Mathesis Roma
9 marzo 2016
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
PROBLEMA. L’EFFETTO GEMELLI
Adattamento da P.A. Tipler –Invito alla Fisica 3
Fisica dello Spazio-Tempo Zanichelli
E.F.Taylor-J.A.Wheeler –
Obiettivi
Presentare una soluzione semplificata del “Paradosso dei
Gemelli”
Utilizzare in modo consapevole le trasformazioni di Lorentz e i
diagrammi spazio-temporali
Riconoscere il carattere relativo della simultaneità
Utilizzare il concetto di tempo proprio, distanza propria,
intervallo Spazio-temporale
I due gemelli Oreste e Omero hanno accettato di partecipare ad un
esperimento per verificare l’EFFETTO GEMELLI:
<<Se O’ fa un lungo viaggio di andata e ritorno , a velocità confrontabile
con quella della luce, mentre il suo gemello O resta a terra, al suo ritorno
trova il gemello molto più invecchiato rispetto a lui.>>
Oreste rimane a terra ( riferimento Ω) mentre Omero intraprende un viaggio
con un’ astronave che si muove con velocità
, raggiunge una stella
lontana dalla terra 8 anni –luce (8c) e torna subito indietro ripercorrendo la
stessa distanza con la stessa velocità.
L’orologio di Oreste è sincronizzato con quelli della terra .
I due gemelli sincronizzano i loro orologi in modo che segnino il valore 0
nell’istante in cui Omero inizia il suo viaggio (Evento A )
a) Dal punto di vista di Oreste e secondo le leggi della Relatività speciale,
dopo quanti anni Omero tornerà sulla terra? di quanto sarà
invecchiato?
b) Una serie di stazioni di guardia affianca l’astronave di Omero e costituisce
un riferimento spaziale ,ad essa solidale , che indicheremo con Ω1.
I due riferimenti hanno l’origine in comune, nel punto in cui Omero è
partito.
Le stazioni sono munite di orologi tra loro sincronizzati.
Indicheremo Oreste,Omero e la stella con O, O’ , S rispettivamente.
Quando è affiancato a S, O’confronta il tempo del suo orologio con quello
di S.
Una delle stazioni spaziali, S’, registra il passaggio della Terra e confronta il
tempo del suo orologio con quello dell’orologio di O.
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9 marzo 2016
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Di quanto si è spostato O, rispetto ad O’, e in quanto tempo, secondo il
riferimento Ω1?
Verifica che la distanza spazio-temporale tra i due eventi
A{O’≡O} e B{ O’ ≡S}
è la stessa in entrambi i riferimenti
Secondo il riferimento Ω1 gli orologi di S e di O non sono sincronizzati.
Quale orologio anticipa e quale ritarda? Qual è la differenza fra i tempi
segnati dai due orologi?
c) In relazione agli eventi A e B
disegna, in un riferimento xOt,
o la linea universo e la linea di simultaneità di O’
o la linea universo e la linea di simultaneità di O
o la linea universo e la linea di simultaneità di S
In relazione all’evento B calcola
le coordinate del punto So in cui la linea di simultaneità di S incontra la
linea universo di O
le coordinate del punto S1 in cui la linea di simultaneità di O’ incontra la
linea universo di O
Commenta i risultati alla luce della relatività della simultaneità
d) Appena raggiunge S , O’ inverte il suo moto istantaneamente.
Un’altra serie di stazioni spaziali affianca l’astronave di O’ e costituisce un
riferimento spaziale ad essa solidale che indicheremo con Ω2.
Disegna nel piano xOt, In relazione all’ evento B la nuova linea-universo e
la nuova linea di simultaneità di O’e determina i punti R e S2 in cui ciascuna di
esse incontra la linea –universo di O.
Cosa rappresentano le coordinate di ciascuno di questi punti?
e) Dal punto di vista di Omero, di quanto è invecchiato Oreste quando si
ricongiungono?
Soluzione
a) Oreste e Omero sincronizzano i loro orologi in modo che segnano il valore 0
nell’istante in cui sono affiancati e Omero inizia il suo viaggio
Essi fanno anche da origine ciascuno al proprio riferimento spaziale e saranno indicati con
O e O’ rispettivamente.
