Metodi e tecnologie per l`insegnamento della matematica

Metodi e tecnologie per
l’insegnamento della
matematica
Lezione 15
Le azioni del fare matematica
•Progettare è una delle azioni più significative
dell’apprendimento, quando esso è proposto come
esperienza della persona.
•Chi progetta infatti vuole “mettere in opera” una propria
idea, concretizzandola in modo da far diventare patrimonio
comune una creazione della propria mente.
•All’interno di una progettazione, in qualunque campo, si
affronta una situazione complessa, che non può essere
dominata in modo frammentario, ma chiede che i
particolari si inseriscano in un’ipotesi globale.
PROGETTARE IN MATEMATICA
La matematica è un’attività mentale che è
essenzialmente un “progettare”, anche se non
sempre
attraverso
operazioni
fisicamente
eseguibili.
Nell’azione del progettare, la matematica esprime
la caratteristica di essere inerente alla razionalità
globale della persona, alla modalità del suo
rapporto con la realtà.
RISOLVERE PROBLEMI E’ PROGETTARE
Per sua natura un problema richiede di orientare scelte,
di sviluppare strategie, di immaginare e prefigurare un
percorso risolutivo
In un problema, ogni particolare è collocato in un
contesto, ogni azione prende significato riferendosi ad
esso.
Risolvere problemi è un allenamento a progettare:
richiede un’azione libera e consapevole, cioè allarga
l’orizzonte della razionalità
Fasi di un
“progetto”
PRIMO PASSO
Lettura accurata e analisi attenta del testo
DATI
OBIETTIVO
(Riformulazione del testo)
SECONDO PASSO
Rappresentazione del problema
Contesto
Contesto
linguistico
matematico
Rappresentare è una condizione per matematizzare
TERZO PASSO
Strategia risolutiva
Schema logico del
procedimento
Scomposizione in
sottoproblemi
NOTA BENE
•Favorire, ove possibile, la costruzione di
più strategie risolutive e far eseguire una
valutazione a priori e una a posteriori.
•Meglio fare uno stesso problema in tre
modi diversi (confrontandoli) che
svolgere
tre
problemi
diversi
acriticamente
QUARTO PASSO
Esecuzione
Aspetto tecnico
Rielaborazione
QUINTO PASSO
Verifica
Corrispondenza tra
risultato e
rappresentazione
Coerenza del
processo
Nuovi problemi
Applichiamo ai problemi
nella scuola primaria
PRIMO PASSO
Lettura accurata e analisi attenta del testo
DATI
OBIETTIVO
(Riformulazione del testo)
DATI
Possono essere:
• Adeguati: In una
•
confetteria si mescolano 1351 confetti alla mandorla e
1794 confetti al cioccolato. Quante bomboniere da 5 confetti ciascuno si
potranno confezionare con i confetti a disposizione?
Carenti: Daniela prepara una torta con 4 uova, 200 grammi di burro e 500 di
farina. Quanto le viene a costare la torta, tralasciando la spesa per la cottura?
• Inutili:Il papà di Marco per fare il pane acquista alcuni cubetti di lievito da 25
g ciascuno e 3 kg di farina. Se un cubetto di lievito serve per 500 g di farina, qu
anti cubetti di lievito dovrà usare il papà di Marco se vuole utilizzare tutti i 3 kg
di farina?
• Sovrabbondanti: Il perimetro di un rettangolo è 42 cm, la base misura 6
•
cm e l’altezza supera la base di 9 cm. Calcolare l’area del rettangolo.
Contraddittori: Quante monete da 50 centesimi occorrono per formare
2,30 centesimi?
OBIETTIVO
L’obiettivo in un problema coincide con la risposta alla
domanda o alle domande che pone; si tratta quindi di
capire di che tipo di risposta si tratta:
• risposte univoche: In una confetteria si mescolano 1351 confetti
alla mandorla e 1794 confetti al cioccolato. Quante bomboniere da 5
confetti ciascuno si potranno confezionare con i confetti a disposizione?
• risposte diverse, ma tutte ugualmente accettabili:
nella vetrina di un negozio di lampadari se ne vedono esposti a tre e a due
luci; si contano in tutto20 lampadine. Quanti sono i lampadari a tre luci ?
