Matematica professionale

AFOL Sud Milano – Rozzano
Matematica
professionale
Dispense a cura delle insegnanti
A. Vaghi e G. Lorusso
Vol. 1
2
INDICE
0 INTRODUZIONE ................................................................................................................................ 5
0.1 UN PO’ DI STORIA .............................................................................................................................. 5
0.2 SISTEMA DI NUMERAZIONE DECIMALE E POSIZIONALE ................................................................................. 5
0.3 LEGGERE I NUMERI ............................................................................................................................. 5
0.4 NUMERI DECIMALI ............................................................................................................................. 6
0.5 CONFRONTO DI NUMERI DECIMALI ......................................................................................................... 6
0.6 APPROSSIMAZIONE ............................................................................................................................ 7
0.6.1 COS’È L’APPROSSIMAZIONE? ........................................................................................................................ 7
0.6.2 ARROTONDAMENTO ................................................................................................................................... 7
0.6.3 TRONCAMENTO ......................................................................................................................................... 8
1 I NUMERI NATURALI ......................................................................................................................... 9
1.1 COSA SONO I NUMERI NATURALI? .......................................................................................................... 9
1.2 LE OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI................................................................................................ 10
1.2.1 ADDIZIONE E SUE PROPRIETÀ...................................................................................................................... 10
1.2.2 SOTTRAZIONE E SUE PRORPIETÀ .................................................................................................................. 10
1.2.3 MOLTIPLICAZIONE E SUE PROPRIETÀ ............................................................................................................ 10
1.2.4 DIVISIONE E SUE PROPRIETÀ ....................................................................................................................... 11
1.2.5 ELEVAMENTO A POTENZA E SUE PROPRIETÀ .................................................................................................. 12
1.3 LE ESPRESSIONI ARITMETICHE .............................................................................................................. 12
1.4 MULTIPLI E DIVISORI ......................................................................................................................... 13
1.4.1 CRITERI DI DIVISIBILITÀ .............................................................................................................................. 13
1.4.2 NUMERI PRIMI......................................................................................................................................... 13
1.4.3 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI .............................................................................................................. 13
1.4.4 MASSIMO COMUN DIVISORE E MINIMO COMUNE MULTIPLO............................................................................ 14
2 I NUMERI RAZIONALI ...................................................................................................................... 16
2.1 LE FRAZIONI .................................................................................................................................... 16
2.1.1 FRAZIONI COME OPERATORI ....................................................................................................................... 16
2.1.2 FRAZIONI EQUIVALENTI ............................................................................................................................. 17
2.1.3 PROPRIETÀ INVARIANTIVA DELLE FRAZIONI ................................................................................................... 18
2.1.3.1 Semplificazione e riduzione ai minimi termini ................................................................................. 19
2.1.3.2 Riduzione al minimo comun denominatore ..................................................................................... 19
2.1.3.3 Confronto tra frazioni ....................................................................................................................... 19
2.2 LE OPERAZIONI CON LE FRAZIONI .......................................................................................................... 21
2.2.1 ADDIZIONE E SOTTRAZIONE ........................................................................................................................ 21
2.2.2 MOLTIPLICAZIONE .................................................................................................................................... 21
2.2.3 DIVISIONE ............................................................................................................................................... 22
2.2.4 ELEVAMENTO A POTENZA .......................................................................................................................... 22
2.3 LE FRAZIONI E I NUMERI DECIMALI ........................................................................................................ 22
2.3.1 TRASFORMAZIONE DA FRAZIONE A NUMERO DECIMALE .................................................................................. 22
2.3.2 TRASFORMAZIONE DA NUMERO DECIMALE A FRAZIONE .................................................................................. 23
2.4 ESPRESSIONI ARITMETICHE ................................................................................................................. 24
3 I NUMERI RELATIVI ......................................................................................................................... 25
3
3.1 COSA SONO I NUMERI RELATIVI? .......................................................................................................... 25
3.1.1 RETTA ORIENTATA .................................................................................................................................... 26
3.1.2 VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO INTERO .................................................................................................. 26
3.1.3 NUMERI CONCORDI, DISCORDI E OPPOSTI ..................................................................................................... 26
3.1.4 CONFRONTO TRA NUMERI RELATIVI ............................................................................................................. 27
3.2 OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI .................................................................................................... 28
3.2.1 SCIOGLIMENTO DELLE PARENTESI ................................................................................................................ 28
3.2.2 OPERAZIONI SULLA RETTA ORIENTATA .......................................................................................................... 28
3.2.3 ADDIZIONE DI NUMERI RELATIVI.................................................................................................................. 28
3.2.3.1 Primo caso ........................................................................................................................................ 28
3.2.3.2 Secondo caso .................................................................................................................................... 29
3.2.3.3 Procedura ......................................................................................................................................... 29
3.2.4 SOTTRAZIONE .......................................................................................................................................... 30
3.2.5 MOLTIPLICAZIONE .................................................................................................................................... 30
3.2.6 DIVISIONE ............................................................................................................................................... 30
3.2.7 ELEVAMENTO A POTENZA .......................................................................................................................... 30
3.2.8 ESPRESSIONI ARITMETICHE......................................................................................................................... 31
4 LE GRANDEZZE E LE UNITÀ DI MISURA............................................................................................. 33
4.1 CHE COS’È UNA GRANDEZZA? .............................................................................................................. 33
4.2 UNITÀ DI MISURA ............................................................................................................................ 33
4.2.1 PRINCIPALI GRANDEZZE E UNITÀ DI MISURA .................................................................................................. 34
4.2.2 EQUIVALENZE .......................................................................................................................................... 34
4.2.2.1 Lunghezza ......................................................................................................................................... 35
4.2.2.2 Peso o massa .................................................................................................................................... 35
4.2.2.3 Capacità ............................................................................................................................................ 36
4.2.2.4 Tempo............................................................................................................................................... 36
4.2.2.5 Intensità di corrente, tensione e resistenza ..................................................................................... 37
4.2.2.6 Memoria informatica ....................................................................................................................... 38
4.3 RAPPORTI E PROPORZIONI .................................................................................................................. 39
4.3.1 PROPRIETÀ DELLE PROPORZIONI.................................................................................................................. 42
4.3.2 CALCOLO DEL TERMINE INCOGNITO ............................................................................................................. 44
4.3.3 PERCENTUALI .......................................................................................................................................... 44
4.3.3.1 Calcolo del tasso percentuale........................................................................................................... 45
4.3.3.2 Calcolo del valore della percentuale ................................................................................................ 46
4.3.3.3 Calcolo del totale .............................................................................................................................. 46
4.3.3.4 Lo sconto .......................................................................................................................................... 47
4.3.3.5 L’IVA .................................................................................................................................................. 47
4.3.3.6 L’interesse ........................................................................................................................................ 48
4.4 GRANDEZZE DIRETTAMENTE PROPORZIONALI .......................................................................................... 49
4.4.1 PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE DIRETTO ......................................................................................................... 50
4.4.2 GRAFICO CON EXCEL ................................................................................................................................. 51
4.5 GRANDEZZE INVERSAMENTE PROPORZIONALI .......................................................................................... 55
4.5.1 PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE INVERSO ......................................................................................................... 56
4.5.2 GRAFICO CON EXCEL ................................................................................................................................. 57
4
0 Introduzione
0.1 Un po’ di storia
Una delle necessità fondamentali dell’uomo fin dall’antichità è stata quella di contare. Per
poter effettuare degli scambi tra di loro, gli uomini dovettero definire l’idea di “quantità”. Ad
esempio “quante uova mi dai in cambio di una mela?”.
Se osserviamo il disegno di seguito riportato, sono rappresentati tre insiemi. Questi insiemi
contengono le stesse quantità. La medesima quantità rappresentata nei tre insiemi, viene
espressa dal concetto di “particolare numero”; oggi per rappresentare quel numero noi
utilizziamo il simbolo “3”, mentre per rappresentare l’insieme vuoto, noi utilizziamo il
simbolo “0”.
Fin dall’antichità nacque la necessità di rappresentare numeri sempre più grandi, ma ci si rese
conto che non si poteva scegliere un simbolo diverso per ogni numero; sorsero pertanto
diversi sistemi di numerazione.
Un sistema di numerazione è formato da simboli che rappresentano alcuni numeri e regole
per legare questi simboli in modo da rappresentare tutti i numeri.
0.2 Sistema di numerazione decimale e posizionale
Attualmente tutte le nazioni utilizzano un sistema di numerazione decimale, con i seguenti
simboli che chiamiamo cifre:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9.
Il sistema di numerazione utilizzato è posizionale: le cifre assumono un significato diverso a
seconda della posizione in cui si trovano. La cifra più a destra indica le unità. Ogni altra cifra
vale dieci volte di più di quella alla sua destra.
23
10. 238
342
3.762
in questo caso il simbolo 3 rappresenta le unità
in questo caso il simbolo 3 rappresenta le decine
in questo caso il simbolo 3 rappresenta le centinaia
in questo caso il simbolo 3 rappresenta le migliaia
0.3 Leggere i numeri
Per facilitare la lettura di un numero, le cifre, partendo da destra, vengono raggruppate in
gruppi di tre, inserendo dei puntini di separazione.
