- 36 -
m([AJ
)
O
=
t
(A)
VA E]l
Tale mlsura è strettamente positiva. Posto
m'(A')
risulta che
m'
=
VA'
m(h(A'))
ha le stesse proprietà di
a sua vo1 ta su]l
una
vA,
€
m per il Lemma (10.5)
,,-fini ta , ,,-mi sura )}
m'induce
ponendo
VA E]l .
Tale mlsura sarà nulla su 0 l' Per il Teorema di Teoria della mlsura
[1J pago 77), analogo ad riultato (2),
,,'
lR
A U Al; ma questo porta che
o
nulle (assurdo).
=
.3 A
o
e:B
)} e
p01
con
(cfr.
v (A ) = O ed 3 Al
o
m'ed
€
:J 1
m sono identicamente
§11. - m-omomorfismi, atomi, ed interpretazione negli spazi_di Stone.
DEF. Siano .A
ed.A'
due algebre Booleane ed
il :.A -"j.'
un omomorfismo.
Supponiamo che esistano:
( 1)
Da
A
e
=
A c A segue che
t
( 2)
h(A ) c h(A)
t
'rbene diremo che 1 'omomorfismo
h
e quindi
ploeserva l'unione Boo1ena (1) se esiste
la (2) e risulta:
•
Analogamente
Direnlo che
Sl
definisce un omomorfismo che preserva l' intersezione
h è un m-nmomorfismo
tutte le intersezioni), con card T
L'omomorfismo
h
Sl
•
se preserva tutte le unioni (1) (e quindi
< m.
dice poi .'è.0mpleto
se è un m-omomorfismo
lIm.
- 37 ..... .311 ('lO
Le definizioni appena dateYconfrontate con la (4) del § 8, precisamente se
h
è un isomorfismo surgettivo allora
D f a ccA
DEF. 2.
Un'a10ebra
si dice atomo
A si dice atomica
<
è completo.
di j1
se non eiste B eJ1 - [D,al con Be
>YAe.A -{O}
J
un atomo
d.
a c A .
La nozione di atomo per un'algebra Booleana è l'analoga di quella di insieme
ridotto ad un sol punto (sirigoletto) per un campo.
Si vede facilmente che
t A c J1
(a a tomo di ,P.) < > fa =
(4)
PROP. (11.1). Sia,}.
h
= {
a c.A : a a tomo di Jl.
è un omornorfismo completo di
Stone
a
h
è un isomorfismo di Jl.
X di .A
YA E,}.
a c AJ .
0?(X)
è atomir.lallora
*
j1
sul campo
atomo di ,}.
atomica
« >
e
'"
>
pri va di atorni
n
h
è un isomorfismo.
dei clopen dello spazio di
h(a)
h (a ) €,}. * .: ;.
y =
!x
«9
c
X
X
è un singoletto di
X
h(a)
.:..
x
•
•
X
è un punto isolato di
isolato}
, 'ì'
=
X
è denso in sé, cioé non ha punti isolati.
Evidentemente ogni algebra Booleana finita è atomica
se
X = h(l)
dove
allora
atomo di J;
a
e
.A nel campo
è l'insieme di tutti gli atomi di j1: Se j1
Se
è un ultrafiltro.
un'algebra Booleana e ponlamo
h(A)
Allora
: a c AJ
n
ed ha 2
elementi
è il numero degli atomi.
DEF. 3. - Sia
X uno spazio topologico,
•
n
tET
A (u
t t€T
e
c X, diremo che
e
è un m-chiuso
< m.
(m-aperto)
« > e=
DEF. 4 - Se
X è uno spazlo topologico totalmente sconnesso diremo che è
A)
t
con
A
t
clopen e card T
o
estremamente sconnesso
chiuso).
YA
aperto: A apel'to
(<-=> ye
chiuso
ei
- 38 -
Orbene si ha il seguente
Teorema (11.2). Se
, .
è un'algebra Booleana ed
X e 11 suo spaZ10 di Stone
s l ha:
a)
vA
m-completa <: > VA
Ilè"aperto di
< >
completa
è aperto
o
<: > ve
b).}\
X:
-A
m-chiuso di
X
X: C
è chiuso
è estremamente sconnesso
(cfr. Cl] pag.85-86).
Col teorema di rappresentazione s l è visto che ogn1 algebra Booleana è i somor
fa ad un campo d'insiemi .}\ *
•
Se
J.
•
e una m-a l gebra, anche
* e• una m-a l gebra,
J.
•
ma 1n generale non è un m-campo (cfr. Osservo (9. 1) ed ese mp l Aecc.).
Ma addirittura è possibile provare che V cardinale infinito. m esistono
algebre che non sono isomorfe ad alcun m-cè.mpo (cfr. [1] pago 97).
Dal teorema di rappresentazione segue il seguente
Teorema (11.3). Se
vA è una m-algebra allora le seguenti condizioni sono
equivalenti:
1) JI
•
•
è isomorfa ad un m-campo d'i s 1eml
2) VA E J.
- tO}
.3 un m-ultrafiltro
~
-;l'
4) VA EJ. -
tol
.3 un m-ideal e massimale J
.3 una m-misura a 2 valori
5) VA c J.
tO l
J
3) VA E)l. - t1}
un I,m-omomorfi smo
n
A
E f->
';l'
m
7'
h
'il
A€ ~
m(A)
h(A)
=1
= 1 (€ vA)
(cfr. [11 pag.98).
Teorema (11.4)
algebra Booleana completa è isomorfa ad un campo completo d'insiemi <==7 )l.
è atomica.
In tal caso
è isomorfa a
vA·
(cfr. f1]
pago 105).
'S'(X)
dove
X è l
'insiefl~
degli atomi di
- 39 Teorema (11. 5)
Per ogni
cr- -a l gebra
ta l e che
J1
esiste un (T-campo '}<
ed
un C)-ideale:J
è i somorfa ad
Preci samente
Se
X
•
è lo spazlo di Stone di
con tenente
ca tegori a
te se
J1
l
*
(è un
(l'insieme dei clopen
C> -
h : j\ ..",;. *
i l più piccolo
.}, Sla
i dea l e) . All ora
X), J.=(B€:J<
di
cP
è isomorfa ad
(J"
•
•
.'} / J
-campo
B
di la
e preclsamen
,
e un isomorfismo surgettivo, allora
VA €.j.
è un isomorfismo di
J. su
.J/;]
•
(Per la dim. cfr. [lJ pago 117).
Il teorema precedente non vale per
m>7< o
•
§ 12 - Applicazioni alla teoria della mlsura.
Data una misura I:' su un campo
derla ad una
piccolo
t' sul
()-misura
cr--campo contenente
J<
(cfr. §2 -c) non è sempre possibile esten
o--campo
3<'
(j'-genel'ato da
J«j'
è il più
J< ).
La condizione necessaria e sufficiente che permette tale estensione è la seguente:
( 1)
V ~ A ; n e IN]
n
J< disgiunti, se
c
a 11 ora
•
Ricordato che se ~
non vuoti e disgiunti di
,
e un campo perfetto, ogni unione numerabile di elementi
, non appartiene ad
:r
(cfr: Prop. 15,§ 6), si ha:
Prop-:- (12.1). Ogni mlsura su un campo perfetto, può essere estesa ad una
C)-misura.
