180◦ essendo n il numero dei lati del poligono. Esempio: Esagono 4 · 180◦ = 720◦ 22 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Esercizi di ricapitolazione Esercizio Qual è il rapporto fra l’area di un cerchio di raggio unitario e l’area del quadrato inscritto? • A) π • B) π 2 • C) π 2 • D) π − 2 • E) 2π La risposta è alla pagina successiva. 23 www.easymaths.altervista.org Prof. Emanuele ANDRISANI 7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza Esercizi di ricapitolazione Esercizio Qual è il rapporto fra l’area di un cerchio di raggio unitario e l’area del quadrato inscritto? • A) π • B) π 2 • C) π 2 • D) π − 2 • E) 2π RISULTATO C) d=diagonale del quadrato √ d = l 2 con l = lato del quadrato l= √d 2 = √2 2 area del quadrato = 4 2 =2 area del cerchio π = area del quadrato 2 24 www.easymaths.altervista.org
