Fis_1-2-gen_03-9

FISICA 1
A.A. 2008-2009
03.09.2009
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
5 Crediti
10 Crediti
Esercizio n. 1 Un punto materiale si muove su un disco di raggio R che ruota con velocità angolare costante ω. Se la
velocità del corpo rispetto al disco vr è costante ed è diretta radialmente, determinare il modulo dell’accelerazione del
corpo rispetto ad un osservatore fisso nel momento in cui il corpo è a distanza R/2 dal centro di rotazione. Eseguire i calcoli
per vr= 1 m/s, R= 2.5 m, ω = 0.8 rad/s.
Dalla cinematica dei moti relativi
aa= ar + at + ac= -ω2r + 2 ω x vr
le componenti tangenziali e normali (verso antiorario) di aa sono:
aat= -ω2r
; aan= 2ωvr
e quindi
a= (aan2 + aat2)1/2= ω (ω2R2/4 + 4vr2)1/2= 1.79 m/s2
Esercizio n. 2 Un corpo di massa M è vincolato a muoversi lungo un binario avente la forma
riportata in figura (un tratto rettilineo seguito da una semicirconferenza di raggio R). La forza di gravità
è assente, ma tra binario e corpo esiste un coefficiente di attrito dinamico μ. Se nel punto A la velocità B
del corpo è vA, calcolare:
1. la velocità vB del corpo nel punto B in cui inizia la curva
2. l’andamento nel tempo v(t) della velocità lungo la curva (tratto BC, considerare t=0 in B)
3. il lavoro compiuto dalla forza di attrito, sapendo che il corpo percorre la curva in un tempo t*
Eseguire i calcoli per M= 300 g, vA= 2 m/s, R= 10 m, t*= 18.5 s, μ= 0.1.
A
Naturalmente vB= vA, mentre lungo la curva
Mdv/dt= -μMv2/R  dv/v2= -μdt/R  1/vA-1/v= -μt/R
Da cui
v(t)= vAR/(R+μvAt)
e infine
La= ΔK= M(v2(t*)- v2(0))/2= -0.28 J
C
Esercizio n. 3 Un proiettile di massa M viene sparato da un cannone con velocità iniziale v0 e angolo di tiro α rispetto
all’orizzontale. Nel punto più alto della traiettoria il proiettile esplode in due frammenti m1 e m2, di cui uno di massa doppia
dell’altro. Il frammento più pesante subito dopo l’esplosione si muove verticalmente verso il basso con velocità v 1 in
modulo. Determinare il vettore v2 della velocità del frammento più leggero subito dopo l’esplosione.
Eseguire i calcoli per M= 1 Kg, v0= 100 m/s, , v1= 40 m/s, α = 30°.
Nell’esplosione si conserva vettorialmente la quantità di moto :
Mv= m1v1+m2v2
Dove v= v0cosα ux è la velocità di M al momento dell’esplosione.
Proiettando sugli assi x,y e tenendo conto del fatto che m1= 2M/3, m2= M/3 si ha
Mv0cosα= m2v2x= Mv2x/3
; 0= m1v1y+m2v2y= -2Mv1/3+Mv2y/3
E quindi
v2=3v0cosα ux + 2v1 uy = (260 ux + 80 uy) m/s
Esercizio n. 4 Un gas ideale biatomico è contenuto in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole senza attrito, a
contatto con l’ambiente esterno alla pressione di una atmosfera. Inizialmente il pistone viene tenuto fermo da un gancio e il
gas si trova in uno stato A in cui le variabili termodinamiche valgono TA, VA, pA. A pistone bloccato si fornisce
reversibilmente una quantità di calore Q al gas, portandolo nello stato B. Successivamente il pistone viene liberato, e il gas
viene posto a contatto con una sorgente a temperatura T C, raggiungendo un nuovo stato di equilibrio C. Infine il gas viene
reversibilmente riportato allo stato iniziale, mantenendo libero il pistone.
Disegnare il ciclo compiuto nel diagramma p,V e calcolare la variazione di entropia nelle trasformazioni AB, BC e CA.
Eseguire i calcoli per TA= 300K, VA = 0.1 m3, pA = 1 atm, Q = 6000 J, TC= 400K.
Il ciclo è costituito da una isocora reversibile (AB), una trasformazione irreversibile fino alla pressione atmosferica ealla
temperatura TC (BC) e una isobara reversibile (CA).
Allora per le trasformazioni reversibili
ΔSAB= ∫dQ/T= ncv ln(TB/TA)= 17.9 J/K
(TB= 371 K si ricava dalla ncv(TB-TA)= Q)
ΔSCA= ∫dQ/T= ncp ln(TA/TC)= -33.9 J/K
E infine
ΔSBC= -ΔSAB- ΔSCA= 16.0 J/K
perché nel ciclo ΔSTOT=0
FISICA 2
A.A. 2008-2009
Cognome
Corso di Studi
Voto
Esercizio n. 1
Nome
03.09.2009
n. matricola
Docente
5 Crediti
10 Crediti
Una sfera di raggio a e densità di carica elettrica  uniforme ha al suo interno una cavità sferica di raggio b,
il cui centro è in a distanza d dal centro della sfera. Calcolare il vettore campo elettrico all’interno della
cavità (mostrando che esso è uniforme in tutta la cavità). La sfera viene quindi posta in un campo elettrico
esterno uniforme Eext , diretto orizzontalmente, ossia lungo l’asse x. Calcolare il vettore forza F
complessivamente agente sulla sfera. Effettuare i calcoli per a = 20 cm , b = 5 cm , d= 12 cm ,
 = 6x10 -7 C/m3 , Eext = 3 kV/m .
a
d
b
Il campo elettrico in un punto P interno alla cavità può essere considerato dovuto a quello di una sfera piena di raggio R 1 e
densità di carica  sovrapposto a quello della sfera di raggio R2 con densità di carica - Entrambi sono ricavabili
dall’applicazione della legge di Gauss e valgono:
E1 
r
3 0
ed E2  
r'
3 0
,
con r riferito al centro della sfera ed r’ riferito al centro della cavità. Il campo risultante è dato dalla somma vettoriale dei
due contributi, è uniforme e vale:
E
 (r  r ')  d

