P3 – CIRCUITI RISONANTI E AMPLIFICATORI
SELETTIVI.
P3.1 – Un circuito LC serie è alimentato alla frequenza di risonanza da un
generatore a tensione costante, avente f.e.m. di valore efficace E = 0,1 V. La bobina,
di induttanza L=4,5 mH, ha un fattore di merito, valutato alla frequenza di
risonanza, Q = 10. Il condensatore, di capacità C = 200 nF, ha perdite trascurabili.
Calcolare la tensione ai capi del condensatore e la potenza assorbita dal circuito.
Stabilire poi di quanto si deve dissintonizzare il generatore (cioè di quanto deve
variare la sua frequenza rispetto al valore di risonanza), affinché la potenza da esso
erogata si dimezzi.
L=4,5mH
Q=10
C = 200nF
E = 0,1 V
Soluzione
Alla frequenza di risonanza ω0 = 1/ LC la tensione i capi del condensatore è Q
volte la tensione applicata al circuito, con Q fattore di sovratensione coincidente con
il fattore di merito della bobina:
VC 0 = QE = 10 × 0,1 = 1 V
Il circuito in risonanza presenta una impedenza puramente ohmica, pari alla
resistenza serie della bobina:
ω0 L
1 L
1 4,5 ⋅ 10−3
L
=
=
=
= 15 Ω
Rs =
−9
Q
Q LC Q C 10 200 ⋅ 10
La potenza assorbita dal circuito vale pertanto:
P = E 2 / Rs = 0,12 / 15 = 666,67 µW
Uscendo di risonanza, l’impedenza del circuito aumenta e quindi l’intensità di
corrente nel circuito diminuisce, rispetto al valore massimo I 0 = E / R di risonanza. Di
conseguenza la potenza assorbita dal circuito diminuisce, dimezzandosi quando la
corrente si riduce a I 0 / 2 , ciò che accade in corrispondenza delle frequenze limiti, f1
e f2, della banda passante.
La larghezza di banda è legata al fattore di merito del circuito dalla relazione
(6.7):
B = f0 / Q
con:
f0 =
1
2π LC
=
1
2π 4,5 ⋅ 10 − 3 × 200 ⋅ 10 − 9
= 5,3 kHz
Per Q=10 si ottiene:
B = f 0 / Q = 5,3 ⋅ 103 / 10 = 530 Hz
Le frequenze f1 e f2 possono essere considerate simmetriche rispetto ad f0, per cui
il loro valore può essere ottenuto semplicemente sommando ± B/2 ad f0:
f1 = f 0 −
B
0,530
= 5,3 −
= 5,035 kHz
2
2
f2 = f0 +
B
0,530
= 5,3 +
= 5,565 kHz
2
2
In conclusione, se la frequenza del generatore di tensione si sposta da f0
(frequenza di risonanza propria del circuito LC alimentato) a f1 o a f2 (frequenze
limiti della banda passante del circuito), l’intensità della corrente passa da I0 a I 0 / 2 ,
riducendosi di 3 dB:
20 log
1
I
= 20 log
= −20 log 2 = −10 log 2 ≅ −3 dB
I0
2
Corrispondentemente la potenza erogata, proporzionale al quadrato dell’intensità
di corrente, passa da P0 a P0/2, riducendosi anch’essa di 3 dB:
10 log
P
1
= 10 log = −10 log 2 ≅ −3 dB
P0
2
_________________________________________________________________
P3.2 – Un circuito LC parallelo è alimentato alla risonanza da un generatore a
corrente costante avente corrente di cortocircuito di valore efficace I=2 mA. La
bobina ha induttanza L=1 µH e resistenza serie, valutata alla frequenza di risonanza,
Rs= 0,86 Ω. Il condensatore ha capacità C=80 pF e perdite trascurabili.
Calcolare:
a) la pulsazione di risonanza e la corrispondente lunghezza d’onda;
b) l’impedenza del circuito alla risonanza e quella in corrente continua;
c) la corrente di risonanza in L e in C.
