LeLing13

Geometria Lingotto.
LeLing13: Polinomi e numeri complessi.
Argomenti svolti:
¯
• Polinomi e non polinomi.
• Le radice della equazione x2 + 1 = 0: i numeri complessi.
• L’inverso z1 e il coniugato.
√
−b± b2 −4ac
.
• Radici di polinomi. Radici coniugate. La formula
2a
√
1+ 5
• L’algoritmo di Euclide e la sezione aurea 2 .
• Divisione di polinomi. L’algoritmo di Euclide e le radici multiple.
Esercizi consigliati: Geoling 15.
¯
Polinomi
Un polinomio p(X) in X e’ una espressione p(X) = a0 + a1 X + · · · + an X n dove
a1 , a2 , · · · , an sono numeri. Se an 6= 0 il numero n si chiama grado del polinomio p(X)
e simbolicamente si scrive deg(p(X)) = n. Se tutti i numeri a1 , a2 , · · · , an sono numeri reali allora p(X) si dice polinomio reale. Se invece a1 , a2 , · · · , an appartengono
a un campo numerico K allora si dice che p ha coefficienti in K e simbolicamente si
scrive p(X) ∈ K[X]. Ovviamente p(X) ∈ R[X] significa che p(X) e’ un polinomio reale.
Di solito un polinomio si pensa come una funzione e si scrive P (x) dove la x minuscula significa che abbiamo inserito un numero x al posto di X . I classici esempi sono la
retta p(x) = ax + b e la parabola p(x) = ax2 + bx + c.
Ovviamente esistono funzioni f (x) che non si possono ottenere mettendo x al posto
di X in un polinomio. Ecco gli esempi classici: cos(x) e sin(x). Infatti, questo e’ conseguenza del fatto che sin(x) e cos(x) hanno infinite radici e invece un polinomio p(x)
ha al massimo deg(p(X)) radici 1 .
A volte puo’ servire inserire al posto di X una matrice o qualsiasi altro oggetto che
3
si possa sommare e moltiplicare.
Ad esempio, se p(X) = X + 2X + 1 mettendo al posto
0 −1
di X la matrice J =
possiamo calcolare p(J), che sara’ anche lei una matrice
1 0
1
Questo si dimostra usando l’algoritmo della divisione (oppure il Teorema di Ruffini).
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1
Geometria
Geometria Lingotto.
2 × 2. Infatti, da J 3 =−J risulta
p(J) = −J + 2J
+ 1 =J + 1. Siccome 1 rappresenta
1
0
1 −1
X 0 allora J 0 = Id2 =
e dunque p(J) =
.
0 1
1 1
Osservare dunque che la matrice J e’ radice della equazione X 2 + 1 = 0.
Numeri complessi
E’ ovvio che la equazione x2 + 1 = 0 non si puo’ risolvere usando i numeri reali.
Dunque i matematici hanno inventato il numero imaginario ”i” 2 . Cioe’, si decreta che
i2 = −1 e ovviamente (− i)2 = −1.
Ma una volta nato il numero ”i”, siccome va pensato come un numero, dobbiamo essere capaci di calcolare 2 i, 4 i, 1i , i2 5, 4 i +2 i3 5, ecc. Insomma, e’ vero che i matematici
inventano il numero ”i”, ma questa invenzione produce automaticamente molti altri
+a1 i +a2 i2 +···+an in
numeri, cioe’ tutti quelli che possiamo escrivere come un quoziente ba00+b
2
m
1 i +b2 i +···+bm i
con a1 , · · · , an , b1 , · · · , bm numeri reali.
Dunque insieme alla nascita di ”i”, nascono i numeri complessi che si raccolgono
+a1 i +a2 i2 +···+an in
nell’insieme C di numeri complessi ba00+b
2
m con a1 , · · · , an , b1 , · · · , bm . No1 i +b2 i +···+bm i
tare che R e’ contenuto in C, infatti se a ∈ R allora a = −a i2 ∈ C, dunque R ⊂ C.
Dunque lo studio di C e’ lo studio di questo insieme. Ecco un teorema importante.
