DOMANDE PER L’ESAME DI ELEMENTI DI GEOMETRIA D.P.D.V.S. 2014-15
Prima sezione: argomenti tratti dai corsi di scuola secondaria
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Concetti di punto, retta e piano ed assiomi d’incidenza
Segmenti: definizioni, operazioni, confronti.
Gli angoli: definizioni, operazioni, confronti, terminologia
Rette parallele: esistenza, proprietà
Rette perpendicolari: esistenza, proprietà.
Poligonali e poligoni, diagonali, angoli interni ed esterni, proprietà.
Triangoli: classificazioni, punti notevoli.
I criteri di congruenza per i triangoli
Il teorema dell’angolo esterno per i triangoli e conseguenze
Triangoli: proprietà di lati ed angoli.
Triangoli rettangoli: congruenza, similitudini, rapporti fra i lati, caratterizzazioni.
Riduzione di un poligono ad un triangolo equivalente.
Equiscomponibilità di poligoni
Criteri di similitudine dei triangoli
Quadrilateri notevoli: trapezi e parallelogrammi.
Circonferenza, cerchio, archi, settori, radianti
Angoli al centro ed alla circonferenza
Parallelismo e perpendicolarità fra rette e piani nello spazio
Diedri, angoli solidi, poliedri, piramidi, poliedri regolari
Cilindro, cono, sfera: definizioni, mutue relazioni
Seconda sezione: schede integrative
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Definizione di relazione d’equivalenza, proprietà, esempi
Definizione di insieme ordinato, tipi di ordine, terminologia, rappresentazioni
Definizione di monoide ordinato, esempi
Azione di un gruppo su un insieme, G-orbite
La relazione d’equivalenza generata da una relazione simmetrica
Lemma di Zorn e assiomi equivalenti.
Completezza e continuità per una relazione d’ordine
Il gruppo delle isometrie, le simmetrie assiali
Rotazioni, composizione di rotazioni con lo stesso centro
Traslazioni e vettori, il gruppo delle traslazioni
Scomposizione di una isometria nel prodotto di simmetrie
Il gruppo dei movimenti
Isometrie prodotto di tre simmetrie, nei vari casi
Figure isometriche e figure congruenti
Gli assiomi di Hilbert (schema e commenti)
Alcune costruzioni geometriche elementari con riga e compasso
Terza serie: teoremi visti nel corso:
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La proprietà archimedea dell’insieme ordinato dei segmenti
L’esistenza dei sottomultipli di un segmento
Congruenza di figure piane: possibili assiomi
Il gruppo degli angoli e l’ordinamento
Esistenza del circocentro e dell’incentro di un triangolo
Esistenza del baricentro di un triangolo
I teoremi di Euclide e Pitagora e conseguenze
Equivalenza di figure piane: assiomi, equiscomponibilità
Le classi di equiestensione delle figure piane
Caratterizzazione dei poligoni regolari mediante le circonferenze inscritta e circoscritta
Rette e circonferenze: mutue posizioni
Teoria delle grandezze: assiomi.
Grandezze: l’esempio delle figure piane rispetto all’equiestensione
Rapporti tra grandezze e misura di una grandezza.
Il teorema di Talete
L’area del rettangolo e di altri poligoni.
Rettificazione della circonferenza e quadratura del cerchio
Geometrie senza (il postulato delle) parallele
Note. Alcuni argomenti sono stati trattati solo nei seminari: molte delle proprietà della
circonferenza e del cerchio, gli elementi di geometria solida.
Altri argomenti, principalmente dimostrazioni, si trovano sviluppati principalmente negli appunti,
mentre a lezione sono stati solo accennati, perché di agevole reperimento nei testi di scuola
secondaria o facilmente (?) ricostruibili.
La domanda 18 della III serie si riferisce alle proprietà che non ci sono nelle geometrie non
euclidee, ed anche all’esempio del piano proiettivo.
All’orale sarà chiesto ad ogni allievo di rispondere ad una domanda scelta a caso per ciascun
settore.
Al voto finale sarà aggiunto il bonus di un punto a coloro che avranno svolto un seminario durante
il corso.