L=1uH
I = 2 mA
fo
C = 80pF
R=0,86Ω
Soluzione
a) La pulsazione di risonanza vale:
ω0 =
1
1
=
= 111,8 Mrad / s
−6
LC
1 ⋅ 10 × 80 ⋅ 10 −12
a cui corrisponde la frequenza di risonanza in MHz:
f0 =
ω0 111,8
=
= 17,8 MHz
2π
2π
A questa frequenza può essere associata una lunghezza d’onda riferita ad un’onda
elettromagnetica che si propaga liberamente nel vuoto alla velocità della luce
c ≅ 3 ⋅ 108 m / s. Si ha dunque:
c
3 ⋅ 108
λ = cT0 = =
= 16,9 m
f 0 17,8 ⋅ 106
b) Alla risonanza il circuito presenta un’impedenza puramente ohmica data dalla
resistenza parallelo Rp della bobina. Possiamo esprimere Rp in funzione della
resistenza serie Rs assegnata, uguagliando le relative espressioni del fattore di merito:
Q=
Si ottiene:
Rp =
ω0 2 L2
Rs
ω0 L
Rs
=
Rp
ω0 L
L2
L
1 ⋅ 10 −6
=
=
=
= 14,5 kΩ
LCRs CRs 80 ⋅ 10 −12 × 0,86
In corrente continua l’impedenza del circuito è praticamente nulla, perché si
riduce alla resistenza ohmica del filo costituente la bobina:
Rcc ≅ 0
c) In condizioni di risonanza, la corrente di circolazione in L e C è Q volte quella
fornita dal generatore, con Q fattore di sovracorrente coincidente con il fattore di
merito della bobina. Avendosi:
ω0 L
si ottiene:
1,118 ⋅ 108 × 1 ⋅ 10−6
Q=
=
= 130
Rs
0,86
I L 0 = I C 0 = QI = 130 × 2 = 260 mA
________________________________________________________________
P3.3 – Si vuole dimensionare un circuito LC parallelo, dati i valori della frequenza
di risonanza f 0 e del fattore di merito Q della bobina (supponendo il condensatore di
accordo privo di perdite), in modo che, applicando al circuito un carico ohmico RL ,
il fattore di merito del circuito scenda ad un valore prefissato Qeff.
Si considerino i seguenti due casi, riferiti rispettivamente a circuiti di un
radioricevitore supereterodina (frequenza intermedia 470 kHz) e di un
radiotrasmettitore dilettantistico (radiofrequenza 28 MHz, ovvero lunghezza d’onda
10,7 m):
a) f0=470 kHz; Q=160; RL=100 kΩ; Qeff=40
b) f0=28 MHz; Q=200: RL=6 kΩ; Qeff=10
L
C
Rs
Soluzione
a) Si parte dalla relazione (6.14), scrivendo:
RL
Qeff =
Q
1+ Q
da cui si ricava:
ω0 L =
ω0 L
RL
Q
100
RL
40
(1 − eff ) =
(1 −
) = 1,875 kΩ
40
Qeff
Q
160
Essendo:
ω0 = 2πf 0 = 2π ⋅ 470 = 2,953 Mrad / s
si ottiene:
L=
C=
ω0 L 1,875 ⋅ 103
=
= 635 µH
ω0 2,953 ⋅ 106
1
ω0 L
2
=
1
1
=
≅ 180 pF
6
ω0 ⋅ ω0 L 2,953 ⋅ 10 ⋅ 1,875 ⋅ 103
b) In questo caso, essendo Qeff<<Q (circuito risonante fortemente caricato),
partendo sempre dalla (6.14) si può scrivere:
ω0 L =
Q
RL
R
6
= 0,6 kΩ
(1 − eff ) ≅ L =
Qeff
Q
Qeff 10
e pertanto, essendo:
ω0 = 2πf 0 = 2π ⋅ 28 = 176 Mrad / s
si ottiene:
L=
ω0 L 0,6 ⋅ 103
= 3,41 µH
=
ω0 176 ⋅ 106
C=
1
1
=
= 9,47 pF
6
ω0 ⋅ ω0 L 176 ⋅ 10 × 0,6 ⋅ 103
_________________________________________________________________
P3.4 – Un circuito LC parallelo è alimentato da un generatore a corrente costante
I=2 mA con frequenza angolare ω0=4 Mrad/s. La bobina ha induttanza L1=0,1 mH e
fattore di merito Q=200;il condensatore ha capacità C1 da determinare, con fattore
di perdita trascurabile.