Teorema 0.1. Se z ∈ C, cioe’ z =
z si scrive in modo unico come:
a0 +a1 i +a2 i2 +···+an in
b0 +b1 i +b2 i2 +···+bm im
con a1 , · · · , an , b1 , · · · , bm allora
z = x + iy
dove x, y ∈ R.
Il numero reale x si chiama la parte reale di z , simbolicamente Re(z) := x mentre il
numero reale y si chiama parte immaginaria e si denota Im(z), cioe’ z = Re(z)+i Im(z).
+a1 i +a2 i2 +···+an in
A+B i
Dimostrazione. Siccome i2 = −1 segue che z = ba00+b
2
m = C+D i , dove
1 i +b2 i +···+bm i
i
A+B i C−D i
A, B, C, D ∈ R. Ecco una seconda osservazione: z = ( C+D
)(
) = (AC+BD)+(BC−AD)
.
i C−D i
C 2 +D2
AC+BD
BC−AD
Risulta quindi che z = x + y i, dove x = C 2 +D2 e y = C 2 +D2 . Dimostrare l’unicita’ e’
facilissimo. Infatti, se esistesse un z tale che z = x + y i = x0 + y 0 i e y 6= y 0 , risulterebbe
x − x0
i= 0
y −y
ma questo implica che i e’ un numero reale! Assurdo. Dunque y = y 0 e per forza x = x0 .
2
2
A volte
usa il simbolo
√ si √
uguale a −1 −1 .
√
−1 per denotare i , ma si faccia attenzione poiche’
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2
p
(−1)(−1) non e’
Geometria
Geometria Lingotto.
Dopo questo Teorema possiamo ripartire pensando ai
numeri complessi come le coppie z = x + y i di numeri reali. E’ dunque naturale pensare che un numero complesso
si rappresenta nel piano R2 come il punto (x, y).
L’inverso
1
z
e il coniugato z
La lettera z denota un numero complesso, cioe’ z = x+i y . La dimostrazione della proposizione precedente contiene l’idea di come calcolare l’inverso z1 di un numero complesso.
E’ conveniente introdurre il coniugato z = x − y i di z come il numero complesso la cui
parte immaginaria e’ di segno contrario a quello di z . Geometricamente il coniugato del
punto z e’ il simmetrico rispetto all’asse x.
Ecco due proprieta’ importanti del coniugato,
Proposizione 0.2. Se z e w sono numeri complessi allora:
zw = zw
z+w =z+w
Inoltre usando repetutamente la prima proprieta’ risulta z n = z n .
Notare che z = z se e solo se Im(z) = 0, ossia se e solo se z e’ un numero reale.
Allora ecco l’osservazione importante:
z.z = x2 + y 2
cioe’, il prodotto di un numero e il suo coniugato e’ uguale alla distanza al quadrato
del punto all’origine, cioe’ il quadrato del modulo di z pensato come vettore. Siccome il
modulo si denota |z| allora z.z = |z|2 .
Questo permette facilmente di calcolare l’inverso.
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Geometria
Geometria Lingotto.
Proposizione 0.3. L’inverso
1
z
di z 6= 0 e’
1
z
x
y
= 2 = 2
− 2
i
2
z
|z|
x +y
x + y2
Dimostrazione . Eseguendo il prodotto z |z|z 2 =
definizione. 2
zz
|z|2
=
|z|2
|z|2
= 1, dunque
1
z
=
z
|z|2
per
Esempio 0.4. Ecco l’inverso di i:
1
= −i
i
Il calcolo dell’inverso z1 , insieme con le operazioni di somma e prodotto ci permette di
pensare a C come un campo numerico 3 . Ecco come si moltiplicano due numeri complessi
z = x + y i e w = a + b i:
z.w = (x + y i)(a + b i) = xa + xb i +ya i +yb i2 = xa + (xb + ya) i +yb(−1)
dunque z.w = (xa − yb) + (xb + ya) i. Ed ecco una formula celebre:
|z|2 |w|2 = (x2 + y 2 )(a2 + b2 ) = (xa − yb)2 + (xb + ya)2 = |zw|2 .
Questa formula e’ il punto di partenza della dimostrazione di Eulero del teorema di
Fermat4 che i numeri naturali della forma 4k + 1 sono somma di due quadrati.
