"in formula" 98

Le medie
LE MEDIE
Italo Nofroni
Le medie (o valori medi) sono indici di
tendenza centrale e costituiscono un
modo semplice ed immediato per
sintetizzare in un solo valore i dati
eterogenei raccolti in un collettivo
Statistica medica
Le medie
Le medie
Medie
Le medie vengono classificate in
Medie ferme
Medie lasche
Medie ferme: per il calcolo richiedono
l’utilizzo di tutti i valori disponibili
Aritmetica
Moda
Geometrica
Mediana
Armonica
Quantili
Medie lasche: per il calcolo si utilizzano
solo alcuni dei valori disponibili
Quadratica
Le medie
Le medie ferme
Medie ferme
Media
aritmetica
Data una seriazione, si ottiene come
somma dei prodotti di ciascuna modalità
per la rispettiva frequenza, diviso la
somma delle frequenze
In formula
K
M ( x) = x =
∑
i =1
K
∑
i =1
xi ni
ni
Per distribuzioni semplici: ni = 1
1
Le medie ferme
Le medie ferme
Esempio 1
Numero
di figli
ni
x in i
0
8
0
1
14
14
2
20
40
3
6
18
4
4
16
5
2
10
Totale
54
98
La media aritmetica
Quindi…
x=
98
= 1.8148 ≅ 1.81
54
Le medie ferme
seriazioni simmetriche
dati che variano in progressione
aritmetica
Le medie ferme
Nel caso di variabili continue le cui
modalità sono raggruppate in classi, per
il calcolo della media si prende
usualmente il valore centrale (medio) di
ogni classe, ipotizzando
l’equidistribuzione dei dati all’interno
della classe stessa
Le medie ferme
E’ la media più utilizzata, la media per
antonomasia, ma il suo campo di
applicazione ideale è per
Se l’ipotesi di equidistribuzione non
fosse accettabile (classi aperte…),
come valore medio della classe si può
scegliere un valore arbitrario ma
plausibile, oppure è necessario
conoscere analiticamente i veri valori
delle unità statistiche e tramite questi
calcolare il vero valore medio della
classe
Le medie ferme
Esempio 2
Età al parto
ni
Valore classe
Fino a 15
3
?
15 - 20
10
?
20 - 25
36
22.5
……………
……………
……………
……………
……………
……………
45 e oltre
8
?
Nota la media aritmetica, si possono
calcolare
Gli scarti
si = xi − x
Gli scostamenti
purché
shi = xi − h
h≠x
2
Le medie ferme
Le medie ferme
Proprietà della media aritmetica
Proprietà della media aritmetica
1 Il valore della media è sempre
compreso tra il minimo e il massimo
dei valori presi in esame
2 Se un collettivo è diviso in gruppi di
cui sono note le medie, la media
generale è data dalla media delle
medie di gruppo ponderate con la
numerosità di gruppo
x1 ≤ x ≤ xK
Le medie ferme
Esempio 3
altezza
media
numerosità
Maschi
172 cm
100
Femmine
166 cm
200
gruppo
Quanto sarà l’altezza media
complessiva indipendentemente dal
sesso?
Le medie ferme
Esempio 3
Esempio 3
Le medie ferme
x tot =
xtot =
xM nM + xF nF
nM + nF
ovvero
172 x100 + 166 x 200
= 168
100 + 200
Le medie ferme
Proprietà della media aritmetica
gruppo
altezza
media
numerosità
Maschi
172 cm
100
Femmine
166 cm
200
3 La somma algebrica degli scarti è
sempre uguale a 0
K
Come si vede, la media totale è spostata
verso quella del gruppo con numerosità
maggiore
∑s n
i =1
i i =
0
3
Le medie ferme
Le medie lasche
Proprietà della media aritmetica
Medie lasche
4 La somma dei quadrati degli scarti è
sempre minore della somma dei
quadrati degli scostamenti
K
∑ si 2 ni
<
i =1
K
∑s
i =1
2
h
i
ni
Le medie lasche
Esempio 4
(seriazione)
E’ data dalla modalità con la massima
frequenza
E’ l’unica media che si può applicare
indifferentemente a serie e a seriazioni
ed appunto questa la sua maggiore utilità
Le medie lasche
Numero
di figli
ni
0
8
Massima
frequenza
Numero
di figli
ni
0
8
1
14
Esempio 4
(seriazione)
1
14
2
20
2
20
3
6
3
6
4
4
4
4
5
2
5
2
Totale
54
Totale
54
Numero
di figli
ni
0
8
1
14
2
20
3
6
4
4
5
2
Le medie lasche
Massima
frequenza
…quindi
Le medie lasche
Totale
54
Graficamente…
Massima
frequenza
25
20
Massima frequenza
frequenza
Esempio 4
(seriazione)
Moda
…quindi
15
10
5
0
0
Mo = 2
1
2
3
4
5
num ero di figli
Mo = 2
4
Le medie lasche
Le medie lasche
Esempio 5
(serie)
Stato civile
ni
Stato civile
ni
23
Esempio 5
(serie)
celibe/nubile
celibe/nubile
23
coniugato/a
27
Mo = coniugato/a
coniugato/a
27
divorziato/a
4
divorziato/a
