Serie E.P. N. 84
Istituto di Statistica
Dott.ssa L. Deldossi
Alcune considerazioni sulla scelta dei parametri nella definizione di
una carta di controllo bivariata a media mobile
1. Introduzione
In questo ultimo decennio hanno trovato grande sviluppo, sia in ambito teorico che applicativo, le
carte di controllo multivariate il cui obiettivo è quello di consentire il controllo simultaneo di più
caratteristiche – anche correlate – di un processo, con la finalità di correggere una loro eventuale
variazione di media.
In questo senso Lowry et al. (1992) hanno proposto – come naturale estensione del caso univariato
– la carta di controllo a media mobile multivariata, indicata nel seguito con la sigla MUPES
(Multivariata a Ponderazione Esponenziale).
Essa si basa sul vettore Zt di dimensione p definito nel seguente modo:
Z t = rX t + (1 − r )Z t −1 ,
Z0 = 0
[1]
dove le v.c. p-variate X1, X2, ..., indipendenti e identicamente distribuite come N (0, Σ x ) ,
descrivono nel tempo le p caratteristiche oggetto del controllo ed il parametro r soddisfa al vincolo
0 < r ≤ 1.
Essendo Zt un vettore, le informazioni in esso raccolte, sono riassunte nell’informatore
complessivo:
Tt 2 =
2 − r ' −1
⋅ Zt ⋅ Σ x ⋅ Zt
r
[2]
e su di esso si basa la carta di controllo multivariata a media mobile.
La carta conduce ad accettare H 0 : M ( X t ) = 0 e a ritenere il processo “in controllo” se Tt 2 ≤ h
dove h>0 è un conveniente valore critico; al contrario, conduce ad accettare H 1 : M ( X T ) = μ ≠ 0 e
a ritenere il processo “fuori controllo” se Tt 2 > h .
Facciamo osservare che per r=1, il vettore Zt coincide con Xt; dunque, la carta di controllo diviene
una carta di Shewhart multivariata e l’informatore [2] un caso particolare dell’usuale T2 di
Hotelling.
Il numero di osservazioni, a partire da t0 – con t0 istante iniziale – tale che l’ultima porta al rifiuto di
H0, mentre le altre ne comportano l’accettazione, definisce la variabile casuale “lunghezza di
sequenza” che, nel seguito, indicheremo con N.
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Dott.ssa L. Deldossi
Dato che lo studio della distribuzione di probabilità di N per la carta di controllo a media mobile
bivariata (p=2), ha condotto ad alcune considerazioni – oggetto della seconda parte del presente
lavoro – in merito alla determinazione dei parametri (r, h) che caratterizzano tale carta, nel secondo
paragrafo si premette la presentazione teorica della distribuzione di probabilità di N per la carta di
controllo multivariata ed alcune sue proprietà. Nel terzo paragrafo, viene definito il criterio,
prevalentemente utilizzato per la determinazione dei parametri r ed h, basato su considerazioni in
merito alla lunghezza media di sequenza (ARL) e in quest’ottica è dato un suggerimento per
l’individuazione del valore critico h.
La distribuzione di probabilità di N e dei suoi percentili, presentata nel quarto paragrafo, al variare
di r ed h, sia sotto l’ipotesi nulla che alternativa, induce ad alcune riflessioni circa il significato del
criterio basato su ARL per la determinazione dei suddetti parametri; in tal senso, nell’ultimo
paragrafo si propone di utilizzare degli opportuni percentili della distribuzione di N, piuttosto che la
lunghezza media di sequenza, per la determinazione dei parametri (r, h).
2. La distribuzione di probabilità della lunghezza di sequenza N
3. La scelta dei parametri r ed h secondo ARL
4. L’andamento della distribuzione di probabilità della lunghezza di sequenza
5. Il significato probabilistico della scelta dei parametri r ed h
6. Conclusioni
Bibliografia
Aprile 1997
