Formula di Taylor del secondo ordine
Data una funzione f di classe C 2 in un aperto A ⊂ RN , e x0 ∈ A, si vuole
provare la validità della formula
1
f (x) = f (x0 )+∇f (x0 )·(x−x0 )+ (D2 f (x0 ) (x−x0 ))·(x−x0 )+o(|x−x0 |2 ) (1)
2
Per dimostrarla, introduciamo la funzione ausiliaria
Ψ(x) = f (x) − f (x0 ) − ∇f (x0 ) · (x − x0 ) −
1 2
(D f (x0 ) (x − x0 )) · (x − x0 ),
2
che, essendo la differenza di f ed una funzione quadratica, è, come f , di classe
C 2 . Si tratta quindi di mostrare
|Ψ(x)| = o(|x − x0 |2 ).
(2)
Primo passo Deriviamo Ψ(x) rispetto ad x ottenendo
∇Ψ(x) = ∇f (x) − ∇f (x0 ) − D2 f (x0 ) (x − x0 ).
(3)
Qui abbiamo sfruttato che il gradiente di una funzione lineare x 7→ p·x è uguale a
p, e il gradiente di una forma quadratica x 7→ (A x) · x, con A matrice simmetrica,
è 2 A x, nonchè naturalmente che il gradiente di una funzione costante è nullo.
Nella formula in esame la funzione lineare è
x 7→ ∇f (x0 ) · (x − x0 )
e la forma quadratica
x 7→
1 2
(D f (x0 ) (x − x0 )) · (x − x0 ),
2
si noti come il fattore 21 si semplifica con il 2 che compare nella derivazione della
forma quadratica.
Se scriviamo (3) componente per componente otteniamo
Ψxi (x) = fxi (x) − fxi (x0 ) − ∇fxi (x0 ) · (x − x0 )
per i = 1, · · · , N . Siccome sussiste la formula di Taylor di primo ordine per le
funzioni fxi , che sono di classe C 1 dato che f è di classe C 2 , otteniamo
Ψxi (x) = fxi (x) − fxi (x0 ) − ∇fxi (x0 ) · (x − x0 ) = o(|x − x0 |)
1
per ogni i. Accorpando queste informazioni per i = 1, · · · , N , otteniamo ancora
|∇Ψ(x)| = o(|x − x0 |).
(4)
Secondo passo Congeliamo, oltre a x0 , anche x, introduciamo una variabile
reale t, e consideriamo la funzione reale di variabile reale
Φ(t) := Ψ(((1 − t) x0 + t x))
per t che varia in [0, 1]. Usando la regola di derivazione delle funzioni composte per
Φ, che si può appunto vedere come la composizione della funzione Ψ : RN → R,
funzione esterna, e della funzione h : (0, 1) → RN definita mediante h(t) =
(1 − t) x0 + t x), funzione interna, con derivata rispetto a t uguale a (x − x0 ),
viene
Φ0 (t) = ∇Ψ((1 − t) x0 + t x) · (x − x0 ) per t ∈ (0, 1).
Tenendo conto che
Φ(1) = Ψ(x) e Φ(0) = 0
otteniamo tramite applicazione del Teorema del Valor Medio di Lagrange
Ψ(x) = Φ(1) − Φ(0) = Φ0 (s) = ∇Ψ((1 − s) x0 + s x) · (x − x0 )
e quindi
|Ψ(x)| ≤ |∇Ψ((1 − s) x0 + s x)| |x − x0 |
(5)
per un opportuno s ∈ (0, 1). Si noti che s dipende da x, ma resta sempre compreso
in (0, 1).
Terzo passo Si tratta di combinare i risultati ottenuti nei passi precedenti.
Facendo tendere x a x0 , abbiamo in base a (4), (5)
|Ψ(x)| = o(s|x − x0 |) |x − x0 |,
(6)
dove, ribadiamo, s dipende da x ma appartiene sempre a (0, 1). Si ha
lim
x→x0
o(s|x − x0 |) s|x − x0 |)
o(s|x − x0 |)
o(s|x − x0 |)
= lim
= lim
s
x→x0 s|x − x0 |
x→x0 s|x − x0 |
|x − x0 |
|x − x0 |
e, dato che s ∈ (0, 1) per ogni x, si conclude
lim
x→x0
o(s|x − x0 |)
=0
|x − x0 |
o, in altri termini che o(s|x−x0 |) = o(|x−x0 |). Incorporando questa informazione
in (6) si ottiene
|Ψ(x)| = o(|x − x0 |) |x − x0 | = o(|x − x0 |2 ),
2
il che dimostra (2), e quindi la formula (1), che era la nostra finalità.
Si ottiene un’altra formula interessante facendo lo sviluppo di Taylor del primo
ordine della funzione Θ(t) = f ((1 − t) x0 + t x) con resto di Lagrange, prendendo
t = 0 come punto iniziale e t = 1 come punto incrementato. Viene
Θ(1) = Θ(0) + Θ0 (0) +
1 00
Θ (s)
2
(7)
con s intermedio tra 0 e 1. Applicando la formula di derivazione delle funzioni
composte viene, come sopra
Θ0 (t) = ∇f ((1 − t) x0 + t x) · (x − x0 )
per derivare ulteriormente, osserviamo che x−x0 è costante rispetto a t e ∇f ((1−
t) x0 + t x) è la composizione di ∇f con h(t) = (1 − t) x0 + t x. Lo Jacobiano di
∇f è D2 f , mentre la derivata di h(t) è (x − x0 ), per cui si ottiene
Θ00 (t) = (D2 f (((1 − t) x0 + t x)) (x − x0 )) · (x − x0 ).
Quindi
Θ0 (0) = ∇f (x0 ) · (x − x0 )
Θ0 (0) = (D2 f ((1 − s) x0 + s x) (x − x0 )) · (x − x0 )
Raccogliendo queste informazioni, e tenendo conto che Θ(0) = x0 , Θ(1) = x
deduciamo da (7)
f (x) = f (x0 ) + ∇f (x0 ) · (x − x0 ) +
1 2
(D f ((1 − s) x0 + s x) (x − x0 )) · (x − x0 )
2
con s intermedio tra 0 e 1, che era la seconda formula che volevamo ottenere.
Antonio Siconolfi, Dipartimento di Matematica, Università di Roma “La Sapienza”.
[email protected]
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