L’asse e l’asse sono coincidenti con la retta che congiunge O con S.
Su ciascuno dei riferimenti spaziali sono posti sistemi di orologi tra loro sincronizzati.
Orologi sincronizzati in un riferimento non lo sono nell’altro se ciascun riferimento si
muove rispetto all’altro
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9 marzo 2016
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Viaggio di andata
Dati:
Distanza OS a riposo
= 8c
Velocità relativa tra i due riferimenti
(β = 4/5
γ= 5/3)
Misura della distanza temporale: tra i due eventi
O è in quiete rispetto alla retta OS, quindi può calcolare tranquillamente la distanza
temporale dividendo
= 10 anni ma può anche leggere sul suo orologio l’istante di
partenza e far leggere ad un suo collaboratore, sull’orologio di S , l’orario di arrivo.
L’orologio di S segnerà 10 anni.
O’ può usare solo il suo orologio , leggendo il valore del tempo all’istante in cui sta
affiancato con O e il valore del tempo nell’istante in cui è affiancato con S. Il suo
orologio segna 6 anni =
Poichè il tempo di ritorno è uguale quello di andata, Omero tornerà sulla terra
dopo 20 anni, misurati da Oreste, e sarà invecchiato di 12 anni.
I risultati sono in accordo con le leggi della Relatività speciale e con le trasformazioni
di Lorentz
Legge di dilatazione del tempo
il tempo proprio è quello misurato
con un solo orologio, quindi da O’, il
quale assiste ai due eventi sempre
nello stesso luogo
Il tempo improprio è quello misurato
da O, con due orologi, in quanto i due
eventi avvengono, per lui, ad una
distanza di 8c.
Contrazione delle
lunghezze
Trasformazioni di Lorentz
Il segmento OS è in moto
rispetto a O’ per il quale la
distanza di 8c risulta contratta
lunghezza impropria =
Coordinate dei due eventi in ciascun
riferimento
=
8c *3/5 =4,8 c
Ovvero
la misura del tempo proprio
permette a O’ di misurare la
lunghezza del segmento OS
nel suo riferimento
Evento A
Evento B
O
(0;0)
(8c; 10)
O’ (0;0)
(0;6)
Invarianza dell’intervallo spazio
temporale
36
b) Punto di vista di O
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9 marzo 2016
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Quando O’ giunge in S, gli orologi del riferimento di O segnano tutti 10 anni. L’orologio di S
rileva che invece l’orologio di O’ segna 6 anni.
O conclude che
L’orologio di O’ ritarda rispetto ai suoi
O’ è invecchiato solo di 6 anni , mentre sulla terra sono passati 10 anni
è verificata la legge di dilatazione del tempo
Punto di vista di O’
Nell’istante in cui l’orologio di O’ segna 6 anni, O’ è affiancato ad S il cui orologio segna 10
anni.
Se vuol sapere dov’è O e di quanto è invecchiato ha bisogno di un altro orologio.
Le stazioni di guardia che si muovono parallelamente alla direzione del moto di O’ sono munite
di orologi. Possiamo pensare , quindi, che nel riferimento di O’ possono esserci infiniti orologi
tra loro sincronizzati e che segnano 6 anni. Tra questi ce ne sarà uno, S’, che si trova affiancato
ad O.
S’ si trova a distanza -4,8 c da O’ e rileva che l’orologio di O segna 3,6 anni
Questi risultati sono in accordo con le leggi della Relatività speciale e con le trasformazioni
di Lorentz
Legge di dilatazione del tempo
il tempo proprio è quello
misurato con un solo orologio,
quindi da O, il quale assiste ai due
eventi sempre nello stesso luogo
Il tempo improprio è quello
misurato da O’, con due orologi, in
quanto i due eventi avvengono, per
lui, ad una distanza di 4,8c.