  2.7 kV / m  dˆ
3 0
3 0
Applicando il campo esterno Eext , la forza risultante sulla sfera è data dalla sommatoria della forze agenti sulle singole
cariche infinitesime dq che compongono la sfera carica. Perciò, dal momento che il campo elettrico esterno Eext è uniforme,
si ha:
F
E
ext
dq  E ext
V carica
 dq  E
V carica
ext
4
 (a 3  b 3 )  (5.9x10-5 N) d̂
3
Esercizio n. 2
Un condensatore piano isolato e di carica Q è formato da due armature semicircolari fisse, di raggio a e
distanti h tra loro. Una lastra di dielettrico, di costante dielettrica relativa r e di volume uguale a quello del
condensatore, può invece ruotare senza attrito come indicato in figura. Si consideri la situazione iniziale,
con il dielettrico ruotato di un angolo 0 rispetto alle armature del condensatore. Si ricavi la capacità del
condensatore equivalente e si dimostri che il suo valore massimo si ottiene per  = 0°. Si calcoli infine il
lavoro necessario per massimizzare la capacità ruotando il dielettrico. Effettuare i calcoli per Q = 30 nC ,
0 = 30° , a 10 cm , h = 0.5 cm , r = 3.
h
0
a
Il condensatore equivalente è dato dal parallelo di due condensatori C 1 e C2 con le seguenti superfici e capacità:

0 a 2
 0 S1  0 0 a 2
S


C


1
 1

2
h
2h

2
2
 S     0  a  C   0 r S2   0 r    0  a
2
 2
2
h
2h

C0  (C1  C2 ) 
 0a2
 0   r    0    74 pF
2h 
Dalla formula appena ricavata, si evince che la capacità massima si ottiene ovviamente per 0 = 0 e vale CMAX = 83 pF. Il
lavoro necessario per ruotare il dielettrico e massimizzare la capacità è:
W  U 
Q2  1
1 
   6.6 107 J ,

2  CMAX C0 
che risulta negativo perché il condensatore carico “risucchia” il dielettrico.
Esercizio n. 3
Un pendolo semplice è costituito da una carica puntiforme Q, di massa m ed appesa ad un filo
inestendibile lungo l e con carico di rottura C. Il suo moto inizia dalla posizione con  = 90° ed avviene in
presenza di gravità e sotto l’azione di un campo magnetico uniforme B, diretto perpendicolarmente al piano
di oscillazione col verso indicato in figura. Sapendo che, nell’istante in cui il pendolo arriva a formare un
angolo * con la verticale, il filo si spezza a causa delle forze agenti sulla massa m, si calcoli il valore del
campo magnetico. Effettuare i calcoli per Q = 3 mC , m= 1 g , l = 60 cm , C = 1.2 x 10-2 N , * = 20° .
*
l
B
Q
La presenza del campo magnetico fa sì che la carica risenta nel suo moto dell’azione della forza di Lorentz, diretta
radialmente in verso uscente nell’arco di circonferenza considerato. Possiamo quindi utilizzare la conservazione dell’energia
meccanica e l’equilibrio delle forze applicate alla massa nell’istante della rottura del filo:
1

