Equazioni polinomiali

Equazioni polinomiali
Le equazioni polinomiali in forma normale sono equazioni del tipo:
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0
𝑎𝑛 ≠ 0
Dove i coefficienti 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … , 𝑎1 , 𝑎0 sono numeri reali. Il polinomio che
definisce tale equazione è dato da:
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
La risoluzione di tale equazione si basa sulla fattorizzazione del
polinomio che definisce l’equazione e sulla legge di annullamento del
prodotto, secondo la quale il prodotto di due o più fattori è nullo se
almeno uno dei fattori è nullo. È importante tener presente che non è
detto che il polinomio si possa fattorizzare nel prodotto di polinomi di
grado inferiore ed anche se fosse possibile, potrebbe risultare molto
laborioso. In questi casi generalmente, il problema può essere risolto
mediante l’applicazione di tecniche numeriche che danno una stima
delle soluzione dell’equazione.
Equazioni di primo grado
Le più semplici equazioni polinomiali sono quelle di primo grado:
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
con 𝑎 ≠ 0
𝑏
la cui soluzione è data evidentemente da 𝑥 = − .
𝑎
Si osservi che se 𝑎 = 0 l’equazione ammette infinite soluzioni
(indeterminata) se 𝑏 = 0, mentre risulta impossibile se 𝑏 ≠ 0.
Equazioni di secondo grado
Si consideri la seguente equazione polinomiale di secondo grado:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
con 𝑎 ≠ 0
Se manca il termine di primo grado, l’equazione si dice pura, e ridotta
in forma normale sarà del tipo:
𝑥2 = 𝑘
Se 𝑘 è negativo tale uguaglianza è evidentemente impossibile in quanto
il primo membro è sempre positivo, altrimenti se k è positivo, tale
equazione ammette due soluzioni reali del tipo: 𝑥1,2 = ±√𝑘
In particolare per 𝑘 = 0 le soluzioni coincidono entrambe con 𝑥 = 0
Se manca il termine noto l’equazione si dice spuria ed è del tipo:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0
𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0
Per la legge di annullamento del prodotto segue:
oppure
𝑥=0
𝑥=−
𝑏
𝑎
Per risolvere l’equazione completa invece si può applicare il metodo del
completamento dei quadrati:
𝑏
𝑐
𝑎 (𝑥 2 + 𝑥 + ) = 0
𝑎
𝑎
𝑏
2
Aggiungendo e sottraendo il termine ( ) e semplificando per 𝑎 :
2𝑎
𝑏
𝑏
2
𝑏
2
𝑐
(𝑥 2 + 𝑎 𝑥 + (2𝑎) − (2𝑎) + 𝑎) = 0
𝑏
2
(𝑥 + 2𝑎) +
𝑥+
𝑏
2𝑎
4𝑎𝑐−𝑏2
= ±√
4𝑎2
=0
→
𝑏
2
(𝑥 + 2𝑎) =
𝑏2 −4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑏2 −4𝑎𝑐
4𝑎2
Si ottiene pertanto la seguente formula risolutiva:
𝑥1,2 =
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
La quantità ∆ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 prende il nome di discriminante dell’equazione
ed a seconda del segno, l’equazione può o non ammettere soluzioni
reali.
Esercizio 1
Risolvere la seguente equazione di terzo grado:
5𝑥 3 − 7𝑥 + 2 = 0
Passo 1. Tale equazione è definita dal polinomio di terzo grado:
𝑝(𝑥) = 5𝑥 3 − 7𝑥 + 2
Si denotino con:
𝐷0 = {±1 ; ±2}
insieme dei divisori del termine noto 𝑎0 = 2
𝐷3 = {±1 ; ±5}
insieme dei divisori di 𝑎3 = 5
Le possibili radici razionali del polinomio p(x) sono da ricercarsi
1
nell’insieme:
2
𝐷 = {±1 ; ±2 ; ± ; ± }. Poiché 𝑝(1) = 0, segue che 𝛼 =
5
5
1 è radice del polinomio p(x).
Passo 2. Applicando l’algoritmo di Ruffini si ha:
5
1|
5
0 −7 +2
5 +5| −2
5 −2 0
Il polinomio P(x) si scompone quindi come:
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(5𝑥 2 + 5𝑥 − 2)
Per la legge di annullamento del prodotto:
𝑥−1=0
→
𝑥=1
5𝑥 2 + 5𝑥 − 2 = 0
La seconda equazione è di secondo grado. Il delta vale: Δ = 65 e pertanto
le soluzioni sono date da:
𝑥2 =
−5−√65
10
𝑥3 =
−5+√65
10
Esercizio 2
Si risolva la seguente equazione polinomiale di quarto grado:
𝑥 4 − 3𝑥 2 + 2 = 0
Ponendo 𝑦 = 𝑥 2 l’equazione diventa: 𝑦 2 − 3𝑦 + 2 = 0 . Il discriminante
vale: ∆= 1 e le soluzione valgono 𝑦1 = 1 𝑦2 = 2.
𝑥2 = 1
→
𝑥1,2 = ±1
𝑥2 = 2
→
𝑥2,3 = ±√2