5
Ad esempio per leggere il numero 9832176, si inseriscono i puntini di separazione partendo
da destra 9.832.176, e poi si ricorda che
Milioni
9
Centinaia
di migliaia
8
Decine
di migliaia
3
Migliaia
Centinaia Decine
Unità
2
1
6
7
Per cui si legge: “novemilioni ottocentotrentaduemila centosettantasei”.
0.4 Numeri decimali
I numeri decimali sono i numeri che servono per misurare. Sono i numeri con la virgola.
Dato il numero 23,16 si possono distinguere due parti:


quella a sinistra della virgola: la parte intera
quella a destra della virgola: la parte decimale
Il numero
2.736,25
si legge “duemilasettecentoquarantacinque virgola venticinque”
e ciascuna cifra rappresenta
Migliaia
2
Centinaia
7
Decine
3
Unità
6
Decimi
2
Centesimi
5
Tale numero appare così sulla calcolatrice; dopo il 7
abbiamo un puntino in alto, che separa le centinaia
dalle migliaia, mentre dopo il 6 un puntino in basso che
separa le unità dai decimi.
0.5 Confronto di numeri decimali
Due numeri decimali a e b sono uguali se hanno uguale la parte intera e la parte
decimale.
Se due numeri decimali hanno la parte intera diversa è maggiore il numero con la
parte intera maggiore.
2, 1 > 1,9
Se due numeri decimali hanno la parte intera uguale, si confronta la prima cifra
decimale. Sarà maggiore il numero con la prima cifra decimale più grande.
3,75 > 3,64
6
Se anche la prima cifra decimale è uguale, si confronta la seconda cifra decimale.
Sarà maggiore il numero con la seconda cifra decimale maggiore.
4,65 > 4,64
In caso anche la seconda cifra decimale è uguale, si confronta la terza cifra decimale
e così via…
Un numero non cambia, se aggiungiamo o cancelliamo zeri a destra dell’ultima cifra
decimale. L’aggiunta degli zeri consente di rendere confrontabili due numeri decimali
che hanno un numero di cifre decimali differenti.
3,0 = 3
5,050 = 5,05
0,71 = 0,710
0,8 ≠ 8 ≠ 0,08.
7,1 ≠ 0,71
20,3 ≠ 20,03
23 = 23,00
Videotutorial confronto tra numeri
0.6 Approssimazione
0.6.1 Cos’è l’approssimazione?
Se chiamo il vetraio perché sostituisca il vetro rotto di una finestra, mi aspetto di vederlo
prendere le misure con un semplice metro snodato, e non certo con sofisticate
apparecchiature laser capaci di rivelare il millesimo di millimetro... Tanta ricerca di precisione
sarebbe inutile.
La misura del vetro da sostituire, è approssimata, ma l’errore commesso può essere
considerato trascurabile rispetto al costo dell’utilizzo di un metodo di misurazione più
sofisticato.
La misura del vetro da sostituire, è arrotondata al millimetro, ossia alla terza cifra decimale.
0.6.2 Arrotondamento
Dato un numero decimale, si parla di arrotondamento alle n-esima cifra decimale,
quando le cifre successive alla cifra di posizione n possono modificare il valore della cifra
decimale di posizione n.
Se la cifra decimale dopo quella di posizione n è ≥5, si arrotonda per eccesso: si aggiunge
una cifra decimale a quella di posizione n
Se la cifra decimale dopo quella di posizione n è < 5, si arrotonda per difetto, lasciando la
cifra di posizione n inalterata.
Arrotondare alla terza cifra decimale il seguente numero: 7,5794.
La terza cifra decimale è 9, quindi considero la quarta cifra decimale.
4 < 5 eseguo l’arrotondamento per difetto 7,579.
Arrotondare alla seconda cifra decimale il numero: 7,5464.
7
La seconda cifra decimale è 4, quindi considero la terza cifra decimale.
6 > 5 eseguo l’arrotondamento per eccesso 7,55.
Videotutorial arrotondamento
0.6.3 Troncamento
Dato un numero decimale, si parla di troncamento quando le cifre successive vengono
eliminate senza neppure guardarle.
Troncare alla terza cifra decimale il seguente numero: 7,5767.
La terza cifra decimale è 6, quindi il numero viene troncato così: 7,576.
Troncare alla seconda cifra decimale il seguente numero: 17,4352.
La seconda cifra decimale è 3, quindi il numero viene troncato così: 17,43.
8
1 I numeri naturali
1.1 Cosa sono i numeri naturali?
I numeri naturali nascono dall’esigenza di contare gli oggetti.
Diciamo che ci sono tre mele, due mucche, ecc.
Anche per indicare l’assenza di oggetti utilizziamo un numero: lo zero.
I numeri che usiamo per contare si dicono numeri naturali.
I primi dieci numeri naturali sono:
0,
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9
Si dicono cifre e sono i simboli che si usano per indicare tutti gli altri numeri.
L’insieme di tutti i numeri naturali si indica con il simbolo N.
L’insieme dei numeri naturali privato dello zero si indica con N0.
N è un insieme infinito?....................................................................................................................................
Ogni numero naturale ha un successivo? ................................................................................................
Ogni numero naturale ha un precedente? ..............................................................................................
Presi due numeri naturali a caso, è sempre possibile determinare un terzo numero
compreso tra questi due? ...............................................................................................................................
Presi due numeri naturali a caso, è sempre possibile determinare qual è il più grande e
quale il più piccolo? ..........................................................................................................................................
L’insieme N può essere rappresentato geometricamente con una semiretta orientata.
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
…
9
1.2 Le operazioni con i numeri naturali
1.2.1 Addizione e sue proprietà
Si dice somma di due numeri naturali a e b (addendi) il numero che si ottiene contando di
seguito ad a tante unità quante ne indica b.
a+b=s
Commutativa
3 + 7 = ………
7 + 3 = ………
Associativa
3 + 5 + 7 = ………
(3 + 5) + 7 = ………
3 + (5 + 7) = ………
Elemento neutro
3 + 0 = ………
0 + 3 = ………
1.2.2 Sottrazione e sue prorpietà
Si dice differenza di due numeri naturali a e b (minuendo e sottraendo) il numero che
addizionato a b dà come somma a.
a-b=d
Invariantiva
10 – 2 = ………
(10 + 5) – (2 + 5) = ………
(10 – 1) – (2 – 1) = ………
1.2.3 Moltiplicazione e sue proprietà
Si dice prodotto di due numeri naturali a e b (fattori) il numero che si ottiene
addizionando tanti addendi uguali ad a quante sono le unità di b.
a · b = a + a + a + a + … (b volte)
10
Commutativa
6 · 8 = ………
8 · 6 = ………
Associativa
5 · 4 · 3 = ………
(5 · 4) · 3 = ………
5 · (4 · 3) = ………
Distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione
2 · (3 + 4) = ………
2 · 3 + 2 · 4 = ………
Elemento neutro
13 · 1 = ………
1 · 13 = ………
Legge di annullamento del prodotto
0 · 9 = ………
5 · 0 = ………
1.2.4 Divisione e sue proprietà
Si dice quoziente di due numeri naturali a e b (dividendo e divisore) il numero naturale q,
se esiste, che moltiplicato per b dà come risultato a.
a:b=q
se
q·b=a
Invariantiva
30 : 6 = ………
(30 · 2) : (6 · 2) = ………
(30 : 3) : (6 : 3) = ………
Si può fare 0 : 6 ? Perché?
…………………………………………………………………
Si può fare 9 : 0 ? Perché?
…………………………………………………………………
Si può fare 0 : 0 ? Perché?
…………………………………………………………………
11
1.2.5 Elevamento a potenza e sue proprietà
Si dice potenza di base a ed esponente n il prodotto di n fattori uguali ad a.
an = a · a · a · … (n volte)
Prodotto di potenze con la stessa base
a n  a m  a nm
Prodotto di potenze con lo stesso esponente
n
n
n
a  b  a  b
Quoziente fra potenze con la stessa base
n
m
nm
a :a  a
Quoziente fra potenze con lo stesso esponente
n
n
n
a : b  a : b
Elevamento ad esponente 1
a1  a
Elevamento ad esponente 0
a0  1
1 elevato a qualsiasi esponente
n
1 1
1 elevato a qualsiasi esponente
a 
n m
 a nm
1.3 Le espressioni aritmetiche
Una espressione aritmetica è una sequenza di operazioni aritmetiche: il suo valore si
calcola eseguendo le operazioni in essa contenute.
Le operazioni vanno eseguite rispettando un ordine preciso:
Le potenze;
Le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui compaiono;
12
Le addizioni e le sottrazioni nell’ordine in cui compaiono.
L’ordine di precedenza viene alterato quando l’espressione contiene delle parentesi, perché le
operazioni nelle parentesi hanno la precedenza, però si devono eseguire seguendo l’ordine
stabilito.
Videotutorial espressioni con le quattro operazioni (https://youtu.be/1QsMEn5Iuwo)
Videotutorial espressioni con le quattro operazioni e potenze
(https://youtu.be/Hwu1JYrFs38)
Videotutorial espressioni con le proprietà delle potenze (https://youtu.be/Zi2OjUIMvvc)
1.4 Multipli e divisori
Se la divisione fra due numeri naturali a e b ha quoziente q e resto zero, cioè se
a:b  q
a è divisibile per b
si dice che
a è multiplo di b secondo q
b è divisore di a
Ad esempio 20 : 5 = 4, quindi
…… è divisibile per…….