2
mgl  2 mv *  mgl 1  cos  *

2
Qv * B  mv *  mg cos  *  C

l
nelle quali v* rappresenta la velocità della carica puntiforme nell’istante della rottura del filo. Ricavando v* dalla prima
equazione e B dalla seconda, si ottiene:
v*  2 gl 1  cos  *  0.84 m / s
;
B
lC  mv *2 mgl cos  *
 0.64 T
lQv *
Esercizio n. 4
Una spira avente la forma di un semicerchio di raggio a e resistenza R viene mantenuta in rotazione
con velocità angolare costante  intorno al suo centro O (vedi figura). Nella regione di spazio
ombreggiata è presente un campo magnetico costante B, diretto perpendicolarmente al piano della
figura e con verso uscente dal foglio. Si ricavino la corrente I indotta nella spira e la potenza P in essa
dissipata per effetto Joule, discutendo in dettaglio il verso di I. Si disegni poi il grafico in funzione del
tempo di I e P e se ne calcolino i valori per a = 40 cm , R = 3  ,  = 10 rad/s , B = 0.5 T .
O

a

B
Nell’istante rappresentato in figura, si ha:
( B)  B 
B a 2 Ba 2t

2
2

I 
Ba 2
 0.13 A
2R
Il flusso del vettore campo magnetico B cresce per 0     , per cui il verso della corrente indotta sarà orario, mentre
esso decresce per     2 e la corrente scorrerà in verso antiorario. La potenza dissipata per effetto Joule nella spira
è costante nel tempo e vale:
 Ba  
R
2
PI
2
4R
2
 0.05 W
e, riassumendo, gli andamenti funzionali di I e P sono quelli rappresentati al lato.
I
O
t
P
O
t
FISICA GENERALE (A)
A.A. 2008-2009
03.09.2009
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
5 Crediti
10 Crediti
Esercizio n. 1 Un punto materiale si muove su un disco di raggio R che ruota con velocità angolare costante ω. Se la
velocità del corpo rispetto al disco vr è costante ed è diretta radialmente, determinare l’angolo (rispetto alla direzione
radiale) che forma l’accelerazione del corpo rispetto ad un osservatore fisso nel momento in cui il corpo è a distanza R/2
dal centro di rotazione. Eseguire i calcoli per vr= 1 m/s, R= 2.5 m, ω = 0.8 rad/s.
Dalla cinematica dei moti relativi
aa= ar + at + ac= -ω2r + 2 ω x vr
le componenti tangenziali e normali (verso antiorario) di aa sono:
aat= -ω2r
; aan= 2ωvr
e quindi
θ= atn(aan/ aat)= atn(-4vr/ωr)= 116.6°
Esercizio n. 2 Una gas ideale biatomico è contenuta in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole senza attrito, a
contatto con l’ambiente esterno alla pressione di una atmosfera. Inizialmente il pistone viene tenuto fermo da un gancio e il
gas si trova in uno stato A in cui le variabili termodinamiche valgono TA, VA, pA. A pistone bloccato si fornisce
reversibilmente una quantità di calore Q al gas, portandolo nello stato B. Successivamente il pistone viene liberato, e il gas
viene posto a contatto con una sorgente a temperatura T C, raggiungendo un nuovo stato di equilibrio C. Infine il gas viene
reversibilmente riportato allo stato iniziale, mantenendo libero il pistone.
Disegnare il ciclo compiuto nel diagramma p,V e calcolare la variazione di entropia nelle trasformazioni AB, BC e CA.
Eseguire i calcoli per TA= 300K, VA = 0.1 m3, pA = 1 atm, Q = 6000 J, TC= 400K..
Il ciclo è costituito da una isocora reversibile (AB), una trasformazione irreversibile fino alla pressione atmosferica e
temperatura TC (BC) e una isobara reversibile (CA).
Allora per le trasformazioni reversibili
ΔSAB= ∫dQ/T= ncv ln(TB/TA)= 17.9 J/K
(TB= 371 K si ricava dalla ncv(TB-TA)= Q)
ΔSCA= ∫dQ/T= ncp ln(TA/TC)= -33.9 J/K
E infine
ΔSBC= -ΔSAB- ΔSCA= 16.0 J/K
perché nel ciclo ΔSTOT=0
Esercizio n. 3
Un condensatore piano isolato e di carica Q è formato da due armature semicircolari fisse, di raggio a e
distanti h tra loro. Una lastra di dielettrico, di costante dielettrica relativa r e di volume uguale a quello del
condensatore, può invece ruotare senza attrito come indicato in figura. Si consideri la situazione iniziale,
con il dielettrico ruotato di un angolo 0 rispetto alle armature del condensatore. Si ricavi la capacità del
condensatore equivalente e si dimostri che il suo valore massimo si ottiene per  = 0°. Si calcoli infine il
lavoro necessario per massimizzare la capacità ruotando il dielettrico. Effettuare i calcoli per Q = 30 nC ,
0 = 30° , a 10 cm , h = 0.5 cm , r = 3.
h
0
a
Il condensatore equivalente è dato dal parallelo di due condensatori C1 e C2 con le seguenti superfici e capacità:

