piramide

GEOMETRIA
SOLIDA
PIRAMIDE
Prof.ssa M. Rosa
Casparriello
Scuola media di Cervinara
2007/2008
• DEFINIZIONE
• La piramide è un
poliedro limitato da un
poligono qualsiasi e da
tanti triangoli quanti
sono i lati di questo
poligono, aventi tutti un
vertice in comune.
ELEMENTI DI UNA PIRAMIDE
V vertice
ABCDEF base (poligono di base)
VAB faccia laterale (triangolo)
VH altezza (distanza tra il vertice
e la base)
VM apotema
H piede dell’altezza
VB spigolo laterale
AB spigolo di base
M
PIRAMIDE
Elementi della piramide
faccia
laterale
PIRAMIDE
Una piramide prende il nome dal numero di lati
del poligono di base.
PIRAMIDE
TRIANGOLARE
PIRAMIDE
QUADRANGOLARE
PIRAMIDE
PENTAGONALE
Una piramide si dice retta se ha per
base un poligono circoscrittibile
a una circonferenza, il cui centro
coincide con il piede dell’altezza.
Una piramide si dice regolare
se è retta e se ha per base
un poligono regolare.
QUADRATO
TRIANGOLO
EQUILATERO
PENTAGONO
REGOLARE
Il solido P è una piramide quadrangolare
regolare, quindi è retta; il piede dell’altezza
coincide con il centro della circonferenza
inscritta nel poligono di base.
Le sue facce laterali sono
quattro triangoli T isosceli congruenti,
la sua base è un quadrato Q.
• Quante sono le facce laterali di una piramide regolare
esagonale? ……. 6
Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati?
…………………….. isoscele
• PIRAMIDE RETTA
• abbiamo detto che se nel poligono di base si può inscrivere una
circonferenza e se l’altezza della piramide cade al centro di questa
circonferenza, allora abbiamo una piramide retta. Le facce laterali sono
tutti triangoli diversi, ma aventi tutti la stessa altezza: è l’ipotenusa dei
triangoli rettangoli con cateto pari al raggio e altro cateto pari all’altezza.
CIASCUNA DI QUESTE ALTEZZE PRENDE IL NOME DI
APOTEMA DELLA PIRAMIDE
• PIRAMIDE
INDICANDO CON A
L’APOTEMA, CON R IL
RAGGIO E CON H L’ALTEZZA,
ALLORA APPLICANDO IL
TEOREMA DI PITAGORA
POSSIAMO SCRIVERE:
a=√h^2+ r^2
h=√a^2- r^2
r=√a^2- h^2
• PIRAMIDE RETTA
Abbiamo detto che una piramide retta avente per base
un poligono regolare è detta piramide regolare. In
una piramide regolare:
tutti gli spigoli sono congruenti;
Tutti i triangoli che formano le facce laterali sono
isosceli e congruenti.
• PIRAMIDE QUADRANGOLARE
Consideriamo una piramide regolare
quadrangolare e osserviamo i triangoli
rettangoli
Il triangolo VHB:
l’ipotenusa vb è lo
spigolo laterale, vh è
l’apotema, bh= ½ l
Quindi:
• s=√a^2+ (l/2)^2
• a=√s^2- (l/2)^2
• l/2=√s^2- a^2
• PIRAMIDE QUADRANGOLARE
Consideriamo una piramide regolare
quadrangolare e osserviamo i triangoli
rettangoli
Il triangolo VKB: l’ipotenusa
vb è lo spigolo laterale, vk
è l’altezza, kb è il raggio
della circonferenza
circoscritta
Quindi:
• s=√h^2+ r^2
• h=√s^2- r^2
• r=√s^2- h^2
• PIRAMIDE QUADRANGOLARE
Consideriamo una piramide regolare
quadrangolare e osserviamo i triangoli
rettangoli
Il triangolo VKH: l’ipotenusa
vH è l’apotema, il cateto vk
è l’altezza, il cateto vh è il
raggio della circonferenza
inscritta
Quindi:
• a=√h^2+ r^2
• h=√a^2- r^2
• r=√a^2- h^2
• Superficie della piramide
• Riprendiamo l’immagine che abbiamo visto in
precedenza relativa allo sviluppo sul piano di una
piramide
Notiamo che lo sviluppo è
costituito dal poligono di base
e da tanti triangoli aventi per
altezza l’apotema della
piramide e per base gli spigoli
di base.
• Superficie della piramide
• L’area della superficie laterale è data dalla somma delle aree di
questi triangoli. Ricordiamo perché lo abbiamo già visto
(Raffaele) che la somma di più triangoli aventi la stessa altezza
è equivalente ad un unico triangolo avente per base la somma
delle basi e per altezza la stessa altezza. Quindi indicando con
Al l’area della superficie laterale, con P il perimetro di base (o
se volete con 2p), e con a l’apotema, avremo:
• Al=P▪a/2
• Da cui le formule inverse
• Superficie della piramide
• Regola: l’area della superficie laterale di una piramide retta si
calcola moltiplicando il perimetro di base per la misura
dell’apotema e dividendo per 2 il prodotto ottenuto.
• Regola: l’area della superficie totale di una piramide retta si
calcola addizionando l’area del poligono di base all’area della
superficie laterale
Volume della piramide retta
• Una piramide è equivalente alla terza parte
di un prisma avente la base equivalente e
l’altezza congruente a quella della piramide.
• V= Ab▪h/3
• Regola: il volume di una piramide si calcola
moltiplicando l’area di base per l’altezza e
dividendo il prodotto per 3.