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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Triangoli
1. La somma degli angoli interni di un triangolo è pari ad un angolo
piatto (180◦ ).
2. In un triangolo la lunghezza di un lato è minore della somma degli
altri due e maggiore della loro differenza.
3. Il perimetro di un triangolo è la somma delle lunghezze dei lati.
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Triangoli: criteri di uguaglianza
• I CRITERIO: Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l’angolo tra essi compreso congruenti.
• II CRITERIO: Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e gli
angoli adiacenti congruenti.
• III CRITERIO: Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati
congruenti.
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Triangoli rettangoli: teorema di Pitagora
Teorema di Pitagora. Il quadrato della lunghezza dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze dei
cateti:
2
2
2
BC = AC + AB .
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Triangoli rettangoli: teoremi di Euclide
I Teorema di Euclide. In ogni triangolo rettangolo, il quadrato della lunghezza di un cateto è uguale al prodotto
delle lunghezze della proiezione del cateto sull’ipotenusa e
dell’ipotenusa stessa:
2
AB = BH · BC.
II Teorema di Euclide. In ogni triangolo rettangolo, il quadrato della lunghezza dell’altezza relativa all’ipotenusa è
uguale al prodotto delle lunghezze della proiezioni dei cateti
sull’ipotenusa:
2
AH = BH · HC.
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Area di un triangolo
A=area
b=base
h=altezza
A=
b·h
2
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Parallelogrammi
• Ciascuna diagonale divide il parallelogramma in due triangoli uguali
• I lati opposti e gli angoli interni opposti di un parallelogramma sono
uguali
• Le due diagonali si tagliano scambievolmente a metà
• La somma degli angoli interni è 360◦
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Area di un parallelogramma
A=area
b=base
h=altezza
A=b·h
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Parallellogrammi particolari
Rettangolo
A=a·b
Rombo
A=
D·d
2
Quadrato
A = L2
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Trapezio
A=
(b1 + b2 ) · h
2
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Poligoni regolari
Consideriamo un poligono regolare a n lati (n > 2). Il termine regolare
indica che i lati e gli angoli interni del poligoni sono uguali. Valgono le
seguenti proprietà.
1. Nei poligoni con n lati (n ≥ 4) i segmenti congiungenti due vertici non
consecutivi sono detti diagonali del poligono; il numero delle diagonali
è pari a
n · (n − 3)
.
2
2. La poligonale che delimita il poligono si dice contorno del poligono e
la sua lunghezza si dice perimetro P del poligono (somma dei lati)
P =n·l
n = numero di lati l = lato.
3. La somma degli angoli interni di un poligono a n lati è pari a n − 2
angoli piatti (n > 2), cioè:
(n − 2) · 180◦ .
4. Il poligono regolare a n = 3 lati è il triangolo equilatero; il poligono
regolare a n = 4 lati è il quadrato; analoghe definizioni valgono per
pentagoni regolari (n = 5), esagoni regolari (n = 6), ecc.
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Area di un poligono regolare
Tutti i poligoni regolari sono inscrittibili e circoscrittibili ad una circonferenza.
Il raggio della circonferenza inscritta si chiama apotema del poligono e si
denota con la lettera a.
n=numero di lati
l=lato
a=apotema
A=area
P =perimetro
A=
P ·a n·l·a
=
2
2
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
r=raggio
L=lunghezza della circonferenza
A=area del cerchio
L = 2πr
A = πr2
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Esercizi di ricapitolazione
Esercizio Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo
• A) sono complementari (somma 90◦ )
• B) sono supplementari (somma 180◦ )
• C) la loro somma è 120◦
• D) la loro somma è maggiore di 120◦
• E) nessuna delle precedenti
La risposta è alla pagina successiva.
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Esercizi di ricapitolazione
Esercizio Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo
• A) sono complementari (somma 90◦ )
• B) sono supplementari (somma 180◦ )
• C) la loro somma è 120◦
• D) la loro somma è maggiore di 120◦
• E) nessuna delle precedenti
RISULTATO
A)
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Esercizi di ricapitolazione
Esercizio Due triangoli sono necessariamente uguali quando
• A) sono uguali i tre angoli
• B) sono uguali un angolo e il lato opposto
• C) sono uguali due lati e l’angolo opposto ad uno di essi
• D) sono uguali due lati e l’angolo compreso fra essi
• E) sono uguali due lati e la somma degli angoli interni
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Esercizi di ricapitolazione
Esercizio Due triangoli sono necessariamente uguali quando
• A) sono uguali i tre angoli
• B) sono uguali un angolo e il lato opposto
• C) sono uguali due lati e l’angolo opposto ad uno di essi
• D) sono uguali due lati e l’angolo compreso fra essi
• E) sono uguali due lati e la somma degli angoli interni
RISULTATO
D)
(Per il primo Criterio di uguaglianza )
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Esercizi di ricapitolazione
Esercizio Due triangoli rettangoli sono uguali se, oltre all’angolo retto,
hanno uguali
• A) le ipotenuse
• B) un cateto
• C) i due angoli acuti
• D) un lato qualsiasi
• E) i due cateti
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Esercizi di ricapitolazione
Esercizio Due triangoli rettangoli sono uguali se, oltre all’angolo retto,
hanno uguali
• A) le ipotenuse
• B) un cateto
• C) i due angoli acuti
• D) un lato qualsiasi
• E) i due cateti
RISULTATO
E)
(Per il primo Criterio di uguaglianza )
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Esercizi di ricapitolazione
Esercizio Quale delle seguenti terne di numeri può rappresentare le misure
dei lati di un triangolo?
• A) 3 4 6
• B) 1 2 4
• C) 1 2 5
• D) 2 4 7
• E) 1 2 6
La risposta è alla pagina successiva.
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Esercizi di ricapitolazione
Esercizio Quale delle seguenti terne di numeri può rappresentare le misure
dei lati di un triangolo?
• A) 3 4 6
• B) 1 2 4
• C) 1 2 5
• D) 2 4 7
• E) 1 2 6
RISULTATO
A) La somma delle misure di due lati è sempre maggiore di quella del terzo
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Esercizi di ricapitolazione
Esercizio La somma degli angoli interni di un esagono regolare
• A) è pari a 720◦
• B) è pari a 600◦
• C) dipende dalla lunghezza dei lati
• D) dipende dalla forma del poligono
• E) è pari a 360◦
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Esercizi di ricapitolazione
Esercizio La somma degli angoli interni di un esagono regolare
• A) è pari a 720◦
• B) è pari a 600◦
• C) dipende dalla lunghezza dei lati
• D) dipende dalla forma del poligono
• E) è pari a 360◦
RISULTATO
A) La somma degli angoli interni di un poligono è uguale a
(n − 2) · 180◦
essendo n il numero dei lati del poligono.
Esempio: Esagono 4 · 180◦ = 720◦
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Esercizi di ricapitolazione
Esercizio Qual è il rapporto fra l’area di un cerchio di raggio unitario e
l’area del quadrato inscritto?
• A) π
• B) π 2
• C)
π
2
• D) π − 2
• E) 2π
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7. Richiami di geometria euclidea: triangoli, poligoni, circonferenza
Esercizi di ricapitolazione
Esercizio Qual è il rapporto fra l’area di un cerchio di raggio unitario e
l’area del quadrato inscritto?
• A) π
• B) π 2
• C)
π
2
• D) π − 2
• E) 2π
RISULTATO
C)
d=diagonale del quadrato
√
d = l 2 con l = lato del quadrato
l=
√d
2
=
√2
2
area del quadrato =
4
2
=2
area del cerchio
π
=
area del quadrato
2
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