L’ANGOLO NELLA STORIA DELLA MATEMATICA
Gli Egiziani di millenni fa erano impegnati nel calcolo accurato di inclinazioni.
Il problema 56 del papiro di Rhind chiede di calcolare il “seqt” della faccia di una piramide a base
quadrata, alta 250 cubiti, con lato di 360 cubiti.
Il “seqt” era la misura egiziana della pendenza di una linea (l’inclinazione reciproca di due linee
diventa la pendenza di una di loro quando l’altra è orizzontale).
Talete, primo vero matematico, considera per la prima volta l’angolo come un’entità geometrica
a sé stante, facendone la quarta grandezza della geometria (con lunghezza, superficie e volume).
Talete dimostra che gli angoli alla base di un triangolo isoscele (iso uguale e skelos gamba) sono
uguali, stabilendo così un legame forte tra misure lineari e misure angolari: a due lati uguali
corrispondono due angoli uguali.
Famoso è il teorema di Talete relativo alla proporzionalità:
Un fascio di rette parallele AA’, BB’, CC’ taglia su due rette trasversali, D e D’, segmenti
corrispondenti proporzionali:
AB:A’B’= AC: A’C’
Praticamente la prima coppia e la seconda hanno lo stesso rapporto.
Questo teorema, fiore all’occhiello della matematica greca, apre alla scienza delle proporzioni,
cioè alla similitudine: e dietro alla similitudine c’è la forma!
Tutte le figure simili hanno la stessa forma: conservare le proporzioni significa conservare la forma.
La forma è ciò che si conserva quando si mantengono immutate le proporzioni cambiando le
dimensioni.
Questo teorema si applica a tutti i problemi che mettono in gioco i rapporti: i cambiamenti di
scala, i modellini in miniatura, le mappe, le carte geografiche, le riduzioni, gli ingrandimenti.
LAB. 1
“…un fellah di età indecifrabile si accovacciò al suo fianco: questa piramide è stata innalzata
dal faraone Cheope con l’unico scopo di indurre gli esseri umani ad ammettere la loro
meschinità.”
Impossibile misurare l’altezza della piramide?
Talete osservò che “ il rapporto tra me e la mia ombra è uguale a quello tra la piramide e la sua:
se ne può dedurre che, nell’attimo in cui la mia ombra sarà uguale alla mia statura, l’ombra
della piramide sarà uguale alla sua altezza”.
Il teorema del pappagallo, Denis Guedj
Euclide da le seguenti definizioni di angolo (Elementi, libro I,VIII e IX):
Angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee su un piano, le quali si incontrino fra loro e non
giacciano in linea retta
Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo si chiama rettilineo
La conoscenza delle proprietà degli angoli e della similitudine diventa uno strumento formidabile
per indagare il Cielo e definire le prime misure astronomiche: distanza del Sole e della Luna,
dimensioni degli stessi, dimensioni della Terra.
Il matematico si abitua a passare dalla grandezza “metrica” dell’oggetto considerato, costante,
alla grandezza apparente, variabile in funzione del punto di vista: si introduce l’espressione “vedere
grande n gradi” per esprimere la grandezza apparente di un oggetto che sottende un angolo
visivo di n gradi.
Grandezze uguali poste a distanze diverse
appaiono diverse, e più grande sempre quella
che sta più vicino all'occhio.
Euclide, Ottica (da “Le geometrie della visione”, Catastini, Ghione)
Con Eudosso e soprattutto con Aristarco di Samo (310 a.C.-230 a.C.)
notevoli:
si raggiungono risultati
il Sole è circa 20 volte più lontano della Luna rispetto alla Terra…
…le loro grandezze, avendo grandezze apparenti quasi identiche, stanno nello stesso rapporto.
Senza entrare nel merito ecco di seguito la premessa della dimostrazione del metodo usato da
Aristarco.
Nella figura 1 siano: S la posizione del Sole, T quella della Terra, L quella della Luna quando metà
della sua superficie è illuminata (primo o ultimo quarto).
Dalle osservazioni si ha che l'angolo (STL) fra Sole e Luna al primo quarto è di 87°; allora TSL = 3°.
Il progresso degli studi nell’astronomia presuppone quindi una conoscenza sempre migliore delle
proprietà degli angoli: ciò porterà alla nascita della trigonometria.