Al circuito è accoppiata induttivamente una seconda bobina di induttanza
L2=20 µH chiusa su un carico ohmico RL=200 Ω, con rendimento di trasferimento
ηt=77,7 %.
Calcolare il coefficiente di accoppiamento fra le due bobine, sapendo che la
potenza trasferita al secondario vale P2=55 mW.
M
I = 2mA
ωο = 4Mrad/s
L1=0,1mH
Q=200
C1
L2=20uH
RL
200Ω
Soluzione
Dall’espressione (6.24) del rendimento di trasferimento:
ηt =
Qeff
P2
= 1−
P1
Q
si ricava il valore del fattore di merito effettivo del circuito caricato dalla RL
attraverso l’accoppiamento induttivo:
Qeff = Q (1 − η t ) = 200 (1 −
77.7
) = 44,6
100
L’intensità della corrente di circolazione in L1 e C1 vale pertanto:
I L 0 = Qeff I = 44,6 × 2 = 89,2 mA
E’ questa la corrente che circola nella resistenza R21 che si considera trasferita dal
secondario in serie alla bobina L1. Per la potenza P2 trasferita al secondario vale
quindi l’espressione:
P2 = R21 I L 0
2
dalla quale si ricava:
R21 =
P2
I L0
2
=
55 ⋅ 10 −3
= 6,9 Ω
(89,2 ⋅ 10 −3 ) 2
A sua volta, per la R21 vale l’espressione:
R21 =
ωo2M 2
Z2
2
R2
in cui R2 coincide praticamente con la RL=200 Ω del carico (trascurando in confronto
a questo la resistenza serie della bobina secondaria):
Si ha inoltre:
R2 = RL = 200 Ω
Z 2 = R2 + (ω 0 L2 ) 2 = 200 2 + (4 ⋅ 10 6 × 20 ⋅ 10 −6 ) 2 = 4,64 ⋅ 10 4 Ω 2
2
2
Possiamo allora ricavare dall’espressione della R21 il valore della mutua induttanza
fra i due circuiti accoppiati:
R21 Z 2
M =
2
=
ω 0 2 R2
6,9 × 4,64 ⋅ 10 4
= 10 µH
(4 ⋅ 10 6 ) 2 × 200
Il coefficiente di accoppiamento fra le due bobine risulta pertanto:
M
K=
L1 L2
=
10 ⋅ 10 −6
−3
0,1 ⋅ 10 × 20 ⋅ 10
−6
= 0,22
Per quanto riguarda il valore della capacità di accordo C1, va tenuto presente che il
circuito secondario trasferisce al primario, oltre al carico, anche una reattanza
capacitiva, ovvero una induttanza da sottrarre a L1, data da:
L21 =
ω02M 2
Z2
2
(4 ⋅ 10 6 × 10 ⋅ 10 −6 ) 2
L2 =
20 ⋅ 10 −6 = 0,69 µH
4
4.64 ⋅ 10
Essendo L21<<L1, l’effetto dissintonizzante del secondario può essere trascurato,
per cui la capacità di accordo C1 è data semplicemente da:
C1 =
1
ω 0 L1
2
=
1
= 625 pF
(4 ⋅ 10 ) × 0,1 ⋅ 10 −3
6 2
___________________________________________________________________
P3.5 - Due circuiti risonanti uguali, aventi ciascuno induttanza L=0,1 mH, fattore
di merito Q=80 e capacità C=625 pF, sono tra loro accoppiati induttivamente. Il
primario è alimentato in serie da un generatore ideale di tensione a frequenza di
risonanza, avente f.e.m.di valore efficace V=2 mV.