…… è multiplo di ….. secondo …… …… è divisore di ……
1.4.1 Criteri di divisibilità
Un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari.
Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3.
Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono “00” oppure formano un
multiplo di 4.
Un numero è divisibile per 5 se l’ultima cifra è 0 oppure 5.
Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e la
somma delle cifre di posto dispari è zero o un multiplo di 11.
1.4.2 Numeri primi
Si dice numero primo ogni numero naturale che ha per divisori solo 1 e se stesso.
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43...
Nota bene: 1 non è un numero primo. Perché? ………
1.4.3 Scomposizione in fattori primi
Ogni numero naturale può essere scritto come prodotto di fattori primi.
Ad esempio:
13
90
18
6
2
1
5
3
3
2
90 = 2 · 32 · 5
Videotutorial scomposizione in fattori primi (https://youtu.be/eUMy4vxZp0Q)
1.4.4 Massimo comun divisore e minimo comune multiplo
Si dice massimo comun divisore (e si indica con M.C.D.) tra due o più numeri il maggiore
dei loro divisori comuni.
Ad esempio:
M.C.D. (15, 18) = ?
divisori di 15 = {1, 3, 5, 15}
divisori di 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
divisori comuni = {1, 3}
quindi il M.C.D. (15, 18) = 3
Per calcolare il massimo comun divisore tra due o più numeri si esegue un algoritmo (cioè
una serie di calcoli) che coinvolge la scomposizione in fattori primi.
Si esegue la scomposizione in fattori primi di tutti i numeri;
Si moltiplicano i fattori comuni, presi una sola volta, con l’esponente più basso con cui
compaiono.
Videotutorial calcolo M.C.D. (https://youtu.be/QvGHQHqKPTQ)
Si dice minimo comune multiplo (e si indica con m.c.m.) tra due o più numeri il minore
dei loro multipli comuni.
Ad esempio:
m.c.m. (8, 6) = ?
multipli di 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …}
multipli di 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,…}
è un insieme infinito
è un insieme infinito
multipli comuni = {24, 48, …}
è un insieme infinito
14
quindi il m.c.m. (8, 6) = 24
Per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri si esegue un algoritmo
(cioè una serie di calcoli) che coinvolge la scomposizione in fattori primi.
Si esegue la scomposizione in fattori primi di tutti i numeri;
Si moltiplicano i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con l’esponente
più alto con cui compaiono.
Videotutorial calcolo mcm (https://youtu.be/eDA2q-5L-nI)
15
2 I numeri razionali
2.1 Le frazioni
Dati due numeri naturali a e b, con b ¹ 0 si dice frazione il simbolo
quoziente della divisione tra a e b.
a
a: b=
b
a
che rappresenta il
b
12
rappresenta il quoziente della divisione 12 : 5.
5
Il numero al di sopra della linea di frazione si dice numeratore.
Esempi: ………………………………………………
Ad esempio la frazione
Il numero al di sotto della linea di frazione si dice denominatore, e deve essere sempre
diverso da zero.
Esempi: ………………………………………………
Le frazioni con numeratore 1 si dicono unità frazionarie.
Esempi: ………………………………………………
Le frazioni che hanno come denominatore 10 o una potenza di 10 si dicono frazioni
decimali.
Esempi: ………………………………………………
Se il numeratore di una frazione è minore del denominatore, la frazione si dice propria.
Esempi: ………………………………………………
Se il numeratore di una frazione è maggiore del denominatore, la frazione si dice
impropria.
Esempi: ………………………………………………
Quando in una frazione impropria il numeratore è multiplo del denominatore la frazione si
dice apparente.
Esempi: ………………………………………………
2.1.1 Frazioni come operatori
Le frazioni possono essere considerate degli operatori, nel senso che indicano un’operazione
precisa quando vengono applicate a un intero.
2
Ad esempio, di un cerchio è la parte di cerchio che si ottiene dividendolo in 3
3
parti uguali e considerandone 2.
Oppure:
16
In una classe di 24 alunni i
2
sono maschi. Quanti sono i maschi?
3
Per calcolare il numero di alunni maschi devo dividere il totale per 3 e moltiplicare il risultato
per 2.
………………………………………………………………………………………. Ci sono …… maschi.
Oppure, in modo equivalente, posso moltiplicare il totale per 2 e dividere il risultato per 3.
………………………………………………………………………………………. Ci sono …… maschi.
2.1.2 Frazioni equivalenti
Due frazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso valore, cioè se applicate a uno
stesso intero producono lo stesso risultato.
Ad esempio
2 1
e sono frazioni equivalenti
10 5
Infatti, se applichiamo le due frazioni a una stessa quantità, ad esempio 20, si ottiene lo stesso
numero:
2
di 20 = …………………………
10
1
di 20 = …………………………
5
e si scrive
2 1
=
10 5
Se osserviamo due frazioni equivalenti, possiamo osservare che i loro prodotti in croce sono
uguali:
2
10
1
5
2 × 5 =10 ×1
17
2.1.3 Proprietà invariantiva delle frazioni
Se osserviamo alcune frazioni tra loro equivalenti, possiamo notare che ciascuna di esse si può
ottenere da un’altra moltiplicando o dividendo il numeratore e il denominatore per uno stesso
numero.
1
,
5
2
,
10
3
,
15
4
,
20
5
,
25
…
La frazione ……… si può ottenere dalla frazione ………, moltiplicando il numeratore e il
denominatore per 2: ………………
La frazione ……… si può ottenere dalla frazione ………, dividendo il numeratore e il
denominatore per 3: ………………
Proprietà invariantiva
Se si moltiplicano o dividono il numeratore e il denominatore di una frazione per uno
stesso numero (diverso da zero) si ottiene una frazione equivalente.
Esempio:
Applicando la proprietà invariantiva si possono effettuare importanti trasformazioni delle
frazioni.
18
2.1.3.1 Semplificazione e riduzione ai minimi termini
Semplificare una frazione significa trasformarla in una frazione equivalente con i termini
più piccoli.
La semplificazione si ottiene dividendo il numeratore e il denominatore per un divisore
comune.
Esempio:
Semplificare
24
……………………………………
18
Ridurre ai minimi termini una frazione significa semplificarla il più possibile.
La riduzione ai minimi termini di ottiene dividendo il numeratore e il denominatore per il
loro M.C.D. oppure continuando a dividere per un divisore comune fino a quando
numeratore e denominatore sono primi fra loro.
Esempio:
24
……………………………………
18
Una frazione ridotta ai minimi termini si dice irriducibile.
Ridurre ai minimi termini
2.1.3.2 Riduzione al minimo comun denominatore
Ridurre al minimo comun denominatore (m.c.d.) due frazioni irriducibili significa
trasformarle entrambe in frazioni equivalenti che abbiano per denominatore il minimo
comune multiplo dei denominatori.
Esempio:
Ridurre al m.c.d. le frazioni
m.c.m.(2, 5)= ………………
7 4
e .
2 5
7
= ………
2
4
=………
5
2.1.3.3 Confronto tra frazioni
Confrontare due frazioni significa stabilire quale di esse è la maggiore.
Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiore quella che ha il numeratore
maggiore.
Esempio:
.....
.....
…..
.....
.....
19
Ogni frazione impropria è maggiore di una frazione propria.
Esempio:
.....
.....
.....
.....
…..
In tutti gli altri casi, per confrontare due frazioni, occorre prima ridurle al minimo comun
denominatore e ricondursi al caso in cui hanno lo stesso denominatore.
Esempio:
2
3
…..
3
5
mcm(3, 5) = ………
.....
.....
…..
http://www.latecadidattica.it/frazioni1/frazione/frazione1.html
20
.....
.....
2.2 Le operazioni con le frazioni
2.2.1 Addizione e sottrazione
Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, la loro somma e la loro differenza si
ottengono addizionando o sottraendo i numeratori.
Esempi:
.....
.....
+
.....
.....
=
.....
.....
Se due frazioni hanno denominatori diversi, prima si devono ridurre al minimo comun
denominatore e poi si calcola la loro somma o la loro differenza.
Esempi:
2 1
+
3 4
mcm(3, 4) = ………
8 3 .....
+ =
12 12 .....
Videotutorial addizione e sottrazione di frazioni (https://youtu.be/_z8vr5wVS80)
2.2.2 Moltiplicazione
Il prodotto di due frazioni si ottiene moltiplicando i due numeratori e i due denominatori.
Esempio:
2 7 ...  ... .....
 

5 3 ...  ... .....
Prima di effettuare la moltiplicazione è opportuno ridurre le frazioni ai minimi termini e, se
possibile, semplificare in croce.
Esempio:
10 14
  …………………………………
7 2
21
Due frazioni si dicono inverse o reciproche se il loro prodotto è 1.
Esempio:
L’inverso di
3
è …………………
5
2.2.3 Divisione
Il quoziente di due frazioni si ottiene moltiplicando la prima frazione per l’inversa della
seconda.