Infine si osservi che la parte reale e quella immaginaria si ricavano usando il coniugato:
Re(z) =
z+z
2
Im(z) =
z−z
2i
Il numero z si dice immaginario puro se Re(z) = 0. Dunque z e’ immaginario puro
se z = y i, y ∈ R. Notare che la condizione z = −z e’ necessaria e sufficente affinche’ z
sia immaginario puro.
3
4
Il primo a notare questo e’ stato il bolognese Raffaele Bombelli nel 1572.
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati
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Geometria
Geometria Lingotto.
Radici di polinomi reali, radici coniugate, ecc.
Il polinomio p(x) = x2 + 1 e’ reale ma ha due radice complesse, cioe’ i e − i. Osservare
che − i e’ (per definizione) il coniugato di i. Questo succede per qualsiasi polinomio reale;
cioe’ se z e un numero complesso radice della equazione reale a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn =
0 allora il coniugato z e’ pure lui una radice. Infatti, siccome a0 , a1 , · · · , an sono numeri
reali risulta:
a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n = 0 = 0
a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n = 0 ,
a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n = 0 ,
dunque risulta:
a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n = 0
cioe’ il coniugato z e’ radice della stessa equazione.
Proposizione 0.5. Sia p(X) ∈ R[X] un polinomio reale. Se il numero complesso z ∈ C
soddisfa p(z) = 0, allora anche il coniugato z soddisffa p(z) = 0. Inoltre, se Im(z) 6= 0
allora il polinomio di secondo grado q(X) = (X − z)(X − z) = X 2 − (z + z)X + zz =
X 2 − 2Re(z)X + |z|2 e’ reale, cioe’ q(X) ∈ R[X] e q(X) divide a p(z).
Quest’ultima proposizione si puo’ pensare come una generalizazione del teorema di
Ruffini.
Siccome le radici complesse vanno in coppie la proposizione precendente ci induce a
credere che un polinomio reale di grado dispari abbia sempre una radice reale. Questo
fatto viene dimostrato in analisi osservando che i limiti all’infinito hanno segni diversi.
La proposizione precedente non dimostra questo fatto poiche’ non sappiamo (ancora) che
tutte le radici di un polinomio sono numeri complessi... Comunque i numeri complessi
ci permetteno di risolvere sempre l’equazione di secondo grado a coefficienti reali a, b, c:
ax2 + bx + c = 0 .
√
2
Infatti usando la formula −b± 2ab −4ac risultano
sempre due numeri: reali se b2 −4ac ≥ 0
√
2
o complessi nel caso b2 − 4ac < 0, cioe’ −b±i 2a4ac−b .
Esempio 0.6. Ecco le radici della equazione x2 + x + 1 = 0:
√
√
√
−1 ± 1 − 4
−1 ± −3
−1 ± 3 i
=
=
2
2
2
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Geometria
Geometria Lingotto.
Algoritmo di Euclide.
Euclide 300 anni avanti Cristo calcolava il massimo comune divisore M CD(a, b)
due numeri a, b facilmente grazie a una osservazione molto semplice. Eccola qui:
5
tra
Assumiamo che a < b:
(i) allora possiamo sottrarre a da b un numero intero di volte q e ci avanzara un resto
r , cioe’
b = a.q + r,
0≤r<a
(ii) Il M CD(a, b) è uguale al M CD(r, a).
Dunque per trovare M CD(a, b) basta trovare M CD(r, a) e possiamo ripartire di
(i) cercando di calcolare M CD(r, a), che intuitivamente e’ piu’ facile, poiche’ r e piu’
piccolo di a.
Esempio 0.7. Vediamo come usando ripetutamente l’osservazione di Euclide si trova
facilmente il M CD(53241, 3215). Allora, secondo Euclide abbiamo:
M CD(53241, 3215) = M CD(3215, 1801)
poichè 1801 è il resto della divisione di 53241 per 3215. Allora, possiamo applicare ancora la stessa idea di Euclide, cioè M CD(3215, 1801) = M CD(1801, 1414). Ancora una
volta, M CD(1414, 387) = M CD(387, 253). A questo punto l’idea è chiara e possiamo
scrivere:
M CD(53241, 3215) = M CD(3215, 1801) = M CD(1801, 1414) = M CD(1414, 387) =
= M CD(387, 253) = M CD(253, 134) = M CD(134, 119) = M CD(119, 15) = M CD(15, 14) = 1
Dunque, il M CD(53241, 3214) è 1, cioè 53241 e 3214 sono primi tra di loro.
