Il “paradosso” dei gemelli

MATHESIS _ ROMA
CORSO di AGGIORNAMENTO di
FISICA
IL “PARADOSSO”
Dei
GEMELLI
Adriana Lanza
I.T:T. “COLOMBO” via Panisperna, 255
9 marzo 2016
IL “PARADOSSO” DEI GEMELLI
• Il cosiddetto paradosso dei gemelli è forse una
delle conseguenze più popolari della teoria della
relatività di Einstein. In realtà non si tratta di un
vero e proprio paradosso, bensì di un
esperimento ideale volto ad illustrare come
alcuni aspetti della teoria di Einstein siano
contrari al senso comune, ma trovano
ugualmente una spiegazione nell’ambito della
teoria.
•
•
•
L'esperimento ideale è il seguente: sulla terra
vi sono due gemelli, uno parte per un viaggio
interstellare di andata e ritorno per una stella
lontana, mentre l'altro rimane ad aspettarlo
sulla terra.
Assumendo che il viaggio interstellare possa
essere compiuto a velocità prossime a quelle
della luce, la teoria prevede che, al ritorno
sulla terra, il gemello ``viaggiatore‘’ sia
invecchiato molto meno di quello
``terrestre”.
L'aspetto che forse può sembrare
paradossale nella storia dei due gemelli è
l'apparente simmetria del sistema:
scegliendo l'astronave come sistema di
riferimento è la terra che si allontana o si
avvicina a velocità prossime a quelle della
luce.
Dunque perché alla fine del viaggio c'è una
differenza tra i tempi misurati dai due
gemelli? La soluzione è molto semplice: i due
sistemi di riferimento, la terra e l'astronave,
NON sono equivalenti
•
•
Esperimento di Hafele Keating da
http://www.treccani.it/scuola/lezioni/fisica/relativita_generale.html
Notiamo che, nonostante l'apparente
irrealizzabilità, il paradosso dei gemelli è
stato verificato sperimentalmente! Questo
grazie a degli orologi atomici collocati a
bordo di due aerei che volavano in direzioni
opposte rispetto al pianeta: l'aereo che
viaggia in direzione est somma la sua velocità
a quella di rotazione della terra, dunque
viaggia più velocemente di quello che viaggia
in direzione ovest, e quindi deve segnare un
tempo inferiore di alcune frazioni di secondo.
Un'altra verifica sperimentale fu invece
eseguita nel 1966 in un acceleratore di
particelle al CERN a Ginevra.iI questo caso i
viaggiatori erano muoni, fatti correre per
mezzo di campi magnetici lungo percorsi
circolari con velocità pari al 99,6% della
velocità della luce. Si trovò che al loro ritorno
i muoni erano più giovani, perché erano
decaduti più lentamente dei muoni in quiete
nel laboratorio
L'interpretazione di questi risultati non è elementare, richiede
nozioni sia sulla relatività speciale, sia sulla relatività generale.
:
Relatività speciale: la
dilatazione temporale è
dovuta alla velocità relativa.
Relatività generale:. La differenza di
potenziale gravitazionale terrestre
introduce inoltre un ritardo tra gli
orologi a bordo e l'orologio a terra.
Per il principio di equivalenza, tutti i
sistemi di riferimento accelerati sono
fisicamente equivalenti a un campo
gravitazionale della stessa forza.
Secondo la relatività generale, la dilatazione
gravitazionale del tempo è collegata
all'esistenza di un sistema di riferimento
non inerziale
..
Un caso particolare, ma di attualità, sono i
sistemi di navigazione satellitare come il Global
Position System (GPS), che è fondato su
misure d’intervallo di tempo tra osservatori a
terra ed orologi atomici su satelliti.
Affinché il GPS funzioni in modo corretto è
necessario tener conto degli effetti relativistici
Illustriamo il fenomeno con un esempio, spiegando i risultati in modo dettagliato ,
anche se in alcuni punti semplificato.