Esempi:
4 5 4 ...
:    …………………………
3 7 3 ...
2 4
: = ………………………………
3 9
Videotutorial moltiplicazione e divisione di frazioni (https://youtu.be/_CB5igohZZ4)
2.2.4 Elevamento a potenza
La potenza di una frazione si ottiene elevando a potenza il numeratore e il denominatore.
Esempi:
3
........
2

 
........
3
2
5
   ………………
4
0
a
   ………………
b
2.3 Le frazioni e i numeri decimali
Ogni frazione può essere scritta sotto forma di numero decimale, dividendo il suo
numeratore per il suo denominatore.
I numeri decimali sono formati da una parte intera a una parte decimale.
Ad esempio, nel numero decimale 7,384:
La parte intera è 7;
La parte decimale è 384, formata da 3 decimi, 8 centesimi e 4 millesimi.
Il numero 7,384 ha una parte decimale limitata, ma esistono anche numeri decimali che
hanno la parte decimale illimitata. Ciò dipende dal tipo di frazione che genera il numero
decimale.
2.3.1 Trasformazione da frazione a numero decimale
Una frazione si trasforma in numero decimale dividendo il numeratore per il suo
denominatore. Possono presentarsi tre casi:
Se la frazione è apparente si ottiene un numero naturale.
22
Esempi:
15
24
= ……………
= ……………
3
8
4
= …………...
4
Se la frazione è decimale (o trasformabile in decimale) si ottiene un numero decimale
finito, cioè con un numero limitato di cifre decimali.
Esempi:
27
= ……………
100
126
= ……………
10
Se la frazione non è decimale si ottiene un numero periodico, che è un numero decimale
illimitato, nella cui parte decimale una cifra o un gruppo di cifre (periodo) si ripete
all’infinito.
Esempio:
19
=……………
11
I numeri periodici possono essere semplici, come 0,8 e 15, 27 oppure misti, se hanno un
antiperiodo come 0, 45 e 10,178 .
2.3.2 Trasformazione da numero decimale a frazione
Nel caso di un numero decimale finito, per scrivere la frazione generatrice si segue questo
procedimento:
Al numeratore si scrive il numero senza virgola;
Al denominatore si scrive una potenza di 10 (10, 100, 1000, …) che abbia tanti zeri quante
sono le cifre dopo la virgola.
Esempi:
Trasformare i seguenti numeri decimali in frazioni
..... ...
..... ...
..... ...
6, 75 =
=
9, 4 =
=
0, 372 =
=
...... ...
..... ...
..... ...
Nel caso di un numero decimale periodico semplice o misto, per scrivere la frazione si
segue questo procedimento:
Al numeratore si scrive la differenza tra il numero senza la virgola e il numero formato da
tutte le cifre che precedono il periodo (parte intera ed antiperiodo);
Al denominatore si scrive il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo e
tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo (se esiste).
23
Esempio:
Consideriamo il numero periodico: 2,34765
2 parte intera
34 antiperiodo
765 periodo
Esempi:
Trasformare i seguenti numeri decimali in frazioni
..... -..... ...
.......... ...
0,817 =
=
1, 342 =
=
......
...
.....
...
Videotutorial frazioni generatrici (https://youtu.be/bQjB3tume2o)
2.4 Espressioni aritmetiche
Le espressioni aritmetiche con i numeri razioni rispettano le medesime regole delle
espressioni aritmetiche con i numeri naturali:
Le operazioni vanno eseguite rispettando un ordine preciso:
Le potenze;
Le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui compaiono;
Le addizioni e le sottrazioni nell’ordine in cui compaiono.
L’ordine di precedenza viene alterato quando l’espressione contiene delle parentesi, perché le
operazioni nelle parentesi hanno la precedenza, però si devono eseguire seguendo l’ordine
stabilito.
Videotutorial espressioni con le quattro operazioni (https://youtu.be/4QCMFcbJWlY)
Videotutorial espressioni con quattro operazioni e potenze
Videotutorial espressioni con le proprietà delle potenze
24
3 I numeri relativi
3.1 Cosa sono i numeri relativi?
Nella realtà possiamo incontrare diversi esempi di situazioni o fenomeni
descritti con numeri che presentano un segno davanti.
Durante l’inverno, capita di sentire che la temperatura raggiunge valori negativi
( – 4°C).
In ascensore, sarà capitato di dover selezionare un piano negativo per andare in
cantina. (ad esempio il piano -1).
I numeri relativi dunque nascono dall’esigenza di contare delle quantità per cui quelli naturali
non bastano.
Il segno “+” spesso si omette, perché è sottinteso.
I numeri dopo lo zero vengono indicati con il segno + posto davanti e sono chiamati
numeri interi positivi.
In effetti l’insieme formato dai numeri interi positivi e lo zero coincide con l’insieme dei
numeri naturali.
L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z.
All’interno dell’insieme dei numeri interi si possono svolgere tutte le operazioni che si
svolgono nell’insieme dei numeri naturali, con qualche accorgimento in più, che poi
vedremo.
All’interno dell’insieme dei numeri interi valgono le stesse proprietà (commutativa,
associativa, distributiva, invariantiva, ecc.) che valgono all’interno dell’insieme dei numeri
naturali.
Z è un insieme infinito?
....................................................................................................................................
Ogni numero intero ha un successivo?
....................................................................................................
Ogni numero intero ha un precedente?
...................................................................................................
25
Presi due numeri interi a caso, è sempre possibile determinare un terzo numero compreso
tra questi due?
...............................................................................................................................
Presi due numeri interi a caso, è sempre possibile determinare qual è il più grande e quale
il più piccolo?
..........................................................................................................................................
3.1.1 Retta orientata
L’insieme Z può essere rappresentato geometricamente con una retta orientata, ove la freccia
indica l’ordine crescente dei numeri.
|
…
|
-6
|
-5
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
|
|
|
|
|
+1
+2
+3
+4
+5
…
I numeri a destra dello zero vanno da 0 a +∞, mentre i numeri a sinistra dello zero
vanno da 0 a -∞.
Numeri positivi: corrispondono ai punti della semiretta positiva, ossia a destra dello
zero.
Numeri negativi: corrispondono ai punti della semiretta negativa, ossia a sinistra
dello zero.
3.1.2 Valore assoluto di un numero intero
Si chiama valore assoluto o modulo di un numero intero, il numero stesso privato del
segno.
-3 = 3
+4 = 4
3.1.3 Numeri concordi, discordi e opposti
Due numeri si dicono concordi se hanno lo stesso segno.
|
…
|
-6
|
-5
|
-4
-5 e -2 sono concordi
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
|
|
|
|
|
+1
+2
+3
+4
+5
…
+3 e +4 sono concordi
Due numeri si dicono discordi se hanno segno diverso.
26
|
…
|
-6
|
-5
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
|
|
|
|
|
+1
+2
+3
+4
+5
…
-5 e +1 sono discordi
|
…
|
-6
|
-5
|
-4
+5 e -4 sono discordi
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
|
|
|
|
|
+1
+2
+3
+4
+5
…
Due numeri si dicono opposti se hanno stesso modulo e segno diverso.
-5 e +5 sono opposti
Due numeri si dicono uguali se hanno stesso modulo e stesso segno.
3.1.4 Confronto tra numeri relativi
Confrontare due numeri significa stabilire se sono uguali oppure se uno è maggiore dell’altro.
Osservando la retta orientata come quella di seguito riportata, possiamo stabilire che, tra due
numeri interi, è maggiore quello situato più a destra.
|
…
|
-6
|
-5
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
|
|
|
|
|
+1
+2
+3
+4
+5
…
Per confrontare due numeri interi basta seguire questi accorgimenti:
Ogni numeri positivo è maggiore di ogni numero negativo;
Lo 0 è maggiore di ogni numero negativo ed è minore di ogni numero positivo;
Di due numeri positivi, è maggiore quello che ha il valore assoluto maggiore;
Di due numeri negativi, è maggiore quello che ha il valore assoluto minore.
27
3.2 Operazioni con i numeri relativi
3.2.1 Scioglimento delle parentesi
Per eliminare una parentesi preceduta dal segno +, si toglie questo segno e la
parentesi; si scrivono tutti i termini entro parentesi ciascuno col proprio segno;
+ (+5) = +5
+ (- 7) = - 7
Per eliminare una parentesi preceduta dal segno -, si toglie questo segno e la
parentesi; si scrivono tutti i termini entro parentesi, cambiandoli di segno.
- (+4) = - 4
- (- 3) = +3
3.2.2 Operazioni sulla retta orientata
Ogni volta che davanti ad un numero c’è il segno + , mi devo muovere verso
destra
di tanti passi quanti indicati dal numero.
Ogni volta che davanti ad un numero c’è il segno -, mi devo muovere verso
sinistra
di tanti passi quanti indicati dal numero.