Calcolare la tensione ai capi del condensatore del circuito secondario e la banda
passante, per i seguenti valori del coefficiente di accoppiamento: a) K=Kc/2;
b) K=Kc; c) K=3Kc
M
R
R
+
L
V
L
C
ωο
Vc20
C
Soluzione
La pulsazione di risonanza vale:
ω0 =
1
1
=
= 4 Mrad / s
LC
0,1 ⋅ 10− 3 × 625 ⋅ 10−12
ed il coefficiente di accoppiamento critico:
Kc =
1
1
1
= =
= 1,25 ⋅ 10− 2
Q1Q2 Q 80
Per consentire dei confronti, consideriamo dapprima il circuito risonante primario
isolato, e calcoliamo la tensione ai capi del condensatore di accordo e la larghezza di
banda del circuito:
VC10 = QV = 80 × 2 = 160 mV
B1 = ω0 / Q = 4 ⋅ 106 / 80 = 50 krad / s
Quando si accoppia induttivamente un secondo circuito risonante isocrono, la
risposta ai capi del condensatore secondario è diversa a seconda del grado di
accoppiamento:
a) Per K=Kc/2, la (6.28) e la (6.31) forniscono rispettivamente:
VC 20 = V
K
2
Kc + K
2
=
V
2
=
= 53,3 mV
3K c 3 × 1,25 ⋅ 10 − 2
B = K c ω 0 1 + ( K / K c ) 2 = K c ω 0 1 + 0,5 2 = 1,25 ⋅ 10 − 2 × 4 ⋅ 10 6 × 1,12 = 56 krad / s
Rispetto al primario isolato, si ha una tensione di uscita molto minore:
e una banda passante più larga:
V / 3K c = QV / 3 = VC10 / 3
K cω0 1 + 0,52 ≅ 1,12 ω0 / Q = 1,12 B1
b) Per K=Kc ,la (6.30) e la (6.32) forniscono rispettivamente:
1
L
V
2
V 1 =
=
= 80 mV
2Kc
L2 2 K c 2 × 1,25 ⋅ 10 − 2
*
VC 20 =
B= 2
ω0
Q
= 2
4 ⋅ 106
= 70,7 krad / s
80
La VC20* è la massima tensione di uscita ottenibile dal filtro di banda,al variare del
grado di accoppiamento, e corrisponde alla metà di quella che si otterrebbe dal
primario isolato. Questa riduzione di ampiezza è il prezzo che si paga par avere una
curva di risposta con fianchi più ripidi e sommità più appiattita, e quindi più vicina a
quella di un filtro passa banda ideale.
La banda passante è 2 volte più larga, rispetto a quella del solo primario:
2
ω0
Q
= 2 B1
c) Per K=3Kc ,la (6.28) fornisce:
VC 20 = V
L2
3 V
3
2
=
=
= 48 V
L1 10 K c 10 1,25 ⋅ 10 − 2
K
2
Kc + K
2
La risposta alla risonanza è minore del valore VC20* = 80 mV relativo
all’accoppiamento critico; tuttavia tale valore viene raggiunto in corrispondenza di
due frequenza, ωa, ωb, pressoché simmetriche rispetto alla ω0. Avendosi, per la
(6.33):
ωb − ωa = Kω0 = 3K cω0 = 3 × 1,25 ⋅ 10 −2 × 4 ⋅ 106 = 150 krad / s
le due frequenze, espresse in Mrad/s, valgono approssimativamente:
ω a = ω0 −
ωb = ω0 +
ωb − ωa
2
ωb − ωa
2
= 4 − 0,75 = 3,25 Mrad / s
= 4 + 0,75 = 4,75 Mrad / s
La larghezza di banda, data dalla (6.34):
B = 2 Kω0 = 2 ⋅ 3K c ⋅ ω0 = 3 2 × 1,25 ⋅ 10−2 × 4 ⋅ 106 = 212 krad / s
risulta relativamente elevata, 3 2 ≅ 4,24 volte più ampia di quella del circuito
primario isolato.
___________________________________________________________________
P3.6 – In figura è schematizzato un amplificatore di tensione selettivo con
accoppiamento a condensatore, avente una banda passante B=20 kHz centrata sulla
frequenza di risonanza f0=900 kHz.
Determinare i valori dei parametri differenziali gm e rd , e della capacità di uscita
Cds del JFET impiegato, per ottenere un guadagno a centro banda A0=120 quando
l’amplificatore è chiuso su un carico ohmico Rc= 900 kΩ con capacità d’ingresso
C=7 pF.