0 a 2
 0 S1  0 0 a 2
S


C


1
 1

2
h
2h

2
2
 S     0  a  C   0 r S2   0 r    0  a
2
 2
2
h
2h

C0  (C1  C2 ) 
 0a2
 0   r    0    74 pF
2h 
Dalla formula appena ricavata, si evince che la capacità massima si ottiene ovviamente per 0 = 0 e vale CMAX = 83 pF. Il
lavoro necessario per ruotare il dielettrico e massimizzare la capacità è:
W  U 
Q2  1
1 
   6.6 107 J ,

2  CMAX C0 
che risulta negativo perché il condensatore carico “risucchia” il dielettrico.
Esercizio n. 4
Un pendolo semplice è costituito da una carica puntiforme Q, di massa m ed appesa ad un filo
inestendibile lungo l e con carico di rottura C. Il suo moto inizia dalla posizione con  = 90° ed avviene in
presenza di gravità e sotto l’azione di un campo magnetico uniforme B, diretto perpendicolarmente al piano
di oscillazione col verso indicato in figura. Sapendo che, nell’istante in cui il pendolo arriva a formare un
angolo * con la verticale, il filo si spezza a causa delle forze agenti sulla massa m, si calcoli il valore del
campo magnetico. Effettuare i calcoli per Q = 3 mC , m= 1 g , l = 60 cm , C = 1.2 x 10-2 N , * = 20° .
l
Q
*
B
La presenza del campo magnetico fa sì che la carica risenta nel suo moto dell’azione della forza di Lorentz, diretta
radialmente in verso uscente nell’arco di circonferenza considerato. Possiamo quindi utilizzare la conservazione dell’energia
meccanica e l’equilibrio delle forze applicate alla massa nell’istante della rottura del filo:
1