Quanti quelli a due?
• non c’è risposta: trovare due numeri naturali diversi dall’unità il cui
prodotto sia un numero primo
SECONDO PASSO
Rappresentazione del problema
Contesto
Contesto
linguistico
matematico
Rappresentare è una condizione per matematizzare
RAPPRESENTAZIONE: proviamo!
1)La zia Elena va in pasticceria e compra una torta al cioccolato e una torta
alla panna. Il prezzo totale delle due torte è di 24 euro. La torta al cioccolato
costa 6 euro in più della torta alla panna. Quanto costa la torta alla panna?
2)Antonella parcheggia nel garage di un grattacielo che si trova al quarto
piano sotto il livello zero (piano terra). Sale con l’ascensore per 24 piani. A
quale piano Antonella uscirà dall’ascensore?
3) Carlo, Marco, Andrea e Paolo partecipano a un torneo di ping-pong. Ogni
bambino deve giocare a turno con tutti gli altri. Alcune delle partite da
giocare sono:
• Carlo contro Marco,
• Carlo contro Paolo,
• Marco contro Andrea,
• Andrea contro Paolo.
Mancano due partite; quali sono?
TERZO PASSO
Strategia risolutiva
Schema logico del
procedimento
Scomposizione in
sottoproblemi
Strategie risolutive: proviamo
1)Il papà di Rita ha smesso di fumare e ha deciso di utilizzare i soldi che
spendeva per le sigarette per comperare una mountain bike che costa
€223,20. Il papà di Rita fumava ogni giorno due pacchetti di sigarette da €
2,48 il pacchetto. Quanti giorni dovrà aspettare per comperare la bicicletta?
2) Per il suo compleanno Giovanni porta a scuola un vassoio con 32 pasticcini
di qualità diverse: metà alla crema, un quarto al cioccolato, un ottavo alla
frutta e il resto con pasta di mandorle. Quanti sono i pasticcini con pasta di
mandorle?
3) Lo scorso anno 90 ragazzi hanno seguito un corso di nuoto con 6 istruttori.
Ognuno dei 6 istruttori aveva lo stesso numero di ragazzi. Quest’anno si
sono iscritti 30 ragazzi in più. Se si vuole che il numero di ragazzi per ogni
istruttore resti lo stesso, quanti istruttori saranno ora necessari?
QUARTO PASSO
Esecuzione
Aspetto tecnico
Rielaborazione
ESEGUIAMO
QUINTO PASSO
Verifica
Corrispondenza tra
risultato e
rappresentazione
Coerenza del
processo
Nuovi problemi
NOTA BENE
E’ importante insegnare
non degli schemi, ma un
modo di guardare!
Esempio: due tipi di problemi, ma analoga
struttura logica
SPESA + GUADAGNO = RICAVO
PROBABILITÀ
 In situazioni concrete, di una coppia di eventi intuire e cominciare
ad argomentare qual è il più probabile, dando una prima
quantificazione nei casi più semplici, oppure riconoscere se si
tratta di eventi ugualmente probabili.
Valutare
Innanzitutto è necessario educare a riconoscere
il grado di validità di una affermazione:
Affermazione
Validità
2+2=4
certa
Domani pioverà
possibile
Gli asini volano
impossibile
E , data una affermazione possibile, si può dire qual è il
suo grado di possibilità?
Il calcolo delle probabilità nasce per rispondere a
questo tipo di domanda.
N.B.: Non tutte le situazioni sono però sottoponibili a
quantificazione.
OSSERVAZIONE PRELIMINARE
Sul piano didattico è sempre consigliabile far scaturire i
concetti da situazioni concrete, senza aver fretta di
anticipare definizioni che gli alunni non capirebbero.
Gli esempi e le situazioni dai quali partire non mancano
certamente.
Nella fase preliminare non è opportuno presentare
situazioni problematiche complesse: lo scopo non è
quello di abituare gli alunni a risolvere problemi, ma a
cogliere differenze fondamentali fra situazioni
particolari.
Con alunni di II o ancora meglio di III si possono
presentare due situazioni:
-La prima. Mario ha 10 figurine e ne regala 4 a Filippo.
Quante figurine gli rimangono?