+4 - 7 =
…
|
-6
|
-5
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
|
|
|
|
|
+1
+2
+3
+4
+5
…
3.2.3 Addizione di numeri relativi
3.2.3.1 Primo caso
Consideriamo la coppia di numeri relativi ed eseguiamo la loro addizione
(-2) + (-4)
Il - che precede il numero indica che il segno negativo del numero relativo
Il + tra le due parentesi indica che si tratta di un’addizione
Scioglimento della parentesi: davanti alla parentesi c’è il segno + ; si può togliere la
parentesi e riscrivere la somma nel seguente modo - 2 - 4
28
Movimento sulla retta orientata: partendo da zero con la freccia, mi sposto verso
sinistra di quanto indicato dal primo numero. (-2)
Davanti al secondo numero c’è un - ; partendo dalla posizione raggiunta, mi sposto
verso sinistra di quanto indicato dal secondo numero. (-4)
Il posizionamento finale rappresenta il risultato della somma: - 2 – 4 = - 6
…
|
-6
|
-5
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
|
|
|
|
|
+1
+2
+3
+4
+5
…
3.2.3.2 Secondo caso
Consideriamo la coppia di numeri relativi ed eseguiamo la loro addizione
(-6) + (+4)
Il + tra le due parentesi indica che si tratta di un’addizione
Scioglimento della parentesi: davanti alla parentesi c’è il segno +; si può togliere la
parentesi e riscrivere la somma nel seguente modo - 6 +4
Movimento sulla retta orientata: partendo da zero con la freccia, mi sposto verso
sinistra di quanto indicato dal primo numero. (-6)
Davanti al secondo numero c’è un + , mi sposto verso destra di quanto indicato dal
secondo numero. (+4)
Il posizionamento finale rappresenta il risultato della somma: - 6 +4 = - 2
…
|
-6
|
-5
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
|
|
|
|
|
+1
+2
+3
+4
+5
…
3.2.3.3 Procedura
La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo avente lo stesso segno
e per modulo la somma dei moduli.
-5 - 2=-7
La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo avente il segno
dell’addendo di valore assoluto maggiore e per modulo la differenza dei valori assoluti
degli addendi.
+8 – 3 = – 5
29
La somma di due numeri relativi opposti è zero.
+6 -6 = 0
3.2.4 Sottrazione
La differenza tra due numeri relativi, presi in un dato ordine, è un terzo numero che
aggiunto al secondo dà per somma il primo.
Per eseguire la sottrazione di due numeri relativi, dopo aver effettuato lo scioglimento della
parentesi, si esegue con la medesima procedura della somma.
(+5) – (+4) = +5 - 4 = +1
3.2.5 Moltiplicazione
Il prodotto di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il
prodotto dei valori assoluti; il segno è positivo se i due numeri sono concordi, negativo se
sono discordi.
(+5) * (+8) = +40 ;
(+9) * (- 4) = -36 ;
(-6) * (-7) = +42 ;
(-3) * (+3) = - 9
3.2.6 Divisione
Il quoziente di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il
quoziente dei valori assoluti; è positivo se dividendo e divisore sono concordi (stesso
segno), è negativo se sono discordi (segno diverso).
(+15) : (+3) = (+5)
(-20) : (-5) = (+4)
(+30) : (-6) = (-5)
3.2.7 Elevamento a potenza
La potenza di un numero relativo è il prodotto di più fattori tutti uguali a quel numero.
(+2)3
30
=
(+2) * (+2) * (+2) = +8
2. La potenza di un numero relativo positivo è sempre positiva:
(+3)4 = (+3) * (+3) * (+3) * (+3) = +81
La potenza di un numero relativo negativo è positiva se l’esponente è pari,
(-2)4 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = +16
La potenza di un numero relativo negativo è negativa se l’esponente è dispari, (-2)3
= (-2) * (-2) * (-2) = -8
3.2.8 Espressioni aritmetiche
si eseguono le operazioni all’interno delle parentesi tonde, poi delle quadre e infine
delle graffe;
si applica la regola che prende il nome di scioglimento di parentesi.
Esempio:
Scioglimento delle parentesi
Eseguo le somme a due a due
(+4) + (-6) – (+3) – (-7) =
+4
-6
–3
+7 =
-2
+4
= +2
Videotutorial risoluzione di una semplice espressione con somme e sottrazioni.
Videotutorial risoluzione di una semplice espressione con le quattro operazioni.
Videotutorial risoluzione di una semplice espressione con le potenze.
31
32
4 Le grandezze e le unità di misura
4.1 Che cos’è una grandezza?
Si chiama grandezza una qualunque proprietà misurabile di un corpo o di un
fenomeno.
Esempio:
La sensazione di caldo o freddo NON è una grandezza, perché è soggettiva e cambia da
persona a persona.
La temperatura invece è una grandezza perché è misurabile in modo oggettivo.
Indica quali tra le seguenti proprietà sono delle grandezze.
Il peso di un libro
Il pensiero
La capienza di un recipiente
Il tempo impiegato nello svolgimento di un compito
Il costo di uno smartphone
La bontà di una persona
sì
sì
sì
sì
sì
sì
no
no
no
no
no
no
Diciamo che due grandezze sono omogenee se è possibile confrontarle tra loro e se la
loro somma è ancora una grandezza dello stesso tipo.
Esempi:
Sono grandezze omogenee
La lunghezza di una strada e l’altezza di una montagna
NON sono grandezze omogenee
La lunghezza di un segmento e una superficie
4.2 Unità di misura
Per poter misurare una grandezza abbiamo bisogno un’altra grandezza che sia un
riferimento.
Si chiama unità di misura una grandezza di riferimento costante e riproducibile,
omogenea a quella che si vuole misurare.
33
Misurare una grandezza significa:
 scegliere l’unità di misura, omogenea con la grandezza data
 confrontare la grandezza con l’unità di misura, stabilendo quante volte l’unità di
misura è contenuta nella grandezza.
La misura si esprime con:
un numero e l’unità di misura.
Dove il numero indica quante volte l’unità di misura (campione di riferimento) è
contenuta nella grandezza.
4.2.1 Principali grandezze e unità di misura
Le grandezze fondamentali sono sette e sono misurate nel Sistema internazionale di unità di
misura in:
Grandezza fisica
Lunghezza
Massa
Tempo
Corrente
elettrica
Temperatura
Quantità di
sostanza
Intensità
luminosa
Simbolo della
grandezza fisica
Nome dell’unità
di misura
l, x, r, ecc.
m
T
metro
chilogrammo
secondo
Simbolo
dell’unità di
misura
m
kg
s
I, i
ampere
A
T
kelvin
K
n
mole
mol
Iv
candela
cd
Tutte le altre grandezze (superficie, volume, velocità, accelerazione, ecc.) si chiamano
grandezze derivate e sono omogenee a un prodotto o a un rapporto di grandezze
fondamentali.
4.2.2 Equivalenze
Esempi:
Quanto pesi? ………………………………
Se devo cucinare per due persone, quanta pasta butto nell’acqua bollente? ………………………………
Quanto sono distanti Milano e Roma? ………………………………
Quanto sei alto/a? ………………………………
Quanto è lunga la tua penna? ………………………………
Notiamo che il peso di una persona e il peso della pasta sono due grandezze omogenee,
tuttavia le abbiamo espresse con due unità di misura.
34
La distanza tra due città, l’altezza di una persona e la lunghezza di una penna sono
anch’esse grandezze omogenee, tuttavia le abbiamo espresse con tre unità di misura diverse.
In realtà sono tutti multipli e sottomultipli della stessa unità di misura.
Per esprimere una grandezza con diverse unità di misura secondarie basta seguire una
semplice regola.
4.2.2.1 Lunghezza
L’unità di misura principale della lunghezza è il metro.
·10
·10
·10
·10
·10
·10
Multipli
Chilometro
Ettometro
Decametro
Unità
Metro
Sottomultipli
Decimetro Centimetro
Millimetro
km
1000 m
hm
100 m
dam
10 m
m
1m
dm
0,1 m
mm
0,001 m
:10
:10
:10
cm
0,01 m
:10
:10
:10
4.2.2.2 Peso o massa
L’unità di misura principale della massa è il chilogrammo.
·10
·100
Multipli
·10
·10
·10
·10
·10
·10
Unità
Sottomultipli
Megagrammo
Quintale
Chilogrammo
Ettogrammo
Decagrammo
Grammo
Decigrammo
Centigrammo
Milligrammo
Mg
q
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
1000 kg
100 kg
1 kg
0,1 kg
0,01 kg
0,001 kg
0,0001 g
0,00001 kg
0,000001 kg
:10
:100
:10
:10
:10
:10
:10
:10
Il miriagrammo, il cui simbolo è mag ed equivale a 10 kg, non è riconosciuta dal Sistema
internazionale e non è più in uso.
Anche il quintale, il sui simbolo è q ed equivale a 100 kg, non è riconosciuto dal Sistema
internazionale, ma è ancora molto diffuso in Italia e in Europa.
Per questo motivo nella tabella non abbiamo inserito il miriagrammo, ma abbiamo inserito il
quintale.
35
4.2.2.3 Capacità
La capacità è il volume di sostanza che può stare in un contenitore. La sua unità di misura
principale è il litro.
Esempio:
Cosa si misura in litri? ………………………………………………………………………………………………………
La capacità non è una grandezza del Sistema internazionale.
Il litro non è un’unità del Sistema internazionale, ma è definito come una unità di misura del
volume, la cui unità di misura nel Sistema internazionale è il metro cubo. L’utilizzo del litro
come unità di misura è tuttavia ancora molto diffuso in tutto il mondo.