2
mgl  2 mv *  mgl 1  cos  *

2
Qv * B  mv *  mg cos  *  C

l
nelle quali v* rappresenta la velocità della carica puntiforme nell’istante della rottura del filo. Ricavando v* dalla prima
equazione e B dalla seconda, si ottiene:
v*  2 gl 1  cos  *  0.84 m / s
;
B
lC  mv *2 mgl cos  *
 0.64 T
lQv *
FISICA GENERALE (B)
A.A. 2008-2009
03.09.2009
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
5 Crediti
10 Crediti
Esercizio n. 1 Un corpo di massa M è vincolato a muoversi lungo un binario avente la forma
riportata in figura (un tratto rettilineo seguito da una semicirconferenza di raggio R). La forza di gravità
è assente, ma tra binario e corpo esiste un coefficiente di attrito dinamico μ. Se nel punto A la velocità B
del corpo è vA, calcolare:
4. la velocità vB del corpo nel punto B in cui inizia la curva
5. l’andamento nel tempo v(t) della velocità lungo la curva (tratto BC, considerare t=0 in B)
6. il lavoro compiuto dalla forza di attrito, sapendo che il corpo percorre la curva in un tempo t*
Eseguire i calcoli per M= 300 g, vA= 2 m/s, R= 10 m, t*= 18.5 s, μ= 0.1.
A
C
Naturalmente vB= vA, mentre lungo la curva
Mdv/dt= -μMv2/R  dv/v2= -μdt/R  1/vA-1/v= -μt/R
Da cui
v(t)= vAR/(R+μvAt)
e infine
La= ΔK= M(v2(t*)- v2(0))/2= -0.28 J
Esercizio n. 2 Un proiettile di massa M viene sparato da un cannone con velocità iniziale v0 e angolo di tiro α rispetto
all’orizzontale. Nel punto più alto della traiettoria il proiettile esplode in due frammenti m1 e m2, di cui uno di massa doppia
dell’altro. Il frammento più pesante subito dopo l’esplosione si muove verticalmente verso il basso con velocità v1 in
modulo. Determinare il vettore v2 della velocità del frammento più leggero subito dopo l’esplosione.
Eseguire i calcoli per M= 1 Kg, v0= 100 m/s, , v1= 40 m/s, α = 30°.
Nell’esplosione si conserva vettorialmente la quantità di moto :
Mv= m1v1+m2v2
Dove v= v0cosα ux è la velocità di M al momento dell’esplosione.
Proiettando sugli assi x,y e tenendo conto del fatto che m1= 2M/3, m2= M/3 si ha
Mv0cosα= m2v2x= Mv2x/3
; 0= m1v1y+m2v2y= -2Mv1/3+Mv2y/3
E quindi
v2=3v0cosα ux + 2v1 uy = (260 ux + 80 uy) m/s
Esercizio n. 3
Una sfera di raggio a e densità di carica elettrica  uniforme ha al suo interno una cavità sferica di raggio b,
a
il cui centro è in a distanza d dal centro della sfera. Calcolare il vettore campo elettrico all’interno della
b
cavità (mostrando che esso è uniforme in tutta la cavità). La sfera viene quindi posta in un campo elettrico
d
esterno uniforme Eext , diretto orizzontalmente, ossia lungo l’asse x. Calcolare il vettore forza F
complessivamente agente sulla sfera. Effettuare i calcoli per a = 20 cm , b = 5 cm , d= 12 cm ,
 = 6x10 -7 C/m3 , Eext = 3 kV/m .
Il campo elettrico in un punto P interno alla cavità può essere considerato dovuto a quello di una sfera piena di raggio R1 e
densità di carica  sovrapposto a quello della sfera di raggio R2 con densità di carica - Entrambi sono ricavabili
dall’applicazione della legge di Gauss e valgono:
E1 
r
3 0
ed E2  
r'
3 0
,
con r riferito al centro della sfera ed r’ riferito al centro della cavità. Il campo risultante è dato dalla somma vettoriale dei
due contributi, è uniforme e vale:
E
 (r  r ')  d

  2.7 kV / m  dˆ
3 0
3 0
Applicando il campo esterno Eext , la forza risultante sulla sfera è data dalla sommatoria della forze agenti sulle singole
cariche infinitesime dq che compongono la sfera carica. Perciò, dal momento che il campo elettrico esterno Eext è uniforme,
si ha:
E
F
ext
dq  E ext
V carica
 dq  E
ext
V carica
4
 (a 3  b 3 )  (5.9x10-5 N) d̂
3
Esercizio n. 4
Una spira avente la forma di un semicerchio di raggio a e resistenza R viene mantenuta in rotazione
con velocità angolare costante  intorno al suo centro O (vedi figura). Nella regione di spazio
ombreggiata è presente un campo magnetico costante B, diretto perpendicolarmente al piano della
figura e con verso uscente dal foglio. Si ricavino la corrente I indotta nella spira e la potenza P in essa
dissipata per effetto Joule, discutendo in dettaglio il verso di I. Si disegni poi il grafico in funzione del
tempo di I e P e se ne calcolino i valori per a = 40 cm , R = 3  ,  = 10 rad/s , B = 0.5 T .
O

a

B
Nell’istante rappresentato in figura, si ha:
( B)  B 
B a 2 Ba 2t

2
2

I 
Ba 2
 0.13 A
2R
Il flusso del vettore campo magnetico B cresce per 0     , per cui il verso della corrente indotta sarà orario, mentre
esso decresce per     2 e la corrente scorrerà in verso antiorario. La potenza dissipata per effetto Joule nella spira
è costante nel tempo e vale:
 Ba  
R
2
P  I2
4R
2
 0.05 W
e, riassumendo, gli andamenti funzionali di I e P sono quelli rappresentati al lato.
I
O
t
P
O
t