-La seconda. Domani si gioca l’incontro di calcio InterJuventus. Quanti gol segnerà l’Inter?
Domanda: che differenza c’è fra le due situazioni?
Poi si può fare un altro passo
Nelle urne A e B ci sono palline bianche e palline
nere come le puoi vedere (l’insegnante, se può, si
procura effettivamente urne o sacchetti e palline
bianche e nere ). Puoi estrarre ad occhi chiusi una
pallina e se è bianca vinci un premio. Preferisci
estrarre dall’urna A o dall’urna B? Oppure è
indifferente? Sai dire perché?
EVENTI ALEATORI
Nell’ambito della teoria della probabilità l’esito di una
qualsiasi esperienza viene detto evento.
Un evento si dice aleatorio o casuale per un soggetto
umano, se questi non è nelle condizioni di esprimere un
giudizio certo sul suo verificarsi o meno: ad attribuire
aleatorietà ad un evento sono perciò il grado e la
qualità delle informazioni che un soggetto ha circa
quell’evento.
ESEMPIO
Nel gioco della tombola consideriamo l’evento:
«In questa estrazione esce un numero pari»
- Se sappiamo che sono già stati estratti tutti i
numeri dispari, l’evento è certo.
- Se invece sono già stati estratti tutti i numeri
pari, l’evento è impossibile.
- Se invece nell’urna permangono numeri pari e
dispari l’evento è aleatorio.
Le diverse concezioni di probabilità:
la probabilità classica
Dato un fenomeno( es. lancio di un dado) si dice:
Esito: ogni risultato del fenomeno (es. esce 1, 2, 3, 4 ,5, 6)
Evento: un insieme di esiti( es: esce un numero pari)
Casi possibili: tutti i possibili esiti
Casi favorevoli: esiti che verificano l’evento in esame
Si dice probabilità classica di un evento E, e si indica con p(E), il
rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili
(supposti equiprobabili)
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖
𝑝 𝐸 =
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖
Es.: E= esce un numero pari
𝑝 𝐸 =
3
6
Esempio 1
Se lanciamo due monete quali sono i possibili esiti?
Si potrebbe dire: due teste, due croci e una testa e una
croce; ma sono tutti equiprobabili?
No! Infatti la configurazione una testa e una croce si
presenta in due modi: croce-testa e testa-croce, mentre le
altre due in un solo modo.
Il modo corretto quindi di considerare gli esiti è:
testa-testa
testa-croce
croce-testa
croce-croce
Esempio2
Se lanciamo tre monete, quali sono le possibili configurazioni?
TTT
TTC
TCT
CTT
TCC
CTC
CCT
CCC
Ora consideriamo l’evento: E = escono esattamente due teste
Casi possibili: 8; casi favorevoli : 3
Ora si può calcolare la probabilità
3
𝑝 𝐸 =
8
Le diverse concezioni di probabilità
Un atteggiamento tipico in situazioni di incertezza sull’esito
di un’esperienza è quello di riferirsi alla storia passata per
fare predizioni su quella futura. ( Esempio: le assicurazioni)
Questo tipo di impostazione conduce alla definizione di
probabilità a posteriori o frequentista:
Se si esegue un’esperienza un numero n di volte e si osserva
che un evento E si è presentato h volte su n, allora:
ℎ
𝑃 𝐸 =
𝑛
N.B.: la probabilità frequentista è uguale alla frequenza
relativa
Le diverse concezioni di probabilità
Qual è la probabilità che la Juventus vinca la Coppa dei Campioni?
È evidente che a questo tipo di domanda non si può rispondere né con
la concezione classica, né con quella frequentista; eppure si fanno
scommesse, nelle quali, in qualche modo si fa una valutazione del
grado di possibilità dell’evento.
Parliamo in questo caso di probabilità soggettiva.
Considerato un evento aleatorio E, la probabilità P(E) che il soggetto
attribuisce all’evento E è un numero reale che esprime la disponibilità
del soggetto, supposto ragionevole, a versare la posta M, col patto di
ottenere la vincita V se l’evento E si verifica
𝑀
𝑃 𝐸 =
𝑉
• Relativamente al piano didattico all’inizio è opportuno
fare riferimento solo a situazioni in cui gli esiti possibili
sono equiprobabili; ad esempio: lancio di una moneta
testa-croce (non truccata); lancio di un dado “onesto” con
facce numerate da 1 a 6; estrazione di una pallina da
un’urna; e casi simili.