O e O’ sono due gemelli
• O rimane a terra mentre O’ si
muove con velocità
4c /5 e raggiunge una stella
lontana 8 anni luce (8c) dalla terra
(b = 4/5 g= 5/3)
La durata del viaggio di andata è pari a 8c/v =
10 anni (tempo improprio) rispetto ad O e
10/ g = 6 anni (tempo proprio ) rispetto ad O’
•
Se O’ ritorna sulla terra con la
stessa velocità, la durata
complessiva del viaggio dovrebbe
essere pari a 20 anni rispetto ad O
e 12 anni rispetto ad O’.
•
O si ritrova, pertanto, di 8 anni più
vecchio di O’.
• Per il Principio di Relatività
si può considerare O’ fermo
ed O, assieme alla terra, in
moto rispetto ad O’.
• Quando O’ incontra la stella
sono passati 6 anni. Nel
frattempo O si è spostato di
4,8c , ma rispetto agli
orologi del riferimento di
O’, l’orologio di O ritarda e
misura 6*3/5 = 3,6 anni.
• Quando i due gemelli si
ritroveranno, O dovrebbe
essere invecchiato solo di
7,2 anni, quindi risulterebbe
più giovane di O’.
• Come si risolve il
paradosso?
PROBLEMA
•
•
•
•
I due gemelli Oreste e Omero hanno accettato di partecipare ad un
esperimento per verificare l’EFFETTO GEMELLI:
<<Se O’ fa un lungo viaggio di andata e ritorno , a velocità confrontabile con quella
della luce, mentre il suo gemello O resta a terra, al suo ritorno trova il gemello
molto più invecchiato rispetto a lui.
Il risultato non contraddice il Principio di Relatività in quanto i sistemi di riferimento
di O e O’ non sono equivalenti: O’ , nel momento che inverte il suo moto , non è più
un osservatore inerziale.>>
Oreste rimane a terra ( riferimento Ω) mentre Omero intraprende un viaggio con
un’ astronave che si muove con velocità 4c/5 , raggiunge una stella lontana dalla
terra 8 anni –luce (8c) e torna subito indietro ripercorrendo la stessa distanza con
la stessa velocità.
• L’orologio di Oreste è sincronizzato con quelli della terra .
• I due gemelli sincronizzano i loro orologi in modo che segnino il valore 0
nell’istante in cui Omero inizia il suo viaggio
(Evento A )
Continua
a) Dal punto di vista di Oreste e secondo le leggi della Relatività speciale,
dopo quanti anni Omero tornerà sulla terra? di quanto sarà invecchiato ?
Ciascuno di loro fa da
origine al proprio
riferimento
spaziale,e saranno indicati
con O e O’
rispettivamente
• Su ciascuno dei
riferimenti spaziali sono
posti sistemi di orologi
tra loro sincronizzati.
• Orologi sincronizzati in
un riferimento non lo
sono nell’altro se
ciascun riferimento si
muove rispetto all’altro
VIAGGIO DI ANDATA
DATI:
Distanza OS a riposo = 8c
Velocità relativa tra i due riferimenti
4/5 c
EVENTI
Punto di vista di ORESTE
Punto di vista di Omero
Misura della distanza temporale: tra i due eventi
S
x
Ricordiamo che un osservatore ῼ
può misurare nel suo riferimento,
la distanza temporale tra due
eventi
con un solo orologio solo se gli
eventi hanno la stessa coordinata
spaziale di ῼ
con due orologi se avvengono in
luoghi diversi; in quest’ultimo caso i
due orologi devono essere tra loro
sincronizzati, pertanto devono
essere solidali con ῼ,
ORESTE
• O è in quiete rispetto alla retta OS, quindi
può calcolare tranquillamente la distanza
temporale dividendo 8c/v = 10 anni
• Può anche leggere sul suo orologio
l’istante di partenza e far leggere ad un
suo collaboratore, sull’orologio di S ,
l’orario di arrivo. L’orologio di S segnerà 10
anni.
• L’orologio di O’ invece segna 6 anni
6
10
8c
10
QUALI SARANNO LE MISURE
EFFETTUATE DA OMERO?
• I risultati essere coerenti con le leggi della
relatività ristretta
Legge di dilatazione del tempo
To = T/ g
Tempo improprio = g tempo proprio
tempo proprio = 10 * 3/5 = 6
Infatti
il tempo proprio è quello misurato con
un solo orologio, quindi da O’, il quale
assiste ai due eventi sempre nello
stesso luogo
Il tempo improprio è quello misurato da
O, con due orologi, in quanto i due
eventi avvengono, per lui, ad una
distanza di 8c.