·10
·10
·10
·10
·10
Multipli
Ettolitro
Decalitro
Unità
Litro
Sottomultipli
Decilitro
Centilitro
Millilitro
hl
100 l
dal
10 l
l
1l
dl
0,1 l
ml
0,001 l
:10
:10
:10
cl
0,01 l
:10
:10
4.2.2.4 Tempo
L’unità di misura principale del tempo è il secondo.
Le equivalenze che riguardano il tempo seguono delle regole un po’ diverse. Per fare le
conversioni infatti non si usa il sistema decimale, bensì il sistema sessagesimale.
36
4.2.2.5 Intensità di corrente, tensione e resistenza
L'intensità di corrente è una grandezza fisica scalare che misura la quantità di carica
elettrica che attraversa la sezione di un conduttore entro un'unità di tempo.
L’unità di misura principale dell’intensità di corrente è l’ampere (A). L’intensità di
corrente è una grandezza fondamentale.
In fisica, la differenza di potenziale elettrico o tensione elettrica, spesso abbreviata
in d.d.p., è definita come la differenza tra il potenziale elettrico di due punti
dello spazio. Si tratta della differenza tra l'energia potenziale elettrica posseduta da
una carica nei due punti a causa della presenza di un campo elettrico, divisa per il
valore della carica stessa.
L’unità di misura della tensione è il volt (V). La tensione è una grandezza derivata.
La resistenza elettrica è una grandezza fisica scalare che misura la tendenza di
un corpo ad opporsi al passaggio di una corrente elettrica, quando sottoposto ad
una tensione elettrica. Questa opposizione dipende dal materiale con cui è realizzato,
dalle sue dimensioni e dalla sua temperatura.
L’unità di misura della resistenza è l’ohm (Ω). La resistenza è una grandezza derivata.
Per queste tre unità di misura valgono le regole del sistema decimale e quelle che
seguono sono le tabelle di conversione.
Intensità di corrente
·1000
Multipli
Kiloampere
kA
1000 A
Tensione
Multipli
Kilovolt
kV
1000 V
Unità
Ampere
A
1A
·1000
·1000
Sottomultipli
Milliampere
mA
0,001 A
:1000
:1000
·1000
·1000
Unità
Volt
V
1V
Sottomultipli
Millivolt
mV
0,001 V
Microampere
µA
0,000001 A
:1000
·1000
Microvolt
µV
0,000001 V
37
:1000
Resistenza
Multipli
Megaohm
MΩ
1.000.000 Ω
·1000
:1000
·1000
Unità
Ohm
Ω
1Ω
Kiloohm
kΩ
1000 Ω
:1000
:1000
:1000
·1000
·1000
Sottomultipli
Milliohm
mΩ
0,001 Ω
:1000
Microohm
µΩ
0,000001 Ω
:1000
4.2.2.6 Memoria informatica
L’unità di misura principale della memoria informatica, ovvero della quantità di
dati, è il byte (B).
La memoria informatica è misurabile, pertanto si può considerare come una grandezza
a tutti gli effetti. Non è però riconosciuta come tale dal Sistema internazionale.
1 byte è una sequenza di 8 bit.
A causa delle imprecisioni nell'uso dei prefissi SI come kilo, mega ecc. e a seconda del
contesto in cui viene utilizzato, il kilobyte, ad esempio, può rappresentare due diversi
valori:
1 kilobyte = 210 byte = 1 024 byte.
Questa definizione è sempre usata per esprimere la capacità di memoria e altre
quantità basate sulla potenza di 2. Anche la maggior parte dei software (compresi i
sistemi operativi) utilizzano questa definizione per indicare valori come la dimensione
di un file o lo spazio disponibile su hard disk. Questa definizione però è stata
espressamente vietata dal SI e anche la maggior parte delle altre organizzazioni di
standardizzazione suggeriscono che per indicare 1024 byte si usi il kibibyte. Anche se
il termine kibibyte viene usato ancora abbastanza raramente sta cominciando ad
essere utilizzato nei software che necessitano di elevata precisione come ad esempio
GParted, BitTorrent o il kernel di Linux.
oppure
1 kilobyte = 103 byte = 1000 byte
38
Questa definizione è in accordo con i prefissi del SI e andrebbe usata
indipendentemente dal contesto in cui ci si trova. Istituti internazionali di
standardizzazione quali la Commissione Elettrotecnica Internazionale (IEC), l'Institute
of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) e l'ISO oltre a consigliarne l'utilizzo
puntualizzano che l'unico modo per abbreviare la parola kilobyte dovrebbe essere
quello di usare il simbolo kB. La definizione 1 kilobyte = 1000 byte è comunemente
usata in tutti quei contesti in cui le quantità da misurare non sono basate su potenze di
2 (ad esempio la velocità di trasferimento dati); in molti altri contesti però la
definizione 1 kilobyte = 1024 byte continua ad essere usata e a provocare errori di
interpretazione (spesso anche voluti). Infatti, anche se nell'uso comune fa molta fatica
ad affermarsi, il modo più corretto per indicare 1024 byte dovrebbe essere il kibibyte
(KiB) e valori affini come gibibyte (GiB) per 1.073.74. 824 di byte e via dicendo. Questo
introdurrebbe maggiore chiarezza, ad esempio, quando si misura una quantità di
memoria che contiene meno di X byte, ma grazie a varie approssimazioni viene
pubblicizzata come se avesse capacità X byte, ed è forse uno dei motivi per cui non
viene usato dalla catena di costruzione e distribuzione dei computer.
Noi, per semplificarci la vita, utilizzeremo questa seconda definizione e
moltiplicheremo e divideremo per 1000, sebbene sia importante tenere a mente
che sarebbe più preciso dividere e moltiplicare per 1024.
·1000
Multipli
Terabyte
TB
1024 TB
·1000
Gigabyte
GB
1024 MB
:1000
·1000
Megabyte
MB
1024 kB
Kilobyte
kB
1024 B
:1000
:1000
·1000
Unità
Byte
B
8b
:1000
·8
Sottomultiplo
bit
b
1b
:8
4.3 Rapporti e proporzioni
Si dice rapporto di due numeri, presi in un certo ordine, il quoziente della divisione fra il
primo di essi e il secondo.
Esempio:
Il rapporto tra 2 e 5 è
2:5
oppure
2
5
oppure
0,4
39
Due rapporti si dicono uguali se hanno lo stesso valore.
Esempio:
6 : 3  .................
8 : 4  .................
Sono rapporti uguali perché entrambi valgono …………………
Si dice proporzione l’uguaglianza di due rapporti.
40
Esempio
6:3  8: 4
5 : 15  ...... : 12
che si legge “6 sta a 3 come 8 sta a 4”.
che si legge “……………………………………………………..”.
Se consideriamo la proporzione
6:3  8: 4
I quattro numeri che la compongono si chiamano termini della proporzione.
In particolare
6:3  8: 4
antecedenti
conseguenti
6:3  8: 4
medi
estremi
Se una proporzione ha i medi uguali si dice continua.
Nelle proporzioni continue ciascuno del medi si chiama medio proporzionale.
Esempio:
4:6  6:9
36 :12  12 : 4
6 è il medio proporzionale fra 4 e 9
12 è …………………………………………….
41
4.3.1 Proprietà delle proporzioni
Proprietà fondamentale
In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
42
Esempio:
Nella proporzione
Il prodotto dei medi è
6 : 2  12 : 4
2 12  ..............
Proprietà dell’invertire
Data una proporzione, se si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente, si
ottiene ancora una proporzione.
...........................
Il prodotto degli estremi è
Esempio:
Nella proporzione
8 : 4  14 : 7
Applicando la proprietà si ottiene
…………………………………..
Che è ancora una proporzione perché i rapporti sono uguali.
Proprietà del permutare
Data una proporzione, se si scambiano tra loro i medi e gli estremi, si ottiene ancora una
proporzione.
Esempio:
Nella proporzione
9 : 3  15 : 5
Applicando la proprietà si ottiene
…………………………………..
Che è ancora una proporzione perché i rapporti sono uguali.
Proprietà del comporre
In ogni proporzione la somma tra il primo e il secondo termine sta al primo come la
somma tra il terzo e il quarto sta al terzo.
Oppure
La somma tra il primo e il secondo termine sta al secondo come la somma tra il terzo e il
quarto sta al quarto.
Videotutorial proprietà del comporre
Esempio:
Nella proporzione
2 : 5  6 : 15
Applicando la proprietà si ottiene
…………………………………..
Oppure
…………………………………..
Che è ancora una proporzione perché i rapporti sono uguali.
Proprietà dello scomporre
In ogni proporzione la differenza tra il primo e il secondo termine sta al primo come la
differenza tra il terzo e il quarto sta al terzo.
Oppure
La differenza tra il primo e il secondo termine sta al secondo come la differenza tra il
terzo e il quarto sta al quarto.
43
Videotutorial proprietà dello scomporre
Esempio:
Nella proporzione
16 : 8  6 : 3
Applicando la proprietà si ottiene
…………………………………..
Oppure
…………………………………..
Che è ancora una proporzione perché i rapporti sono uguali.