Vcc
R2
15KΩ
L=150uH
Q=80
C
200pF
Cau
100nF
Cai
100nF
Ci
7pF
R1
15KΩ
Rk
1,5K
RL
900KΩ
Ck
100nF
GND
Soluzione
Il circuito risonante dell’amplificatore presenta un fattore di merito effettivo Qeff
minore del fattore di merito proprio Q perché caricato dalla Rc in parallelo
dinamicamente con la resistenza differenziale di drain rd del JFET. Dalla relazione
(7.7), che lega il Qeff alla larghezza di banda dell’amplificatore selettivo, si ricava:
Qeff =
f 0 900
=
= 45
B
20
Dall’espressione (7.6) di Qeff si può allora ricavare la resistenza Rdc, parallelo fra
resistenza di carico e resistenza differenziale di drain, desumendo dallo schema i
valori relativi alla bobina della circuito risonante, L=150 µH, Q=80:
Rdc = ω0 L
QQeff
Q − Qeff
= 2π ⋅ 900 ⋅ 103 × 150 ⋅ 10− 6
80 × 45
= 87,25 kΩ
80 − 45
e quindi:
Rc Rdc
900 × 87,25
=
= 96,63 kΩ
Rc − Rdc 900 − 87,25
rd =
Inoltre, dall’espressione (7.5) del guadagno a centro banda dell’amplificatore
possiamo ricavare il valore della transconduttanza differenziale del JFET:
gm =
120
A0
=
= 3,14 mA / V
3
ω0 LQeff 2π ⋅ 900 ⋅ 10 × 150 ⋅ 10− 6 × 45
A titolo di verifica dei calcoli eseguiti, possiamo utilizzare la seguente espressione
del guadagno di tensione dell’amplificatore:
A0 = g m R pdc
con Rpdc risultante dal parallelo fra la Rdc e la resistenza parallelo propria della bobina:
R p = ω0 LQ = 2π ⋅ 900 ⋅ 103 × 150 ⋅ 10−6 × 80 = 67,88 kΩ
Si ottiene:
R pdc =
R p Rdc
R p + Rdc
=
67,88 × 87,25
= 38,18 kΩ
67,88 + 87,25
e quindi:
A0 = g m R pdc = 3,14 ⋅ 10−3 × 38,18 ⋅ 103 = 119,88 ≅ 120
Resta da determinare il valore della capacità fra drain e source del JFET, in base
all’espressione della frequenza di centro banda (7.3), che fornisce:
Ct =
1
ω0 L
2
=
1
= 208,48 pF
4π (900 ⋅ 10 ) × 150 ⋅ 10 − 6
2
3 2
essendo Ct la capacità complessiva data dal parallelo fra la capacità del condensatore
di accordo, C=200 pF, e le capacità di uscita del JFET e d’ingresso del carico:
Si ha dunque:
C t = C + C ds + C i
C ds = C t − C − C i = 208,48 − 200 − 7 = 1,48 pF
__________________________________________________________________
P3.7 – Uno stadio amplificatore di tensione selettivo a radiofrequenza, con
accoppiamento induttivo a semplice accordo, impiega un JFET avente gm= 4 mA/V,
rd=80 kΩ. Le bobine del trasformatore RF hanno entrambe induttanza L=200 µH
con fattore di merito Q=120; il coefficiente di accoppiamento è K=0,2. Il secondario
è accordato sulla frequenza ω0=6 Mrad/s del segnale d’ingresso avente un valore
efficace Vgs=2 mV. L’uscita è collegata ad un secondo stadio a JFET con resistenza
d’ingresso molto elevata, per cui si dovrà tener conto soltanto della capacità
d’ingresso Ci = 5 pF di tale stadio, avente effetto solo sulla sintonizzazione
dell’amplificatore.
Partendo dallo schema relativo al circuito equivalente differenziale
dell’amplificatore, determinare la capacità del condensatore di accordo e calcolare
il valore efficace del segnale di uscita. Determinare poi il valore che dovrebbe avere
il coefficiente di accoppiamento per ottenere la massima ampiezza del segnale di
uscita.