Contrazione delle lunghezze L= Lo/ g
Lunghezza propria= g lunghezza impropria
lunghezza impropria = 8c *3/5 =4,8 c
in quanto il segmento OS è in moto
rispetto a O’
Ovvero
la misura del tempo proprio permette ad
O’e di misurare la lunghezza del
segmento OS nel suo riferimento
6* v= 6* 4/5 c= 4,8 c
I risultati sono in accordo con le trasformazioni di
Lorentz
Punto di vista di Oreste
Quando O’ giunge in S, gli orologi del riferimento di O
segnano tutti 10 anni.
L’orologio di S rileva che invece l’orologio di O’ segna 6
anni.
Oreste conclude che
• L’orologio di Omero ritarda rispetto ai suoi
• Omero è invecchiato solo di 6 anni , mentre sulla terra
sono passati 10 anni
• E’ verificata la legge di dilatazione del tempo
Punto di vista di Omero
• Di quanto si è spostato • Verifica che la distanza
O, rispetto ad O’, e in
spazio-temporale tra i
quanto tempo, secondo
due eventi
il riferimento Ω1?
A{O’≡O} e B{ O’ ≡S}
è la stessa in entrambi
i riferimenti
OMERO
O’ può usare solo il suo orologio
Nell’istante in cui sta affiancato con O il suo orologio segna 0
Nell’istante in cui è affiancato con S l suo orologio segna 6 anni
Nel frattempo O ha percorso una distanza pari a
6*v= 6*4/5 c = 4,8 c
Quale valore segna l’orologio di O?
S
O’
6
O
4,8c
?
10
Legge di dilatazione del tempo
tempo improprio = g tempo proprio
tempo proprio = 6* 3/5 = 3,6
Infatti
il tempo proprio è quello misurato
con un solo orologio, quindi da O, il
quale assiste ai due eventi sempre nello
stesso luogo
Il tempo improprio è quello misurato
da O’, con due orologi, in quanto i due
eventi avvengono, per lui, ad una
distanza di 4,8c.
Contrazione delle lunghezze
lunghezza propria= g lunghezza impropria
lunghezza impropria = 4,8c *3/5 =2,88 c
in quanto il segmento O’S’ è in moto
rispetto a O
Ovvero
La misura del tempo proprio permette
ad O di misurare anche la lunghezza del
segmento O’S’ nel suo riferimento
3,6* v= 3,6* 4/5 c= 2,88 c
S
10
6
O’
4,8c
S’
O
Nell’istante in cui l’orologio di O’
segna 6 anni, O’ è affiancato ad S il
cui orologio segna 10 anni.
Se vuol sapere dov’è O e di quanto
è invecchiato ,ha bisogno di un altro
orologio.
Nel riferimento di O’ possono
esserci infiniti orologi, tra loro
sincronizzati ,che segnano 6 anni.
Tra questi ce ne sarà uno, S’, che
si trova affiancato ad O.
6
S’ si trova a distanza -4,8 c da O’ e
rileva che l’orologio di O segna 3,6 anni
3,6
x
.
Secondo il riferimento Ω1 gli orologi di S e di O non sono
sincronizzati
• Quale orologio anticipa e quale ritarda? Qual
è la differenza fra i tempi segnati dai due
orologi ?
