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Analisi
FUNZIONI
Per introdurre correttamente il significato di funzione è necessario fare una breve
panoramica sulla definizione di insieme.
Insiemi
Un insieme è un raggruppamento di oggetti di qualsiasi natura. Es.: l’insieme delle
persone di una classe, l’insieme dei ragazzi della scuola il cui cognome inizia con la
lettera A, l’insieme delle vie di una città; .....
La rappresentazione degli insiemi è varia ma spesso è capitato di trovare la seguente
rappresentazione
Detta rappresentazione di Venn
Se all’interno di questi insiemi poniamo degli oggetti
Gli oggetti si chiameranno elementi dell’insieme A
Per identificare simbolicamente che un elemento è parte di un insieme si utilizza
questo tipo di scrittura a∈A dove ∈vuol dire “appartiene”.
Negli insiemi è possibile effettuare alcune operazioni:
UNIONE indicata con il simbolo
∪
Esempio l’insieme unione degli insiemi A e B è dato da tutti gli elementi di A e
da tutti gli elementi di B. Con i diagrammi di Venn si rappresenta nel seguente modo:
A
B
Viene a crearsi un nuovo
insieme C formato da tutti gli
elementi di A e da tutti gli elementi di B e viene indicato
C=A∪B
INTERSEZIONE indicata con il simbolo ∩
A cura della prof. P. Paciulli
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Analisi
L’insieme intersezione di due insiemi A e B è dato da tutti gli elementi che
contemporaneamente sono sia in A che in B. Graficamente si rappresenta nel
seguente modo
A
C
B
In simboli l’insieme C viene rappresentato nel seguente modo: C=A∩B
L’insieme C quindi, dalla sua definizione viene ad essere contenuto sia nell’insieme A
sia nell’insieme B e ciò si indica con la scrittura
C⊂A
e
Il simbolo
o con B)
C⊂B
si legge contenuto o uguale (l’insieme C potrebbe coincidere con A
⊆
C è anche detto sottoinsieme dell’insieme A
Un insieme che non ha elementi viene detto insieme vuoto e si indica con il simbolo
∅
Definizione
Si definisce applicazione tra due insiemi A e B non vuoti una legge che associa ad
un elemento di A uno o più elementi di B.
Simboli matematici necessari per lavorare con gli insiemi
Esiste
Appartenente(appartiene)
Per ogni
/
Tale che
:
Tale che
La scrittura
elementi)
x
A si legge quindi : Esiste un x appartenente ad A (A= insieme di
La scrittura
x
A si legge quindi : Per ogni x appartenente ad A (A= insieme di
elementi) (il simbolo
è detto quantificatore universale)
In particolare quindi è possibile definire gli insiemi nel seguente modo:
Per elencazione A={Paolo, Romolo, Giovanna, Francesco}
Per proprietà A={x/x è un alunno della classe 5 M del corso serale dell’ITIS Fermi}
A cura della prof. P. Paciulli
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Analisi
Intervalli e geometria
L'insieme dei numeri reali (
numero reale x
) può essere messo in relazione con una retta; un
è rappresentato con un punto sulla retta
Un intervallo è analogo a un segmento; un punto x
segmento
[a,b] è un punto interno al
) è rappresentabile con un piano in cui sia
L'insieme dei numeri complessi (a + jb
definito un sistema di assi cartesiani: sulle ascisse troviamo la parte reale (a, cioè la
parte non moltiplicata per l'unità immaginaria j) mentre sulle ordinate troviamo la
parte immaginaria (b, ovvero il fattore che moltiplica l'unità immaginaria j); un
numero complesso x
, dunque, è rappresentato con un punto sul piano
Intervalli
Aperto
Chiuso
Aperto-chiuso
Chiuso-aperto
A = (a, b)
A = [a, b]
A = (a, b]
A = [a, b)
A = {x ∈ ℜ / a < x < b}
A = {x ∈ ℜ / a ≤ x ≤ b}
A = {x ∈ ℜ / a < x ≤ b}
A = {x ∈ ℜ / a ≤ x < b}
a,b
; ad esempio 3
(2, 4]; 2
(2, 4]
Funzioni
Definizione: Dati due insiemi non vuoti D e C si chiama applicazione o funzione una
relazione tra gli elementi dei due insiemi che ad ogni x appartenente all'insieme D fa
corrispondere uno ed un solo elemento y dell'insieme C.
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Analisi
L'insieme D è detto Dominio della funzione f, il sottoinsieme dell'insieme C formato dai
valori corrispondenti alle x dell'insieme D è detto Codominio.
Le funzioni di cui ci occupiamo sono funzioni reali di variabile(x) reale assegnate
generalmente mediante una legge analitica e possono essere classificate in:
- funzioni algebriche:
- funzioni trascendenti:1)
1)
razionali intere (polinomi)
2)
razionali fratte (quozienti di polinomi)
3)
irrazionali (la variabile indipendente x compare sotto il
segno di radice)
goniometriche (y=senx; y=cosx;y=tgx; y=cotgx ...)
2)
esponenziali
(y=ex+1;...)
3)
logaritmiche
(y=log(x+3);...)
Nelle funzioni reali di variabile Reale è di fondamentale importanza la determinazione
del dominio di esistenza, ovvero la determinazione dell'insieme di numeri Reali in
cui la variabile indipendente x varia al fine di ottenere valori reali per la
corrispondente variabile dipendente y=f(x).
Una funzione è detta pari se è valida la seguente regola:
f(-x)=f(x)
per ogni x del Dominio di
esistenza
Una funzione è detta dispari se è valida la seguente regola:
f(-x)=-f(x)
per ogni x del Dominio di
esistenza.