Soluzione
Posto µ = rd gm , il circuito equivalente dinamico dello stadio amplificatore in
esame comprende un generatore dipendente di tensione µVgs con resistenza interna rd
applicato al primario del trasformatore RF. Considerando trascurabile la capacità
interelettrodica Cds (drain-source) del JFET, e conglobando la capacità d’ingresso Ci
dell’utilizzatore nella capacità C di sintonizzazione, si ottiene lo schema seguente.
M
Rs
Rs
rd
µVgs
+
-
L
L
C
Vu
Alla frequenza di risonanza ω0=6 Mrad/s, l’impedenza del secondario si riduce
alla sola Rs, che riportata al primario diventa:
R21 =
con:
ω0 2 M 2
Rs
M = KL = 0,2 × 200 = 40 µH
Rs =
ω0 L
Q
=
6 ⋅ 106 × 200 ⋅ 10 − 6
= 10 Ω
120
=
(6 ⋅ 10 6 × 40 ⋅ 10 −6 ) 2
= 5,76 kΩ
10
e quindi:
R21 =
ω0 2 M 2
Rs
Lo schema del circuito equivalente si semplifica come appresso.
Rs
Rs
rd
µVgs
L
+
-
Vu
Il circuito è percorso da una corrente espressa vettorialmente da:
I1 =
Avendosi:
µVgs
(rd + Rs + R21 ) + jω0 L
ω0 L = 6 ⋅ 10 6 × 200 ⋅ 10 −6 = 1200 Ω << rd
possiamo trascurare la parte immaginaria a denominatore, per cui si ottiene una
corrente in fase con la tensione applicata e avente valore efficace (trascurando anche
Rs rispetto a rd+R21):
I1 =
µVgs
rd + R21
=
g m rdVgs 4 ⋅ 10−3 × 80 ⋅ 103 × 2 ⋅ 10−3
=
= 7,46 ⋅ 10− 6 A
3
3
rd + R21
80 ⋅ 10 + 5,76 ⋅ 10
Questa corrente induce nel secondario una f.e.m. espressa vettorialmente da:
E 2 = − jω0 MI1
A sua volta la E2 produce una corrente nel secondario che, essendo questo in
risonanza, risulta in fase con la f.e.m. e di valore efficace:
I2 =
ω0 MI1
Rs
=
6 ⋅ 106 × 40 ⋅ 10−6 × 7,46 ⋅ 10−6
= 1,79 ⋅ 10− 4 A
10
Pertanto la tensione di uscita, ai capi del condensatore di accordo avente reattanza
1 / ω0C = ω0 L, risulta:
Vu = ω0 LI 2 = 6 ⋅ 106 × 200 ⋅ 10 −6 × 1,79 ⋅ 10 −4 = 0,217 V
Allo stesso risultato (a meno delle approssimazioni di calcolo) si perviene
attraverso la valutazione del guadagno di tensione dell’amplificatore, dopo aver
calcolato il fattore di merito effettivo del circuito secondario. A tal fine, riportiamo
l’impedenza del primario al secondario, trascurando al solito ω0 L << rd ed assumendo
Rs + rd ≅ rd . Con tale approssimazione il primario trasferisce al secondario soltanto una
resistenza:
R12 =
ω0 2 M 2
per cui si ha:
Q2eff =
rd
=
(6 ⋅ 106 × 40 ⋅ 10 −6 ) 2
= 0,72 Ω
80 ⋅ 103
ω0 L
Rs + R12
=
6 ⋅ 106 × 200 ⋅ 10−6
= 112
10 + 0,72
Possiamo allora determinare il guadagno di tensione dell’amplificatore in base
alla (7.8):
A0 = g mω0 MQeff = 4 ⋅ 10−3 × 6 ⋅ 106 × 40 ⋅ 10−6 × 112 = 107,52
e calcolare infine il valore efficace del segnale di uscita:
Vu = A0Vgs = 107,52 × 2 ⋅ 10−3 = 0,215 V
Il risultato è in linea con quello precedentemente ottenuto ( Vu = 0.217 V ).