4.3.2 Calcolo del termine incognito
Se una proporzione ha un termine incognito, esso può essere calcolato utilizzando la
proprietà fondamentale.
Un medio incognito si calcola facendo il prodotto degli estremi fratto il medio conosciuto.
Esempio:
3 : x  12 : 36
.....  .....
x

.....
Un estremo incognito di calcola facendo il prodotto dei medi fratto l’estremo conosciuto.
Esempio:
8 : 5  12 : x
.....  .....
x

.....
Il medio proporzionale si calcola facendo la radice quadrata del prodotto tra i due medi.
Esempio:
2: x  x :8
x  .....  .....  ..................
Videotutorial calcolo del termine incognito
4.3.3 Percentuali
Partiamo da due casi reali
CASO A
Nel CFP di Rozzano 54 alunni su 180 hanno avuto una valutazione ottima, mentre nel
CFP di Corsico hanno avuto ottimo 65 alunni su 240. Quale scuola ha ottenuto i
risultati migliori?
CASO B
44
Nel CFP di Rozzano il 30% hanno avuto una valutazione ottima, mentre nel CFP di
Corsico hanno avuto ottimo il 27% degli alunni. Quale scuola ha ottenuto i risultati
migliori?
Confrontiamo i due casi
 Nel caso B si è evidenziato che nel CFP di Rozzano 30 alunni su 100 avevano
avuto una valutazione ottima, mentre nel CFP di Corsico solo 27 su 100.
 E’ stato immediato dunque capire quale delle due scuole ha avuto un risultato
migliore.
Come abbiamo fatto a passare dalla prima alla seconda domanda?
CFP Rozzano:
Se 54 alunni su 180 hanno avuto ottimo, quanti alunni su 100 avrebbero avuto ottimo?
Impostiamo la proporzione:
54 : 180  x : 100
da cui
x
54  100
180
CFP Corsico:
Se 65 alunni su 240 hanno avuto ottimo, quanti alunni su 100 avrebbero avuto ottimo?
Impostiamo la proporzione:
65 : 240  x :100
da cui
x
65  100
240
La percentuale è un rapporto in cui un conseguente è 100. Si indica con il simbolo % ed
esprime quanti elementi hanno una caratteristica rispetto ad un totale di 100 elementi.
Il simbolo % si chiama percentuale. La scrittura 30% si legge 30 per cento.
Indichiamo con
t
p
T
tasso percentuale
il valore della percentuale
il totale a cui si applica la percentuale
TUTTI I PROBLEMI SULLE PERCENTUALI SI RISOLVONO CON LA PROPORZIONE
t : 100 = p : T
4.3.3.1 Calcolo del tasso percentuale
Nel CFP di Rozzano, in una classe di 20 alunni, 14 sono di Rozzano. Qual’è la
percentuale degli studenti di Rozzano?
DATI:
45
t
p
T
tasso percentuale
valore della percentuale
totale a cui si applica la percentuale
?
14
20
Data la formula
t : 100 = p : T
Impostiamo la proporzione
x :100  14 : 20
14 100
x
 70
20
Da cui
Il 70% degli alunni della classe sono di Rozzano.
t = 70%
4.3.3.2 Calcolo del valore della percentuale
Il CFP di Rozzano ha 220 allievi. Di queste il 85% sono ragazzi di età compresa tra i 15
ed i 18 anni. Quanti sono gli allievi di età compresa tra i 15 ed i 18 anni?
DATI:
t
tasso percentuale
p
il valore della percentuale
T
il totale a cui si applica la percentuale
85%
?
220
Data la formula
t : 100 = p : T
Impostiamo la proporzione
85 :100  x : 220
85  220
x
 187
100
Da cui
Gli allievi di età compresa tra i 15 ed i 18 anni sono 187
p = 187
4.3.3.3 Calcolo del totale
Presso il negozio BCM srl, si vende la sedia Bea a 42€ ossia al 70% del prezzo di
listino. Quanto costava a listino tale sedia?
DATI:
t
tasso percentuale
p
il valore della percentuale
T
il totale a cui si applica la percentuale
70%
42
?
Data la formula
t : 100 = p : T
Impostiamo la proporzione
70 : 100  42 : x
100  42
x
 60
70
Da cui
La sedia Bea a listino costava 60€.
46
T = 60€.
4.3.3.4 Lo sconto
Se andiamo in giro per negozi durante il periodo dei saldi, ci accorgiamo che sulle
etichette dei diversi prodotti ci sono delle scritte del tipo:
-30%
Tale etichetta rappresenta la riduzione sul prezzo di un prodotto praticata dal
venditore, per incoraggiare a comperare.
Si dice sconto la riduzione del prezzo, accordata da chi vende un prodotto o fornisce un
servizio.
a+b=s
Quanto costa un libro scontato del 15% se il suo prezzo di listino è 18€.
DATI:
t
tasso percentuale
p
il valore della percentuale
T
il totale a cui si applica la percentuale
15%
?
18€
Data la formula
t : 100 = p : T
Impostiamo la proporzione
15 : 100  x : 18
15  18
x
 2,7 ovvero 2,70€
100
Da cui
di sconto
Data la formula
Prezzo iniziale – Sconto = Prezzo scontato
18  2,7  15,3
Prezzo scontato
15,30€
4.3.3.5 L’IVA
Se andiamo a comperare presso un grossista, ci accorgiamo che sul prezzo c’è scritto
“netto IVA”, ossia al prezzo sull’etichetta deve essere aggiunto l’importo dell’IVA.
Si dice IVA (imposta sul valore aggiunto) l’imposta che si applica sulla vendita di beni e
47
servizi.
Il costo di un computer è di 1.500€ senza IVA. Sapendo che l’IVA è del 22%, quanto
viene a costare il computer?
DATI:
t
tasso percentuale
p
il valore della percentuale
T
il totale a cui si applica la percentuale
22%
?
1.500 €
Data la formula
t : 100 = p : T
Impostiamo la proporzione
22 :100  x :1500
Da cui
x
22  1500
 330 € di IVA
100
Data la formula
Prezzo con IVA = Prezzo senza IVA + IVA
a+b=s
1500  330  1830 €
prezzo con IVA
1830€
4.3.3.6 L’interesse
Quando si depositano in banca una somma di denaro, dopo un certo periodo di tempo
si riceve un interesse.
Analogamente, quando si chiede in banca una somma di denaro, periodicamente si
deve versare un interesse alla banca.
L'interesse è la somma dovuta come compenso per ottenere la disponibilità di un
capitale (solitamente una somma di denaro) per un certo periodo.
Indichiamo con
t
tasso di interesse
C
il capitale richiesto
I
Interesse maturato in un anno
t : 100 = I : C
da cui
I = t * C : 100
Esempio:
Depositando in banca 30.000 € ad un tasso percentuale del 2% , quale interesse si
riscuoterà tra un anno.
48
DATI:
t
tasso di interesse annuo
I
Interesse maturato in un anno
C
Capitale
2
?
30.000
t : 100 = I :
da cui
C
2 : 100 = I : 30.000
I
2  30.000
 600 €
100
Se voglio sapere quale sarà l’ interesse maturato tra tre anni, basta moltiplicare
l’interesse annuo per il numero di anni.
4.4 Grandezze direttamente proporzionali
Esempio:
Per la festa di compleanno di nostra sorella, dobbiamo preparare un tiramisù e nel libro
di ricette sono riportate le quantità per 8 persone:
Mascarpone:
Uova:
Zucchero:
Biscotti:
Caffè:
Cacao amaro:
500 g
6
100 g
350 g
300 ml
40 g
Supponiamo che alla festa siano invitate 24 persone. Quanto mascarpone, uova,
zucchero, biscotti, caffè, cacao devo utilizzare?
Mascarpone:
Uova:
Zucchero:
Biscotti:
Caffè:
Cacao amaro:
1500 g
18
300 g
1050 g
900 ml
120 g
Poiché le persone triplicano, anche gli ingredienti devono triplicare.
49
Chiaramente il peso degli ingredienti dipende dal numero di invitati. Più invitati avrò a
casa e più mascarpone, uova, zucchero, … dovrò comprare.
Per questo motivo il numero di invitati si chiama variabile indipendente e il peso
degli ingredienti è la variabile dipendente (dipende dal numero di invitati).
Cosa è rimasto costante? La quantità di mascarpone, uova, zucchero, biscotti, caffè e
cacao amaro da usare per preparare il tiramisù per una persona.
Esempio:
Per montare l’impianto elettrico di una monolocale, sono necessarie 7 ore. Poiché la
paga oraria è di 20 €/h, per fare l’impianto elettrico del monolocale guadagneremo
140€.
Supponendo, che per montare l’impianto elettrico di un appartamento siano
necessarie 14 ore, quanto guadagneremo?
In questo caso:
la variabile indipendente è
la variabile dipendente è
…………………………
…………………………
Poiché le ore raddoppiano, anche il guadagno deve raddoppiare.
Cosa è rimasto costante? Il costo orario.
Due grandezze x, y in relazione fra loro sono direttamente proporzionali se
raddoppiando, triplicando, … la variabile indipendente x, raddoppia, triplica, … anche la
variabile dipendente y. E la legge che lega le due grandezze è:
y kx
a+b=s
dove k è una costante e si chiama coefficiente di proporzionalità diretta.
