Galilei e Newton

La relatività Galileiana
Il principio della relatività Galileiana afferma che tutti i sistemi di riferimento, in
moto rettilineo ed uniforme, sono equivalenti per le leggi che regolano il moto di un
corpo. Un osservatore che viaggia su un treno a velocità costante v, non sarebbe in
grado di sapere, senza alcun riferimento esterno, se si trova in moto o è fermo rispetto
al suolo. In effetti tutti i fenomeni fisici avvengono sul treno allo stesso modo che sul
suolo fermo rispetto al treno. Un grave cade perpendicolare nel treno secondo la
legge della gravitazione e lo stesso accade sul suolo. Applicando una forza F ad un
corpo di massa m il corpo accelera secondo F/m secondo la seconda legge di Newton.
Tutto avviene allo stesso modo al suolo.
Considerando che il treno viaggia teoricamente parallelo al suolo, possiamo scrivere
che lo spazio percorso dal treno, nel tempo t, è x= vt . Un passeggero che cammina
lungo il corridoio del treno con velocità w nella direzione del moto, se prende come
riferimento il treno, può affermare che la sua velocità è w.
Per un osservatore al suolo la velocità del passeggero è la somma della velocità del
treno e del passeggero (v+w).
Generalizzando, considerati due sistemi inerziali O ed O’ se O’ si muove rispetto ad
O in modo trasversale secondo la coordinata x con velocità v, la velocità di un mobile
che viaggia a velocità w nel sistema O’ avrà una velocità complessiva di v+w (le
velocità si sommano).
Questo principio alquanto intuitivo dice in sostanza che i sistemi inerziali (che si
muovono a velocità costante) non influenzano le leggi della dinamica di un corpo; la
velocità di un corpo materiale che nel sistema di riferimento O’ risulta w nel sistema
di riferimento O risulta la somma delle due velocità (v+w).
Questa legge verrà messa in discussione dalla teoria della relatività speciale di
Einstein come vedremo più avanti.
La legge della gravitazione universale di Newton
Come è arrivato Newton a scrivere la sua legge della gravitazione universale in modo
così generale ed al tempo stesso sintetico?1
F=KMm/r2
Due corpi materiali si attraggono reciprocamente con una forza che è proporzionale
al prodotto delle rispettive masse ed inversamente proporzionale al quadrato della
distanza.
Keplero trovò per primo le leggi che regolano il moto dei pianeti applicando alle
osservazioni una metrica precisa:
1. I pianeti percorrono orbite ellittiche, di cui il sole occupa uno dei fuochi.
2. Il raggio vettore sole-pianeta descrive aree uguali in tempi uguali.
3. I cubi degli assi maggiori delle ellissi sono proporzionali ai quadrati dei periodi
di rivoluzione.
Newton comprese che il moto dei pianeti rispondeva alla stessa legge della caduta dei
gravi. Quindi applicò la legge più generale, valida anche per i corpi sottoposti ad una
forza diversa dalla gravitazione terrestre, dove al posto di g (accelerazione di gravità)
occorre indicare a l’accelerazione a cui è sottoposto qualsiasi corpo materiale
sottoposto ad una forza F (F=ma).
Trascurando la piccola eccentricità che presentano le orbite dei pianeti, possiamo
ritenere, in prima approssimazione, che l’orbita sia circolare e che l’accelerazione sia
quella del moto circolare uniforme cioè
a=v2 /r
dove v è la velocità orbitale costante ed r il raggio della circonferenza.
La velocità si calcola dividendo lo spazio percorso diviso il tempo impiegato e nel
caso di un moto circolare uniforme vale
v=2πr/T
dove 2πr è la misura della circonferenza e T è il periodo di rivoluzione. Si ha quindi
1
Vedi Max Born “La sintesi Einsteniana” ed. Boringhieri 1969
a=4π2r2//rT2 =4π2r/T2
(1)
Applicando la terza legge di Keplero si ottiene
r3/T2=costante, quindi r/T2=costante/r2
sostituendo nella (1)
a=4π2C/r2
dove per brevità C= costante.
Poiché C è uguale per tutti i pianeti, e dipende solamente dalle caratteristiche della
massa attraente cioè in questo caso dal sole, dobbiamo ricavarne che l’accelerazione
centripeta è indipendente dalla massa del pianeta ed è proporzionale al quadrato della
distanza.
Ma noi abbiamo fatto una semplificazione quando abbiamo considerato l’orbita del
pianeta circolare. Cosa otterremo nel caso di orbite ellittiche?
Troveremmo, dopo calcoli sicuramente più laboriosi, lo stesso identico risultato!
In definitiva un pianeta che orbita a distanza r dal sole è soggetto ad una forza di
attrazione
F=m(4π2C/r2)
(2)
Per il terzo principio della dinamica ad ogni forza se ne oppone una uguale e
contraria: anche il sole viene attratto in qualche misura dal pianeta; possiamo
scrivere
F’=M(4π2c/r2)
Dove M è la massa del sole, “c” una costante che dipende soltanto dalle
caratteristiche fisiche del pianeta e deve essere F=F’ cioè
m(4π2C/r2)= M(4π2c/r2)
semplificando si ha mC=Mc cioè C/M=c/m ed indicando con k/4π2 il rapporto in
questione possiamo scrivere
4π2C=KM, e 4π2c=Km
K è la costante di gravitazione e sostituendo nella (2) otteniamo la forma simmetrica
F=KMm/r2 da cui siamo partiti.
Perché l’inverso del quadrato della distanza?
La legge dell’inverso del quadrato della distanza è una costante di alcune leggi della
fisica: la legge di gravitazione di Newton, la legge di Coulomb sull’attrazione delle
cariche, l’energia delle onde elettromagnetiche si diffonde nell’atmosfera in ragione
inversa del quadrato della distanza; ho letto ipotesi di qualche studioso, secondo la
quale, la gravità a grandi distanze potrebbe rispondere a 1/r3.
Riflettendo sulla dipendenza di tali leggi dall’inverso del quadrato della distanza, mi
sono chiesto se ci fosse una relazione con la superficie della sfera di raggio r (4πr2).
Se supponiamo di avere in un punto determinato una forza che agisce sullo spazio
circostante, le sue linee di forza si distribuiscono uniformemente in tutte le
direzioni: a distanza r dal punto la forza uguale a F si dovrà ridurre a F/4πr2 pertanto
in un singolo punto la forza agente sarà inversamente proporzionale a 4πr2. (vedi
Figura 1).
Quindi la forza di gravità determinata dalla massa M e il campo elettrico determinato
dalla carica Q non potranno diminuire come 1/r o come 1/r3, ma proprio come 1/r2.
Figura 1 Linee di forza su una sfera di raggio r