I Greci applicavano l’idea del calcolo del M CD(a, b) per tutti i numeri a, b non
necessariamente interi, cioe’ dati due numeri a, b cercavano una unita’ di misura comune
d, cioe’ un numero d tale che a, b siano multipli interi di d. Ma se a, b non sono interi
l’algoritmo non termina necessariamente, cioe’ protrebbe accadere di andare sempre
5
Si puo’ pensare al d = M CD(a, b) come ad una unita’ di misura comune ad entrambi i numeri a, b,
cioe’ a, b sono multipli interi di d , che e’ il piu’ grande numero con questa proprieta’.
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Geometria
Geometria Lingotto.
avanti sottraendo dal divisore il resto, senza mai arrivare ad un resto che divide un
divisore. Ecco un tipico esempio. Prendiamo a = 1 e x un numero maggiore di a = 1,
che soddisfa
1
x
=
.
1
x−1
Siccome x > 1 allora 0 < x − 1 < 1 dunque il resto r della divisione di a = 1 e x e’
r = 1 − x:
x
1
= .
1
r
cioe’ il rapporto tra x e 1 e’ uguale al rapporto tra 1 ed il resto r . Siccome:
b
a
0
= ab 0 ,
=⇒
b = q.a + r , 0 ≤ r < a
a
r
=
0
0
0
b = q.a + r ,
a0
,
r0
0 ≤ r0 < a0
allora segue che la divisione continuera’ per sempre, dando sempre 1 come divisore e
il resto sempre nella stessa proporzione come all’inizio: x1 = 1r ; infatti l’esempio e’ stato
costruito appositamente per evitare che l’algoritmo termini.
Risolvendo l’equazione x2 − x − 1 = 0 risulta
√
1+ 5
,
x=
2
che e’ la diagonale di un pentagono regolare di lato 1 6 .
Osservare che il resto r della divisione tra x e 1 e’ la
diagonale del piccolo pentagono (formato dalle diagonali)
il cui lato e’ 1 − r . Dunque questo dimostra che la procedura della divisione non termina mai, poiche’ si trova
sempre un pentagono regolare piu’ piccolo (formato dalle
diagonali del piu’ grande).
Siccome l’algoritmo di Euclide applicato a 1 ed a un numero razionale
sempre, abbiamo dimostrato il seguente importante teorema.
Teorema 0.8. I numeri 1 e
7
.
√
1+ 5
2
non sono commensurabili, cioe’
√
1+ 5
2
p
q
termina
e’ irrazionale
√
Il numero x = 1+2 5 si chiama numero d’oro o sezione aurea.
7
Questo fu scoperto da Ippaso di Metaponto, un pitagorico, che dicono peri’ per non aver mantenuto
segreta questa scoperta.
6
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Geometria
0.1 Fattorizzazione
0.1
Geometria Lingotto.
Fattorizzazione
Quando a, b sono numeri interi, per trovare M CD(a, b) di solito si fattorizzano a e b
e si prendono tutti i primi comuni con il minimo esponente. Matematicamente si puo’
scrivere cosi’:
Se
a=
Y
pai i
e
b=
i
Y
pbi i
i
8
allora
M CD(a, b) =
Y
min{ai ,bi }
pi
i
dove pi è la successione di numeri primi, cioè p1 = 2, p2 = 3, p4 = 5, etc.
Dunque se entrambi numeri a, b sono facili da fattorizare allora si puo’ utilizare la
formula precedente per calcolare il M CD(a, b). Ma fattorizare un numero è difficile e
quindi abbiamo bisogno di un metodo piu’ efficiente per calcolare il M CD(a, b).
Massimo Comune Divisore tra polinomi.
L’idea di Euclide si puo’ usare anche per trovare il M CD(P (X), Q(X)) tra due polinomi
P (X) e Q(X) 9 , cioe’ assumendo deg(P (x)) ≥ deg(Q(X)) se R(X) e’ il resto della
divisione di P (X) per Q(X) allora:
M CD(P (X), Q(X)) = M CD(Q(X), R(X)) .