Relatività della Simultaneità
• L’evento B { O’ incontra S}
è simultaneo dell’ evento
{ l’orologio di O in O segna 10}
nel riferimento di O
invece
è simultaneo dell’evento
{l’orologio di O, a distanza -4,8 c , segna 3,6}
nel riferimento di O’
In relazione agli eventi A e B
• Disegna, in un riferimento xOt,
– la linea universo e la linea di simultaneità di O’
– la linea universo e la linea di simultaneità di O
– la linea universo e la linea di simultaneità di S
In relazione all’evento B calcola
• le coordinate del punto So in cui la linea di simultaneità di S incontra la
linea universo di O
• le coordinate del punto S1 in cui la linea di simultaneità di O’ incontra la
linea universo di O
• Commenta i risultati alla luce della relatività della simultaneità
Linea universo e linea di simultaneità
• Nel riferimento xOt, avendo posto c=1,
solidale con O, la linea universo di O è la
retta x=0
• La linea universo di S è la retta x=8
• Le rette di simultaneità sono rette parallele
all’ asse x (t=costante)
Linea universo e linea di simultaneità
• Nel riferimento xOt, avendo posto c=1,
solidale con O, la linea universo di O’ è la
retta t=x/v
• La linea universo di un raggio di luce che parte
da O è la retta t=x (linea-luce)
• Le rette di simultaneità di O’ sono rette
simmetriche rispetto alle corrispondenti
linee-luce , cioè aventi coefficiente angolare
uguale a v ( t’= costante)
Diagramma spazio-temporale ANDATA (c=1)
Confronto tra gli eventi
B’ ≡B→ incontro tra Omero e la Stella
A’→incontro tra Oreste e l’orologio S’
Punto di vista di Omero
• Quando O’ giunge in S, il suo orologio segna 6,
l’orologio di S segna 10 e l’orologio di O segna 3,6
( come gli comunica S’)
Omero conclude che
 L’orologio di O ritarda rispetto ai suoi
 O è invecchiato solo di 3,6 anni , mentre per lui
sono passati 6 anni
 Gli orologi del riferimento di O sono tra loro
desincronizzati di 6,4 anni . Quello di S è in
anticipo e quello di O in ritardo
CHI HA RAGIONE?
• Se il moto relativo, di
O’ rispetto ad O e
viceversa, continua in
modo rettilineo e
uniforme, i due
riferimenti sono
equivalenti per il
Principio di relatività
• Le misure effettuate in
ciascun riferimento
sono coerenti con le
leggi della Relatività
Ristretta
Che succede , però se Omero fa una virata e
torna indietro?
• Non appena inizia la virata, O’ si trasferisce in
un riferimento che si allontana dalla terra che
utilizza un altro sistema di orologi!
In questo nuovo riferimento Omero non sarà
indicato con O’, bensì con O”
Che succede , però se Omero fa una
virata e torna indietro?
d)Appena raggiunge S , O’ inverte il suo moto
istantaneamente.
Un’altra serie di stazioni spaziali affianca l’astronave di O’
e costituisce un riferimento spaziale ad essa solidale
che indicheremo con Ω2.
• Disegna nel piano xOt, In relazione all’ evento B la
nuova linea-universo e la nuova linea di simultaneità di
O’e determina i punti R e S2 in cui ciascuna di esse
incontra la linea –universo di O.
• Cosa rappresentano le coordinate di ciascuno di
questi punti?
Omero diventa O”
• Cambia la sua linea universo, ma • La nuova linea di simultaneità,
anche la sua linea di
di O”, incontra la linea universo
simultaneità!
di O nel punto S2 di ordinata
16,4 .
• Linea universo di O”
t-10= - (x-8)/v
• Nel periodo di tempo ,
• Linea di simultaneità di O”
trascurabile per Omero,
t-10= -v(x-8)
dell’inversione di marcia, sulla
• La nuova linea universo incontra
terra sono passati 16,4-3,6 =
la linea universo di O nel punto
12,8 anni che, aggiunti ai 7,2
di ordinata 20 ( evento R:
anni , danno come risultato
Omero ritorna da Oreste)
20.
Diagramma spazio temporale-RITORNO (c=1)
RITORNO
• Non appena inizia la virata,
Omero si trasferisce in un
riferimento per cui gli orologi
della terra sono in anticipo di
6,4 anni rispetto a quelli della
stella!
• Tutti gli eventi appartenenti al
segmento S1S2, prima della
virata erano al di sopra della
retta di simultaneità di O’, cioè
nel futuro di O’. Dopo la virata
passano al di sotto della retta
di simultaneità, cioè nel
passato
• Questo fatto è sorprendente
ma non paradossale.
• I suddetti eventi dovevano
ancora essere registrati dagli
orologi del primo riferimento
di O’ ( quello del viaggio di
andata) mentre erano stati già
registrati dagli orologi del
riferimento di O”, quello su cui
Omero si trasferisce nel
viaggio di ritorno.
Dal punto di vista di Omero, di quanto è invecchiato Oreste
quando si ricongiungono?