Al variare del coefficiente di accoppiamento fra le bobine del trasformatore RF, il
segnale di uscita raggiunge la massima ampiezza in condizione di adattamento di
impedenza, cioè quando (con la solita approssimazione di trascurare ω0L rispetto a
rd):
R21 + Rs = rd
ovvero, indicando con Mc la mutua induttanza che verifica l’adattamento e
trascurando Rs rispetto R21):
ω0 2 M c 2
da cui:
Rs
= rd
rd Rs
Mc =
ω0
ovvero:
80 ⋅ 103 × 10
= 149 µH
=
6 ⋅ 106
K c = M c / L = 149 / 200 = 0,745
In questa condizione Q2eff è pari alla metà di Q2 ed il guadagno di tensione risulta
espresso dalla (10.7):
Ao (max) =
Si ha pertanto:
1
1
g mω0 M cQ2 = 4 ⋅ 10 − 3 × 6 ⋅ 106 × 149 ⋅ 10 − 6 × 120 = 214,56
2
2
Vu(max) = A0(max)Vgs = 214,56 × 2 ⋅ 10−3 = 0,429 V
Un aumento del grado di accoppiamento oltre Kc non produce un aumento del
guadagno dell’amplificatore, ma una sua diminuzione, perché si accompagna ad una
prevalente riduzione del valore di Q2eff. Ad esempio, se si assume K=0,9>Kc ,ovvero:
M = KL = 0,9 × 200 = 180 µH
si ottiene:
R12 =
ω0 2 M 2
Q2 eff =
e quindi:
rd
=
ω0 L
Rs + R12
(6 ⋅ 10 6 × 180 ÷ 10 −6 ) 2
= 14,6
80 ⋅ 10 3
=
6 ⋅ 10 6 × 200 ⋅ 10 −6
= 48,8
10 + 14,6
A0 = g mω0 MQ2eff = 4 ⋅ 10−3 × 6 ⋅ 106 × 180 ⋅ 10−6 × 48,8 = 210,82 < A0(max)
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P3.8 – Un amplificatore di tensione selettivo a filtro di banda, sintonizzato sulla
radiofrequenza ω0= 5 Mrad/s, è realizzato con un JFET avente gm=4 mA/V, rd = 40
kΩ. Le bobine, primaria e secondaria, sono accoppiate con K=Kc , ed hanno
rispettivamente: L1=150 µH, Q1=100; L2=240 µH, Q2=80.
Calcolare il guadagno di tensione in decibel alla risonanza ed in corrispondenza
delle due frequenze: ω1 = ω0 (1 − K c / 2) , ω2 = ω0 (1 + K c / 2).
Soluzione
Supponendo trascurabili le perdite nei condensatori di accordo, il circuito primario
del trasformatore RF presenta una resistenza parallelo propria data da:
R p1 = ω0 L1Q1 = 5 ⋅ 106 × 150 ⋅ 10−6 × 100 = 75 kΩ
La resistenza effettiva è data dal parallelo della Rp1 con la resistenza dinamica del
JFET, e vale:
R pd 1 =
R p1rd
R p1 + rd
=
75 × 40
= 26 kΩ
75 + 40
Pertanto il circuito primario presenta un fattore di merito effettivo dato da:
Q1eff =
R pd 1
26 ⋅ 103
=
= 34,67
ω0 L1 5 ⋅ 106 × 150 ⋅ 10− 6
In base alla (6.26) possiamo allora calcolare il valore del coefficiente di
accoppiamento critico:
Kc =
1
Q1eff Q2
=
1
= 0,019
34,67 × 80
L’amplificazione alla risonanza per K=Kc risulta pertanto, in base alla (7.13):
A0 =
ovvero:
1
1
g mω0 L1L2 =
4 ⋅ 10 − 3 × 5 ⋅ 10 6 150 ⋅ 10 − 6 × 240 ⋅ 10 − 6 ≅ 100
2K c
2 × 0,019
A0 (dB) = 20 log 100 = 40 dB
La larghezza di banda dell’amplificatore è espressa dalla (7.14) per K=Kc:
B = 2Kc f0
Le frequenze angolari ω1 , ω2 assegnate corrispondono quindi, approssimativamente,
ai limiti inferiore e superiore della banda passante, e pertanto ad esse corrisponde un
guadagno di tensione di 3 dB al disotto di quello a centro banda, cioè:
ovvero:
A01 (dB) = A02 (dB) = A0 (dB) − 3 = 40 − 3 = 37 dB
A01 = A02 = 1037 / 20 ≅ 70,8
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P3.9 – Uno stadio amplificatore di potenza a radiofrequenza, realizzato con un BJT
funzionante in classe C, ha una potenza di uscita sull’utilizzatore Pu=1,38 W, con
rendimento di trasferimento ηt=0,96. Il circuito volano comprende un condensatore
di accordo di capacità C=310 pF, sul primario di un trasformatore RF costituito da
due bobine uguali di induttanza L=0,4 µH. Il secondario è chiuso su un utilizzatore
ohmico rappresentato da una resistenza Ru=75 Ω. La tensione di alimentazione è
Vcc=40 V.