In questo caso vale l’uguaglianza
y
k
x
4.4.1 Problemi del tre semplice diretto
Quello del tre semplice diretto sono problemi di proporzionalità diretta in cui vengono
forniti tre dati e si richiede di determinare il quarto.
Consideriamo la situazione illustrata nel seguente problema:
“Se 6 telefonini costano 1200€, quanto costano 13 telefonini?”
Per prima cosa bisogna individuare le grandezze coinvolte:
numero di telefonini, spesa totale
50
Dopo di che è opportuno sistemare i dati in una tabella come quella riportata qui sotto.
numero di telefonini
6
13
spesa totale
1200€
x
Poiché si tratta di grandezze direttamente proporzionali, e più avanti avremo
l’esigenza di distinguere questo caso da quello in cui le grandezze sono inversamente
proporzionali, è opportuno indicare con due frecce la direzione secondo la quale i
numeri crescono nelle due colonne.
numero di telefonini
6
13
spesa totale
1200€
x
Queste frecce funzionano da guida per impostare la proporzione che risolve il
problema. Infatti, semplicemente seguendo le frecce, vado a impostare:
6 :13  1200 : x
13  1200
 2600
6
Da cui segue:
x
Risposta:
13 telefonini costano 2600€.
In certi casi è richiesto di determinare anche la costante.
In questo particolare problema l’unica grandezza che rimane invariata è il costo di un
telefonino. Si può determinare tale grandezza dividendo la spesa totale per il numero
di telefonini acquistati:
k
1200
 200 €
6
Risposta:
oppure
k
2600
 200 €
13
un telefonino costa 200 €.
Infatti abbiamo visto che due grandezze sono direttamente proporzionali quando il
loro rapporto è costante.
4.4.2 Grafico con Excel
Può essere interessante vedere la rappresentazione cartesiana di come due grandezze
direttamente proporzionali variano.
Consideriamo l’esempio della ricetta per il tiramisù, concentrandoci sul numero di
invitati e il peso del mascarpone.
La ricetta dice che per 8 persone ho bisogno di 500 g di mascarpone.
51
Per prima cosa è necessario calcolare la costante, ovvero la quantità di mascarpone
necessaria per una persona.
k
500
 62,5 g
8
È poi necessario stabilire qual è la variabile indipendente x e quale la variabile
dipendente y. Abbiamo stabilito prima che:
x = numero di persone
y = peso del mascarpone
A questo punto è necessario scrivere la legge che lega le due grandezze, ricordando
che, nel caso di grandezze direttamente proporzionali, vale la legge y  k  x . Quindi, in
questo caso
y  62,5  x
ovvero
peso del mascarpone = 62,5g · numero di persone
A questo punto bisogna riportare queste osservazioni su Excel, costruendo una tabella
simile a quella che costruiamo per risolvere i problemi del tre semplice, ma più
articolata.
Nella colonna A abbiamo messo la variabile indipendente, nella colonna B abbiamo
messo la variabile dipendente.
Nella colonna A, poiché è la variabile indipendente, metteremo i numeri che vorremo,
in base al contesto.
Nella colonna B dovremo riportare la formula y  62,5  x .
52
Premendo su INVIO e trascinando la formula, Excel calcolerà automaticamente il peso
del mascarpone a seconda del numero di persone.
Questa tabella è di facile lettura:
se c’è 1 persona,
se ci sono 2 persone,
se ci sono 3 persone,
…
ho bisogno di 62, 5 g
ho bisogno di 125 g
ho bisogno di 187,5 g
…
Ora è interessante inserire un grafico che mostra come queste due grandezze variano
l’una rispetto all’altra.
Selezioniamo la tabella e poi andiamo su “Inserisci”, “grafico a linee”, “tutti i tipi di
grafico”, “grafico a dispersione (XY)” e selezioniamo quello indicato nell’immagine.
53
Facendo click su “OK”, verrà il grafico riportato qui sotto.
La legge di proporzionalità diretta è sempre rappresentata sul piano cartesiano
da una retta.
54
4.5 Grandezze inversamente proporzionali
Esempio:
Poiché un nostro compagno di classe compie a breve gli anni, insieme ad un amico,
decido di comperare un telefonino del costo di 144€.
Poiché due persone contribuiscono alla spesa, ciascuno di noi dovrà pagare
144
 72 €.
2
Decidono di contribuire al regalo altri due compagni.
Poiché quattro persone contribuiscono alla spesa, ciascuno di noi dovrà pagare
144
 36 €.
4
Si sparge la voce del regalo, ed alla fine altre 8 persone chiedono di partecipare al
regalo.
Poiché dodici persone contribuiscono alla spesa, ciascuno di noi dovrà pagare
144
 12
12
€.
In questo caso:
la variabile indipendente è
la variabile dipendente è
…………………………
…………………………
Due grandezze x, y in relazione fra loro sono inversamente proporzionali se
raddoppiando, triplicando, … la variabile indipendente x, la variabile dipendente y
dimezza, diventa un terzo, ... E la legge che lega le due grandezze è:
k
y
x
a+b=s
dove k è una costante e si chiama coefficiente di proporzionalità inversa.
In questo caso vale l’uguaglianza x  y  k
55
4.5.1 Problemi del tre semplice inverso
Quello del tre semplice inverso sono problemi di proporzionalità inversa in cui
vengono forniti tre dati e si richiede di determinare il quarto.
Consideriamo la situazione illustrata nel paragrafo precedente:
Per prima cosa bisogna individuare le grandezze coinvolte:
numero di partecipanti al regalo e soldi che ciascuno dovrà mettere.
Dopo di che è opportuno sistemare i dati in una tabella come quella riportata qui sotto.
tempo impiegato
6h
x
velocità media
100 km/h
150 km/h
Più veloce andremo, meno tempo impiegheremo per percorrere la distanza tra Milano
e Roma. Pertanto si tratta di due grandezze inversamente proporzionali.
Anche in questo caso è opportuno indicare con due frecce la direzione secondo la quale
i numeri crescono nelle due colonne.
tempo impiegato
6h
x
velocità media
100 km/h
150 km/h
Queste frecce funzionano da guida per impostare la proporzione che risolve il
problema. Infatti, semplicemente seguendo le frecce, vado a impostare:
x : 6  100 : 150
6  100
 4h
150
Da cui segue:
x
Risposta:
impiegherò 4 ore.
In certi casi è richiesto di determinare anche la costante.
In questo particolare problema l’unica grandezza che rimane invariata è la distanza
tra Milano e Roma. Si può determinare tale moltiplicando il tempo impiegato per la
velocità media di percorrenza:
k  6 100  600 km
Risposta:
oppure
k  4  150  600 km
un telefonino costa 600 km.
Infatti abbiamo visto che due grandezze sono inversamente proporzionali quando il
loro prodotto è costante.
56
4.5.2 Grafico con Excel
Anche in questo caso è interessante vedere la rappresentazione cartesiana di come due
grandezze inversamente proporzionali variano.
Consideriamo l’esempio del telefonino come regalo all’amico.
Il listino prezzi dice che il telefonino costa 144 €.
Per prima cosa è necessario calcolare la costante, che in questo caso è data
direttamente dal problema. La costante è proprio il prezzo del telefonino.
k = 144 €
È poi necessario stabilire qual è la variabile indipendente x e quale la variabile
dipendente y. Abbiamo stabilito prima che:
x = numero di partecipanti al regalo
y = soldi che ciascuno dovrà mettere
A questo punto è necessario scrivere la legge che lega le due grandezze, ricordando
che, nel caso di grandezze inversamente proporzionali, vale la legge y 
k
. Quindi, in
x
questo caso
y
144
x
ovvero
soldi che ciascuno dovrà mettere =
144
numero _ di _ partecipan ti _ al _ regalo
A questo punto bisogna riportare queste osservazioni su Excel, costruendo una tabella
simile a quella che costruiamo per risolvere i problemi del tre semplice, ma più
articolata.
Nella colonna A abbiamo messo la variabile indipendente, nella colonna B abbiamo
messo la variabile dipendente.
Nella colonna A, poiché è la variabile indipendente, metteremo i numeri che vorremo,
in base al contesto.
57
Nella colonna B dovremo riportare la formula y 
144
.
x
Premendo su INVIO e trascinando la formula, Excel calcolerà automaticamente i soldi
che ciascuno dovrà mettere a seconda di quante persone parteciperanno al
regalo.
Questa tabella è di facile lettura:
se 1 persona partecipa,
se 2 persone parteciperanno,
se 3 persone parteciperanno,
…
metterà 144 €
metteranno 72 € a testa
metteranno 48 € a testa
…
Ora è interessante inserire un grafico che mostra come queste due grandezze variano
l’una rispetto all’altra.
Selezioniamo la tabella e poi andiamo su “Inserisci”, “grafico a linee”, “tutti i tipi di
grafico”, “grafico a dispersione (XY)” e selezioniamo quello indicato nell’immagine.
58
Facendo click su “OK”, verrà il grafico riportato qui sotto.
La legge di proporzionalità inversa è sempre rappresentata sul piano cartesiano
da una iperbole.
59