Quando si ricongiungono i due gemelli
concordano sul fatto che:
Oreste è invecchiato di 20 anni e Omero è
invecchiato di 12 anni.
PROBLEMA. L’EFFETTO GEMELLI
Adattamento da P.A. Tipler –Invito alla Fisica 3
Fisica dello Spazio-Tempo Zanichelli
E.F.Taylor-J.A.Wheeler –
Obiettivi
 Presentare una soluzione semplificata del “Paradosso dei Gemelli”
 Utilizzare in modo consapevole le trasformazioni di Lorentz e i
diagrammi spazio-temporali
 Riconoscere il carattere relativo della simultaneità
 Utilizzare il concetto di tempo proprio, distanza propria, intervallo
Spazio-temporale
I due gemelli Oreste e Omero hanno accettato di partecipare ad un
esperimento per verificare l’EFFETTO GEMELLI:
<<Se O’ fa un lungo viaggio di andata e ritorno , a velocità confrontabile
con quella della luce, mentre il suo gemello O resta a terra, al suo ritorno
trova il gemello molto più invecchiato rispetto a lui.
Il risultato non contraddice il Principio di Relatività in quanto i sistemi di
riferimento di O e O’ non sono equivalenti: O’ , nel momento che inverte il
suo moto , non è più un osservatore inerziale.>>
Oreste rimane a terra ( riferimento Ω) mentre Omero intraprende un viaggio
4
con un’ astronave che si muove con velocità
𝑐, raggiunge una stella
5
lontana dalla terra 8 anni –luce (8c) e torna subito indietro ripercorrendo la
stessa distanza con la stessa velocità.
L’orologio di Oreste è sincronizzato con quelli della terra .
I due gemelli sincronizzano i loro orologi in modo che segnino il valore 0
nell’istante in cui Omero inizia il suo viaggio
(Evento A )
a) Dal punto di vista di Oreste e secondo le leggi della Relatività speciale,
dopo quanti anni Omero tornerà sulla terra? di quanto sarà
invecchiato?
b) Una serie di stazioni di guardia affianca l’astronave di Omero e costituisce
un riferimento spaziale ,ad essa solidale , che indicheremo con Ω1.
I due riferimenti hanno l’origine in comune, nel punto in cui Omero è
partito.
Le stazioni sono munite di orologi tra loro sincronizzati.
Indicheremo Oreste,Omero e la stella con O, O’ , S rispettivamente.
Quando è affiancato a S, O’confronta il tempo del suo orologio con quello
di S.
Una delle stazioni spaziali, S’, registra il passaggio della Terra e confronta il tempo
del suo orologio con quello dell’orologio di O.
Di quanto si è spostato O, rispetto ad O’, e in quanto tempo, secondo il riferimento Ω 1?
Verifica che la distanza spazio-temporale tra i due eventi
A{O’≡O} e B{ O’ ≡S}
è la stessa in entrambi i riferimenti
Secondo il riferimento Ω1 gli orologi di S e di O non sono sincronizzati.
Quale orologio anticipa e quale ritarda? Qual è la differenza fra i tempi segnati
dai due orologi?
c) In relazione agli eventi A e B
Disegna, in un riferimento xOt,
la linea universo e la linea di simultaneità di O’
la linea universo e la linea di simultaneità di O
la linea universo e la linea di simultaneità di S
In relazione all’evento B calcola
le coordinate del punto So in cui la linea di simultaneità di S incontra la linea universo di
O
le coordinate del punto S1 in cui la linea di simultaneità di O’ incontra la linea universo di
O
Commenta i risultati alla luce della relatività della simultaneità
d)Appena raggiunge S , O’ inverte il suo moto istantaneamente.
Un’altra serie di stazioni spaziali affianca l’astronave di O’ e costituisce un
riferimento spaziale ad essa solidale che indicheremo con Ω2.
Disegna nel piano xOt, In relazione all’evento B
la nuova linea-universo e la nuova linea di simultaneità di
O’e determina i punti R e S2 in cui ciascuna di esse incontra la linea –universo
di O.
Cosa rappresentano le coordinate di ciascuno di questi punti?
Dal punto di vista di Omero, di quanto è invecchiato Oreste quando si
ricongiungono?