4
vedovo/a
6
vedovo/a
6
Totale
60
Totale
60
Le medie lasche
Le medie lasche
Può interessare anche la moda secondaria
25
frequenza
20
15
Mo = 2
10
Mo2 = 4
Nel caso di una variabile continua
espressa in classi, tutte di uguale
ampiezza, si può individuare, col
metodo già noto, la classe modale
5
0
0
1
2
3
4
5
numero di figli
Le medie lasche
Le medie lasche
Esempio 6
Esempio 6
Altezza (cm)
ni
Altezza (cm)
ni
150 - 159
49
150 - 159
49
160 – 169
54
160 – 169
54
170 - 179
61
Classe modale =
170 - 179
170 - 179
61
180 - 189
16
180 - 189
16
Totale
180
Totale
180
5
Le medie lasche
Le medie lasche
Nel caso di una variabile continua
espressa in classi di ampiezza diversa,
per individuare la classe modale si deve
calcolare la
densità di frequenza = ni/ampiezza
classe
Le medie lasche
Esempio 7
Esempio 7
Età
ni
ni/classe
20 – 24
25 – 29
30 – 39
40 – 59
60 - 69
Totale
20
30
40
42
36
168
20/5 = 4
30/5 = 6
40/10 = 4
42/20 = 2.1
36/10 = 3.6
-
Le medie lasche
Esempio 7
Età
ni
ni/classe
Età
ni
ni/classe
20 – 24
25 – 29
30 – 39
40 – 59
60 - 69
Totale
20
30
40
42
36
168
20/5 = 4
30/5 = 6
40/10 = 4
42/20 = 2.1
36/10 = 3.6
-
20 – 24
25 – 29
30 – 39
40 – 59
60 - 69
Totale
20
30
40
42
36
168
20/5 = 4
30/5 = 6
40/10 = 4
42/20 = 2.1
36/10 = 3.6
-
Classe modale = 25 - 29
Le medie lasche
Le medie lasche
Esempio 8: (distribuzione semplice, N dispari)
La mediana
Data una seriazione ordinata
(crescente o decrescente), la mediana
è il valore centrale, ovvero quel valore
che la divide in due parti uguali
Altezza
147
153
154
159
163
171
182
6
Le medie lasche
Le medie lasche
Esempio 8: (distribuzione semplice, N dispari)
Esempio 9: (distribuzione semplice, N pari)
Altezza
147
153
154
159
163
171
182
Valore centrale
Me = 159
Le medie lasche
Le medie lasche
Esempio 9: (distribuzione semplice, N pari)
Valori centrali
Peso
45
51
54
59
63
69
77
84
Le medie lasche
Età
ni
Peso
45
51
54
59
63
69
77
84
Nel caso di distribuzioni di frequenza, occorre
1) Ordinare la seriazione (nel caso non lo sia)
2) Calcolare le frequenze cumulate
3) Calcolare N/2
Me = (59 +63)/2 = 61
4) Se N dispari il valore centrale è nel posto N/2
5) Se N pari i valori centrali sono nei posti N/2 e N/2 +1
6) Individuare in quale frequenza cumulata si trova la
mediana e quindi a quale modalità corrisponde
Esempio 10: N dispari
Le medie lasche
Ni
Età
ni
Esempio 10: N dispari
Ni
20
8
8
20
8
8
21
11
19
21
11
19
22
23
42
22
23
42
23
44
86
23
44
86
24
52
138
24
52
138
25
27
165
25
27
165
26
20
185
26
20
185
Totale
185
Totale
185
Posto centrale:
93°
N/2 = 92.5
7
Le medie lasche
Esempio 10: N dispari
Età
ni
Ni
20
8
8
Posto centrale:
93°
N/2 = 92.5
Le medie lasche
Esempio 11: N pari
Altezza
ni
Ni
145 - 149
11
11
150 - 154
12
23
155 - 159
14
37
21
11
19
22
23
42
23
44
86
160 - 164
15
52
165 - 169
22
74
24
52
138
25
27
165
170 - 174
60
134
185
175 e oltre
66
200
Totale
200
26
20
Totale
185
Le medie lasche
Me = 24
Esempio 11: N pari
Le medie lasche
Esempio 11: N pari
Altezza
ni
Ni
Altezza
ni
Ni
145 - 149
11
11
145 - 149
11
11
150 - 154
12
23
150 - 154
12
23
155 - 159
14
37
155 - 159
14
37
160 - 164
15
52
160 - 164
15
52
165 - 169
22
74
165 - 169
22
74
170 - 174
60
134
170 - 174
60
134
175 e oltre
66
200
175 e oltre
66
200
Totale
200
Totale
200
Posti centrali
N/2 = 100°
N/2 + 1 = 101°
Le medie lasche
Posti centrali
N/2 = 100°
N/2 + 1 = 101°
Me = 170 - 174
Le medie lasche
I quantili
La mediana è particolarmente utile
nella sintesi di distribuzioni
asimmetriche; in questo caso infatti la
media aritmetica, considerando anche i
valori estremi anomali, finirebbe col
sovrastimare il fenomeno
Valori che consentono di suddividere la
seriazione considerata in un numero
prefissato di parti uguali
8
Le medie lasche
Le medie lasche
Usualmente si utilizzano i:
Percentili: dividono la seriazione in 100
parti uguali
La mediana, dividendo la seriazione in
2 parti uguali, è un quantile
Decili: individuano 10 parti uguali
Corrisponde al secondo quartile e al
cinquantesimo percentile
Quartili: individuano 4 parti uguali
Terzili: individuano 3 parti uguali
9