Contrazione delle
lunghezze
Il segmento O’S’ è in moto
rispetto a O per il quale la
distanza di 8c risulta
contratta
lunghezza impropria =
=
4,8c *3/5 =2,88 c
anni
Ovvero
la misura del tempo proprio
permette a O di misurare la
lunghezza del segmento O’S’
nel suo riferimento
Trasformazioni di Lorentz
Coordinate dei due eventi in ciascun
riferimento
Evento B
Evento O S’
O
(0; 3,6)
(8c; 10)
O’ (-4,8c ; 6)
(0,6)
Invarianza dell’intervallo spazio
temporale
O, rispetto ad O’, secondo il riferimento Ω1 si è spostato di una
distanza pari a 4,8c ( in verso contrario al moto di O’ rispetto a O) in
un tempo pari a 6 anni
O’ conclude che
L’orologio di O ritarda rispetto ai suoi
O è invecchiato solo di 3,6 anni , mentre per lui sono passati 6 anni
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Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Secondo il riferimento Ω1 gli orologi di S e di O non sono sincronizzati in
quanto quello di O segna 3,6 mentre quello di S segna 10
S è in anticipo, rispetto a O, di 6,4 anni
Essendo
si ottiene
S, l’orologio “inseguitore”, il quale , secondo O’, durante l’operazione di sincronizzazione riceve
prima il segnale, anticipa di una quantità proporzionale alla distanza da O.
c) Nel riferimento xOt, avendo posto c=1, solidale con O
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Proposta di soluzione di Adriana Lanza
La linea universo di O è la retta x=0
La linea universo di S è la retta x=8
Le rette di simultaneità di O sono rette parallele
•
•
•
la linea universo di O’ è la retta
La linea universo di un raggio di luce che parte da O è la retta t=x (linea-luce)
Le rette di simultaneità di O’ sono rette simmetriche rispetto alle corrispondenti linee-luce ,
cioè aventi coefficiente angolare uguale a v
all’ asse x (t=costante)
costante
Evento B
Le coordinate del punto So in cui la linea di simultaneità di S incontra la linea universo di O sono
So
le coordinate del punto S1 in cui la linea di simultaneità di O’ incontra la linea universo di O sono
S1
So
S1
rappresenta l’evento {l’orologio di O segna 10 anni}
rappresenta l’evento {l’orologio di O segna 3,6 anni}
L’evento B è simultaneo di So nel riferimento di O, mentre è simultaneo di S1 nel
riferimento di O’
d) Se il moto relativo, di O’ rispetto ad O e viceversa , continua in modo rettilineo e uniforme, i
due riferimenti sono equivalenti per il Principio di relatività
Se però O’ fa una virata e torna indietro, cambia la sua linea universo, ma anche la sua linea di
simultaneità!
Linea universo
Linea di simultaneità
Non appena inizia la virata, O’ si trasferisce in un altro riferimento, quello della seconda serie di
stazioni di guardia.
La nuova linea universo di O’ incontra la linea universo di O nel punto R di ordinata 20 che
rappresenta l’evento {Omero ritorna da Oreste)
La nuova linea di simultaneità di O’ incontra la linea universo di O nel punto
che rappresenta l’evento {l’orologio di O segna 16,4 anni}
di ordinata 16,4
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9 marzo 2016
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Nel periodo di tempo , per O’ trascurabile, dell’inversione di marcia, sulla terra
sono passati 16,4-3,6 = 12,8 anni che, aggiunti ai 7,2 anni ( 3,6 anni per l’andata
e 3,6 anni per il ritorno) , danno come risultato 20.
Nel nuovo riferimento gli orologi della terra sono in anticipo di 6,4 anni rispetto a quelli della
stella!
Tutti gli eventi appartenenti al segmento
, prima della virata erano al di sopra della retta di
simultaneità di O’, cioè nel futuro di O’. Dopo la virata passano al di sotto della retta di
simultaneità, cioè nel passato.
• Questo fatto è sorprendente ma non paradossale.
• I suddetti eventi dovevano ancora essere registrati dagli orologi del primo
riferimento di O’ ( quello del viaggio di andata) mentre erano stati già registrati
dagli orologi del riferimento in cui Omero si trasferisce nel viaggio di ritorno.
e)Quando si ricongiungono i due gemelli concordano sul fatto che:
Oreste è invecchiato di 20 anni e Omero è invecchiato di 12 anni.
