APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA IN GEOMETRIA

APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA IN GEOMETRIA PIANA
Rettangolo
Tracciando una diagonale (d) nel rettangolo, esso viene diviso in due triangoli rettangoli congruenti. In entrambi i triangoli la diagonale è ipotenusa mentre le due dimensioni sono i cateti, quindi possiamo applicare il teorema di Pitagora.
Triangolo Rettangolo
Se in un triangolo rettangolo tracciamo l’altezza relativa all’ipotenusa lo dividiamo in due triangoli rettangoli diversi. In entrambi i triangoli l’altezza relativa all’ipotenusa è un cateto, le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa del triangolo di partenza sono gli altri cateti mentre i cateti del triangolo di partenza saranno le ipotenuse dei triangoli più piccoli
Triangolo 1
Triangolo 2
2
2
2
2
2
2
AC  CH  AH
CH  AC  AH
AH  AC  CH
2
2
2
2
2
2
CB  CH  HB
1
2
HB  CB  CH
CH  CB  HB
Triangolo isoscele
Se tracciamo l’altezza relativa alla base a un triangolo isoscele questo rimane diviso in due triangoli rettangoli congruenti. In entrambi l’altezza è un cateto anche metà base è un cateto mentre il lato obliquo è ipotenusa.
2
AC  CH  AH
2
2
2
2
2
CH  AC  AH
AH  AC  CH
Rombo
Se tracciamo le diagonali a un rombo esso rimane diviso in 4 triangoli rettangoli congruenti. In tutti e 4 triangoli i cateti sono metà diagonali e l’ipotenusa è il lato del rombo.
2
2
2
2
AB  AO  OB
0
A0  AB  OB
2
0B  AB  AO
2
Trapezio rettangolo
Se tracciamo l’altezza interna in un trapezio rettangolo questo rimane diviso in due parti: un triangolo rettangolo e un quadrilatero. Nel triangolo rettangolo i cateti sono : l’altezza del trapezio e la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore, l’ipotenusa è il lato obliquo.
Legenda
CH = cateto
HB = (b‐b1)
CB = ipotenusa
2
CB  CH  HB
2
2
HB  CB  HB
2
2
CH  CB  HB
2
Trapezio isoscele
Se tracciamo le altezze in un trapezio isoscele questo rimane diviso in tre parti: due triangoli rettangoli congruenti e un quadrilatero. Nel triangolo rettangolo i cateti sono : l’altezza del trapezio e la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore, l’ipotenusa è il lato obliquo.
A
2
CB  CK  KB
Legenda
CK = cateto
KB = (b‐b1): 2
CB= ipotenusa
B
2
2
KB  CB  CK
2
2
CK  CB  KB
2
Quadrato (Triangoli particolari)
Se dividiamo il quadrato con la diagonale si ottengono due triangoli rettangoli isosceli congruenti.
In questi triangoli la diagonale è l’ipotenusa mentre entrambi i cateti sono uguali al lato.
Legenda
d  l 2  l 2  lx 2
ld: 2
Poiché la radice di 2 è un numero irrazionale di solito si usa l’approssimazione ai centesimi, 1,41.
Questa applicazione si estende a tutti i triangoli rettangoli isosceli (hanno i cateti uguali e gli angoli acuti di 45°)
Triangolo equilatero ( Triangoli particolari)
Se dividiamo un triangolo equilatero con un’altezza si ottengono due triangoli rettangoli congruenti.
In questi triangoli il lato è l’ipotenusa mentre l’altezza è un cateto e mezzo lato è l’altro cateto. Gli angoli acuti sono rispettivamente di 30° e di 60°
4l 2  l 2
3l 2 l
l
h  l   

 x 3
4
4
2
2
2
2
Formula inversa l 
2xh
3
Poiché la radice di 3 è un numero irrazionale di solito si usa l’approssimazione ai centesimi, 1,73.
Se un triangolo rettangolo ha un angolo di 30° avrà l’altro angolo acuto di 60°, questo triangolo sarà la metà di un triangolo equilatero, valgono quindi le stesse formule
APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA NEL PIANO CARTESIANO
L’applicazione del t. di Pitagora nel piano cartesiano è nota come «teorema della distanza» perché ci consente di calcolare la distanza di due punti sul piano se sono note le coordinate dei loro estremi: Per calcolare la distanza tra i punti M e N si applica il teorema di Pitagora nel triangolo NHM in cui MN è ipotenusa:
2
MN  MH  NH
2
Poiché MH si ottiene dalla differenza tra l’ascissa del punto H e l’ascissa del punto M , mentre NH si ottiene dalla differenza tra l’ordinata del punto N meno l’ordinata del punto H. Avremo:
2
2
MN 
x2  x1    y2  y1 