Fissato un coefficiente di tensione (= ampiezza del segnale di tensione in uscita
rapportata alla tensione di alimentazione) Kv=0,9 ed un coefficiente di corrente
(=ampiezza del segnale di corrente di prima armonica rapportata al valor medio
della corrente di collettore) K=1,7 determinare:
a) la frequenza di lavoro dell’amplificatore;
b) la potenza di alimentazione ed il rendimento di conversione;
c) il grado di accoppiamento fra le bobine del trasformatore di uscita.
Vcc
C
310pF
L
L
L
0,4uH
L
0,4uH
Ru
75Ω
RB
CB
GND
Soluzione
a) Trascurando l’effetto dissintonizzante del secondario del trasformatore di
uscita, la frequenza di lavoro è quella di risonanza del circuito volano data da:
f0 =
1
2π LC
=
1
2π 0,4 ⋅ 10 × 310 ⋅ 10−12
−6
= 14,3 Mrad / s
ovvero, in termini angolari:
ω0 =
1
1
=
≅ 90 Mrad / s
−6
LC
0,4 ⋅ 10 × 310 ⋅ 10−12
b) Dal valore di Kv si ricava l’ampiezza del segnale sinusoidale di uscita:
VuM = K vVcc = 0,92 × 40 = 36,8 V
L’ampiezza della corrente di prima armonica si può ricavare dall’espressione della
potenza convertita in radiofrequenza:
1
P = VuM I c1M
2
con:
P=
Si ottiene:
I c1M =
Pu
ηt
=
1,38
= 1,44 W
0,96
2 P 2 × 1,44
=
= 78,26 mA
VuM
36,8
Con un Ki=1,7 (corrispondete ad un angolo di circolazione della corrente di circa
120°), la corrente media di collettore risulta:
I cm =
I c1M 78,26
=
= 46 mA
Ki
1,7
e quindi la potenza di alimentazione vale:
Pcm = Vcc I cm = 40 × 46 ⋅ 10 −3 = 1,84 W
con un rendimento di conversione:
ηc =
P 1,44
=
= 0,78
Pcm 1,84
c) La resistenza di carico dell’amplificatore:
RL =
36,8
VuM
=
= 470 Ω
I c1 78,26 ⋅ 10 − 3
rappresenta la resistenza parallelo della bobina costituente il circuito volano
(supponendo nulle le perdite nel condensatore di accordo), la quale presenta quindi
un fattore di merito effettivo:
Qeff =
470
RL
=
= 13
6
ω0 L 90 ⋅ 10 × 0,4 ⋅ 10 − 6
mentre il fattore di merito proprio ha un valore, ricavabile dalla (7.20), pari a:
Q=
Qeff
1 − ηt
=
13
= 325
1 − 0,96
D’altra parte, la RL,trasformata in resistenza serie:
RLs =
RL
470
= 2 = 2,78 Ω
2
13
Qeff
equivale in prima approssimazione alla resistenza serie dell’utilizzatore trasferita al
primario. Possiamo perciò scrivere:
RLs ≅
da cui discende:
K=
ω0 2 M 2
Ru
=
ω0 2 K 2 L2
Ru
RLs Ru
2,78 × 75
= 0,4
=
ω0 L
90 ⋅ 106 × 0,4 ⋅ 10− 6
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