Dunque, siccome il grado del polinomio R(X) e’ sempre piu’ piccolo del grado del dividendo P (X), risulta che dopo un numero finito di passi si ricava il M CD(P (X), Q(X)).
Esempio 0.9.
M CD(X 5 − 3X 2 + 1, X 3 + 2X 2 − 2) = M CD(X 3 + 2X 2 − 2, −X 2 + 4X − 3) =
−31
)=1
225
dunque X 5 − 3X 2 + 1 e X 3 + 2X 2 − 2 sono primi tra di loro, cioe’ sono coprimi.
= M CD(−X 2 + 4X − 3, 15X − 14) = M CD(15X − 14,
8
9
l’esponente 0 indica che il primo non divide il numero, cioe’ non si trova nella fattorizazione.
Questa e’ una idea del matematico persiano Omar Khayyam (1048-1131).
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Geometria
0.1 Fattorizzazione
Geometria Lingotto.
Il M CD(P (X), P 0 (X)) e le radici multiple di P (X).
Sia P (X) = a0 +a1 X +· · ·+an X n = 0 una equazione algebrica di grado n. Il teorema di
Ruffini 10 dice che se sappiamo che λ e’ una radice della equazione algebrica precedente,
cioe’ P (λ) = 0, allora X − λ divide P (X) e viceversa.
Dunque supponiamo che per qualche ragione conosciamo in anticipo una radice λ
di P (X) e ci serva trovare un’altra radice. L’utilita’ del teorema di Ruffini e’ ridurre
il problema a una equazione di grado n − 1. Vale a dire, il Teorema di Ruffini ha la
seguente morale: se conosciamo una radice λ della equazione algebrica P (X) = 0, possiamo fattorizare P (X) = (X − λ)Q(X) e continuare la ricerca delle radici della equazione
Q(X) = 0. Osservare che Q(X) si trova dividendo P (X) per X − λ. Il Teorema di
Ruffini dice semplicemente questo.
Una radice λ di P (X) = 0 si dice multipla se λ e’ inoltre radice di Q(X) = 0,
cioe’ il polinomio (X − λ)2 divide P (X). L’esponente piu’ grande r tale che (X − λ)r
divide P (X) si chiama indice della radice. Una radice non multipla si chiama semplice;
si osservi che l’indice di una radice semplice e’ 1.
E’ notevole il fatto che per decidere se P (X) ha delle radici multipli non sia necessario
trovarne le radici.
Teorema 0.10. Un polinomio P (X) ha una radice multiple α se e solo se P (α) =
P 0 (α) = 0.
Piu’ in generale, P (X) ha una radice multiple se e solo se lui stesso e la sua derivata
0
P (X) non sono coprimi, cioe’ il M CD(P (X), P 0 (X)) 6= 1. Inoltre le radici multipli di
P (X) sono esatamente le radici del M CD(P (X), P 0 (X)).
Ecco due esempi per capire l’importanza (e come funziona) questo teorema.
Esempio 0.11. Il polinomio P (X) = X 3 + X 2 + −1 ha radici multiple? Risposta: No.
non sono radici di P (X).
Infatti P 0 (X) = 3X 2 + 2X = X(3X + 2) e i numeri 0 e −2
3
Esempio 0.12. Il polinomio P (X) = X 5 − 5X 3 + 4X − 1 ha radici multiple? Risposta:
No. Infatti basta rimboccarsi le maniche e fare vedere dopo qualche divisione che M CD(X 5 −
5X 3 + 4X − 1, 5X 4 − 15X 2 + 4) = 1
Invece
10
Molta gente crede, sbagliatamente, che il Teorema di Ruffini serve per trovare una radice della
equazione algebrica P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n = 0 .
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Geometria
0.1 Fattorizzazione
Geometria Lingotto.
Esempio 0.13. Il polinomio P (X) = 4 + 8X + X 2 − 5X 3 − X 4 + X 5 ha radici multiple?
Risposta: Si. Il M CD(P (X), P 0 (X)) e’ −2 − 3X + X 3 dunque P (X) e P 0 (X) non sono
coprimi. Inoltre le radici multiple sono −1, 2, come si verifica facilmente.
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Geometria