In altri termini si parlerà solo di valutazione classica della
probabilità.
• In un secondo momento si farà un cenno a situazioni in cui
la probabilità si identifica con la frequenza relativa; si
tratta ovviamente della concezione frequentista della
probabilità.
ESEMPI DI ATTIVITÀ
Una attività interessante può essere costituita dal confronto tra
la valutazione di probabilità e ciò che accade realmente. Si
confronterà quindi la probabilità teorica con la frequenza
relativa dell’evento.
Esempio1: prima si pone la domanda: « data una moneta, qual è la
1
probabilità che esca testa?». Facilmente si risponderà: !
2
Poi si divide la classe in gruppi e si chiede ad ogni gruppo di lanciare 20 volte
una moneta e registrare il numero di teste e uscite.
Si contano tutte le teste uscite, poi si calcola la
frequenza relativa=
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑠𝑐𝑖𝑡𝑒
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑛𝑐𝑖
Cosa si ottiene? Cosa cambia se aumentiamo il numero di lanci?
Esempio 2: lanciamo due dadi e sommiamo i punti ottenuti.
Quali somme possiamo ottenere? Qual è la somma più
probabile? Qual è la probabilità di ottenere una somma multipla
di 3?....
Poi si può sempre fare un confronto con una prova reale.
Esempio 3: Abbiamo 10 palline numerate da 1 a 10; qual è la
probabilità che esca un numero pari?
Anche qui il confronto con la situazione reale si può facilmente
fare, basta portare in classe i numeri della tombola.
Esempi
dalle prove Invalsi
Quinta primaria
Quinta primaria
Quinta primaria
Terza secondaria di primo grado
Terza secondaria di primo grado
DOMANDE
• È più probabile che i numeri estratti siano, nell’ordine,
1-2-3-4-5 oppure che siano, nell’ordine, 90-34-45-3-9 ?
• Se nella scorsa estrazione è uscito il 7 sulla ruota di
Napoli, oggi è più probabile che, sulla stessa ruota,
esca il 7 o un altro numero che non è uscito la scorsa
volta?
• Lanciamo due dadi con 6 facce e non truccati:
- Enunciare un evento certo
- Enunciare un evento impossibile
- Enunciare un evento che abbia meno del 30% di
probabilità di verificarsi
ESERCIZI
1)Delle 200 persone presenti in una sala, 80 hanno 18 anni; 70 ne hanno 17;
40 hanno 16 anni; 5 hanno 32 anni ed altri 5 ne hanno 40. Calcola:
• la mediana e la moda delle età delle 200 persone;
• la media aritmetica di tali età.
• Fornisci una rappresentazione tabulare della situazione ed un diagramma
a barre.
• Prendendo una persona a caso tra le 200, qual è la probabilità che abbia
non meno di 18 anni?
• Prendendo una persona a caso tra i minorenni, qual è la probabilità che
abbia 16 anni?
• Prendendo una persona a caso tra le 200 qual è la probabilità che abbia
più di 40 anni?
2) I 20 studenti di una classe V primaria hanno raccolto i seguenti dati
riguardanti il numero di litri di latte ( approssimati al mezzo litro) consumati
nelle loro famiglie in una settimana; i risultati sono riportati qui di seguito
3; 1,5; 2; 2,5; 4; 4; 3,5; 2; 3,5; 6; 2,5; 1,5; 2; 1; 4,5; 4; 3; 1; 2; 2,5.
a)
Rappresentare i dati raccolti con una tabella, in cui compaiano le
frequenze assolute e relative e con un grafico a scelta.
b) calcolare media, moda e mediana della distribuzione in questione
3) Calcola la probabilità che, lanciando due volte un dado, esca almeno una
volta il numero 1.
4) Marina ha in tasca quattro monete identiche.
Se le lancia in aria quali sono le possibili configurazioni che può ottenere?
Rappresentarle.
Utilizzando la rappresentazione calcolare la probabilità
a)di avere esattamente due teste
b)di avere almeno due teste
c)di avere non più di due teste