Una funzione è detta crescente se è verificata la condizione:
f(x1)≤
≤f(x2)≤
≤f(x2)
per ogni x1,x2 appartenenti a D tali che
x1<x2<x2
In particolare la funzione è detta strettamente crescente se nella prima
disuguaglianza non compare il segno di =
Una funzione è detta strettamente decrescente se è verificata la condizione:
f(x1)>
>f(x2)>
>f(x2)
per ogni x1,x2 appartenenti a D tali che
x1<x2<x2
In particolare la funzione è detta decrescente se nella prima disuguaglianza compare il
segno di =
Una funzione è detta Monotòna quando è sempre strettamente crescente o
strettamente decrescente nel suo dominio
Una funzione è detta composta o funzione di funzione quando è data dalla
composizione di due o più funzioni, ovvero:
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Analisi
se z=g(x) e
y=f(z) allora si chiama funzione composta di f con g la funzione
y=h(z)=f(g(x)) (esempio: y=sen(x+3) è la composizione delle funzioni y=senz e
z=x+3)
Insiemi di definizione o domini di esistenza
Si riporta di seguito una tabella in cui sono riepilogate le condizioni da impostare per
la determinazione del dominio di esistenza
tipo
funzione
condizione
dominio
Y=polinomio
nessuna
{∀x ∈ ℜ}
g(x)≠0
{∀x ∈ ℜ / g ( x) ≠ 0}
y=
algebrica
y=
n
n
y=
n
y=n
n pari
f(x)≥0
{∀x ∈ ℜ / f ( x) ≥ 0}
n dispari
nessuna
{∀x ∈ ℜ}
n pari
f(x)≥0 e g(x) ≠0
{∀x ∈ ℜ / f ( x) ≥ 0 e g ( x) ≠ 0}
n dispari
g(x) ≠0
{∀x ∈ ℜ / g ( x) ≠ 0}
n pari
g(x)>0
{∀x ∈ ℜ / g ( x) > 0}
n dispari
g(x)≠0
{∀x ∈ ℜ / g ( x) ≠ 0}
n pari
f ( x)
≥0
g ( x)
f ( x)
> 0
∀x ∈ ℜ /
g ( x)
n dispari
g(x)≠0
{∀x ∈ ℜ / g ( x) ≠ 0}
f ( x)
f ( x)
g ( x)
f ( x)
y=
trascendente
f ( x)
g ( x)
g ( x)
f ( x)
g ( x)
y = log a f ( x )
f(x)>0
{∀x ∈ ℜ / f ( x) > 0}
y = a f ( x)
condizione di f(x)
dominio di f(x)
y = senx
nessuna
{∀x ∈ ℜ}
y = cos x
nessuna
{∀x ∈ ℜ}
y = tgx
x≠ π+kπ con k∈ℵ
{∀x ∈ ℜ / x ≠ π + kπ }
y = cot gx
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x≠kπ
con k∈ℵ
{∀x ∈ ℜ / x ≠ kπ }
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Analisi
Esercizi – determinare il dominio di esistenza delle seguenti funzioni:
1.
y =
2.
y =
3.
y =
4.
y =
5.
y =
6.
y =
7.
y =
8x 2 + 10x − 7
7x − 14
(x − 4)7
3x 2 − 14x − 5
(x
x 5 − 25
2
)
− 7x − 18 (x + 3)
x 2 − 7x − 18
3
x 2 − 5x
x 2 − 9x
x 2 − 7x − 18
x2 − 4
3
x 2 − 15x + 54
log(x 2 − 7x + 10)
x+4
8.
y =
9.
y = log(x − 3) − log(x + 5)
10. y =
x2 − 9
5 x +2
STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE
Nello studio di una funzione ha particolare importanza lo studio del segno della
funzione perchè indica in maniera chiara le parti del piano dove possiamo essere certi
che la funzione sia presente.
Per meglio comprendere questo concetto si prenda in considerazione la funzione:
y=
x−2
x +1
della quale effettuiamo lo studio del segno.
Il primo passo è quello di impostare la funzione ≥0 e risolvere la disequazione
associata
Lo studio della disequazione avviene studiando dapprima in maniera separata
numeratore e denominatore e poi facendo il grafico complessivo della frazione.
Quindi:
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Analisi
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Studio del Numeratore
il cui grafico sarà:
Studio del Denominatore
il cui grafico sarà
Grafico complessivo della disequazione:
L'interpretazione del grafico complessivo porta ad escludere delle parti di piano per il
disegno della funzione oggetto dello studio, infatti, dal momento che per x<-1 la
funzione è positiva si deduce che in tale intervallo la funzione non potrà assumere
valori negativi e quindi tutta la parte di piano indicata con il tratteggio delimitata dalle
x<-1 e dalle y negative viene eliminata, analogamente la funzione non sarà presente
nella parte di piano delimitata dal ramo positivo dell'asse delle y e dai valori di x
compresi nell'intervallo(-1;2) (infatti in tale intervallo la funzione assume valori
negativi), e concludendo non sarà presente neanche nella parte di piano delimitata
dalle x>2 e dal ramo negativo dell'asse delle y.
Si evince quindi che il grafico della funzione sarà presente solo nelle parti prive di
tratteggio.
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Analisi
Esercizi:eseguire lo studio del segno delle funzioni seguenti dopo averne determinato
il dominio di esistenza.
1. y =
2. y =
3. y =
4. y =
5. y =
1 + 3x
x − x2
x 2 − 3x + 2
(x − 3)2
4x 2 − 5x + 2
x −1
x+4
7 − x2
8 − 3x
x(2 − x)
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